1、专题专题 05 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 阅读与思考阅读与思考 解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围， 而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这 类问题因涵盖了整数的性质、 一元二次方程的相关理论， 融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1直接求解 若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2利用判别式 在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3运用根与系数的关系
2、 由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性 质求解. 4巧选主元 若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解. 例题与求解例题与求解 【例例 1】 已知关于x的方程032)1280()8)(4( 2 xkxkk的解都是整数，求整数k的值. （绍兴市竞赛试题） 解题思路：解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程 两种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确. 【例例 2】 qp,为质数且是方程013 2 mxx的根，那么 q p p q 的值是（ ） A 22 121 B 22 123 C
3、 22 125 D 22 127 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：解题思路：设法求出qp,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系 【例例 3】 关于yx,的方程292 22 yxyx的整数解),(yx的组数为（ ） A2 组 B3 组 C4 组 D无穷多组 解题思路：解题思路：把292 22 yxyx看作关于x的二次方程，由x为整数得出关于x的二次方程 的根的判别式是完全平方数，从而确定y的取值范围，进而求出x的值. 【例例 4】 试确定一切有理数r，使得关于x的方程01)2( 2 rxrrx有根且只有整数根. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当
4、0r时，由根与系数的关系得到关于r的两个不 等式，消去r，先求出两个整数根. 【例例 5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好 等于这个四位数. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：设前后两个两位数分别为yx,，99,10yx，则yxyx100)( 2 ，即 0)()50(2 22 yyxyx，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例例 6】 试求出所有这样的正整数解a，使得二次方程0) 3(4) 12(2 2 axaax至少有一个 整数根. （ “祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：解题思路：本题有两种解法. 由于a的次数较
5、低，可考虑“反客为主” ，以a为元，以x为已知数整理 成一个关于a的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式. 能力训练能力训练 A 级级 1已知方程01999 2 axx有两个质数根，则._a (江苏省竞赛题) 2已知一元二次方程01 2 mmxx（m是整数）有两个不相等的整数根，则._m (四川省竞赛题) 3若关于x的一元二次方程044 2 xmx和05444 22 mmmxx的根都是整数，则整数 m的值为_ 4若k正整数，且一元二次方程0) 1( 2 kpxxk的两个根都是正整数，则)( kppk kpk的值 等于_. 5两个质数ba,恰是x的整系数方程021 2 t
6、xx的两个根，则 b a a b 等于（ ） A2213 B 21 58 C 49 2402 D 38 365 6若06 2 mxx的两个根都是整数，则m可取值的个数是（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D以上结论都不对 7方程01997 2 pxx恰有两个整数根 21,x x，则 ) 1)(1( 21 xx p 的值是（ ） A1 B1 C 2 1 D 2 1 （北京市竞赛试题） 8若ba,都是整数，方程02008 2 bxax的相异两根都是质数，则ba3的值为（ ） （太原市竞赛试题） A100 B400 C700 D1000 9求所有的实数k，使得方程0) 1() 1( 2 kxkkx
7、的根都是整数. （ “祖冲之”邀请赛试 题） 10已知关于x的方程2384 2 nnxx和022)3( 22 nxnx，是否存在这样的n值，使第 一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请 说明理由. （湖北省选拔赛试题） 11若关于x的方程0)2()3(2 2 axaax至少有一个整数根，求整数a的值. （上海市竞赛试题） 12已知qp,为整数，且是关于x的方程016)( 4 15 9 11 2 2 qpx p x的两个根，求qp,的值. （全国初中数学联赛试题） B 级级 1已知96qp，并且二次方程0 2 qpxx的根都是整数，则其最大根
8、是_. 2若关于x的二次方程06 2 aaxx只有整数根，则_a . （美国数学邀请赛试 题） 3若关于x的方程054)15117()9)(6( 2 xkxkk的解都是整数，则符合条件的整数k的值 有_个. 4使方程071 222 aaxxa的两根都是整数的所有正数a的和是_. （上海市竞赛题） 5已知方程015132)83( 2222 aaxaaxa（其中a为非零实数）至少有一个整数根，那么 _a. （全国初中数学联赛试题） 6设方程03)6( 2 mxmx有两个不同的奇数根，则整数m的值为_ （ 学习报公开赛试题） 7若1ab，且有0920015 2 aa及0520019 2 bb，则 b
9、 a 的值为（ ） A 5 9 B 9 5 C 5 2001 D 9 2001 8若方程023 2 mxx有一个正跟 1 x，和一个负根 2 x，由以 21, x x为根的二次方程为（ ） A023 2 mxx B023 2 mxx C0241 2 mxmx D0241 2 mxmx 9设关于x的二次方程4)462()86( 2222 kxkkxkk的两根都是整数，求满足条件的所 有实数k的值. （全国初中数学联赛试题） 10当x为何有理数时，2239 2 xx恰为两个连续的正偶数的乘积？ （山东省竞赛题） 11是否存在质数qp,使得关于x的一元二次方程0 2 pqxpx有有理数根？ （全国初中数学竞赛试题） 12已知关于yx,的方程组 bcxaky akykx )( 0)( 2 只有一组解且为整数解，其中cbak,均为整数且 0a，cba,满足1 2 bcaa，. 2cb （1）求a的值； （2）求k的值及它对的yx,的值.
