1、专题专题 11 11 是偶然还是必然是偶然还是必然概率初步概率初步 阅读与思考阅读与思考 统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的学科 在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定性现象却是大量存在的，而概率正 是对随机现象的一种数学描述数学中用概率来表示事件发生的机会大小，概率是一个比值，用字母 P 表 示，计算公式是： 事件发生的概率 P= 所有可能结果 结果该事件发生的所有可能 在具体的计算中，常用到树形图、列表、穷举等方法 统计与概率互为基础，概率这一概念是建立在概率这一统计量稳定性的基础上的，而推断、估计 等统计方法的科学性有赖于概率理论的严密性 例
2、题与求解例题与求解 【例例 1】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，2，3，3，4；另一枚质地均 匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，3，4，5，6，8同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和 为 7 的概率是 （ “ 数学周报杯”全国初中数学竞赛试题） 解题思路：解题思路：用列表法列出所有情形 【例例 2】一项“过关游戏”规定：在第 n 关要掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大 于 4 3n ，则算过关；否则不算过关现有下列说法：过第一关是必然事件；过第二关的概率是 36 35 ； 可以过第四关；过第五关的概率大于 0其中，正确说法的个数为（ ）
3、A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 解题思路：解题思路：对于（2） ，在理解“过关”意义的基础上，逐步计算相关概率 【例例 3】如图，用红、蓝、黄三色将图中区域 A，B，C，D 染色，要求有公共边界的相邻区域不能染 相 同的颜色，则满足区域 A 恰好染蓝色的概率为 解题思路：解题思路：用树形图列出所有可能情形，或从整体考虑 【例例 4】小明准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不 清如果用 x，y 表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为 139x370y580（手机号码由 11 个数字 组成） ，小明记得这 11 个数字之和是 20 的整数倍求小明
4、一次拨对小陈手机号码的概率 解题思路：解题思路：建立关于 x，y 的不定方程，由此可得 x，y 可能的对应值的所有情况 【例例 5】杨华与李红用五张相同规格的硬币纸片做拼图游戏硬纸片正面如下图 1 所示，背面完全一 致将它们背面朝上洗匀后，同时抽出两张 图图2 图图1 小山小山房子房子小人小人 点灯点灯 规则如下： 当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得 1 分； 当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，李红得 1 分； 问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双 方公平？ 解题思路：解题思路：游戏对双方公平是指双方积分相同解题的关键是分别求
5、出杨华、李红的得分 【例例 6】一个正三角形 ABC 的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标 角是随机选择求蚂蚁不相撞的概率 （微软公司招聘面试试题） 解题思路：解题思路：三只蚂蚁在每个角上都有两种选择的方向（顺时针或逆时针） ，因每只蚂蚁选择的不确定 性，故组成的各种情形似乎繁杂出题用意就在于考查应试者摒除习惯因素的干扰、切中要害、化繁为简 的能力 能力训练能力训练 A 级 1如图 1，图中有一个黑球，图 2 有 3 个同样大小的球叠成的图形，最下一层的 2 个球为黑色， 其余为白色；图 3 为 6 个同样大小的球叠成德图形，最下一层的 3 个球为黑色，其余为白色；
6、则从 第 n 个图中随机取一个球，是黑球的概率为 （株洲市中考试题） 2有四张正面分别标有数字-3，0，1，5 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将 他们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为 a，则使关于 x 的分式方程 xx ax 2 1 2 2 1 有正整数解的概率为 （重庆市中考试题） 3小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序他们约定用“剪刀、布、锤 子”的方式确定那么，在一个回合中三个人都出“布”的概率是 （海南省中考试题） 4对于平面内任意一个凸四边形 ABCD，现从以下四个关系式AB=CD；AD=BC；AB/CD； A=C 中任取两个作为条
7、件，能够得出这个四边形 ABCD 是平行四边形的概率是 （广州市中考试题） 5在 0，1，2 三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为（ ） A 4 1 B 6 1 C 2 1 D 4 3 （泰安市中考试题） 6从分别写有数字 1，2，3，4，5 的五张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数 字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是 3 的倍数的概率为（ ） A 5 1 B 10 3 C 5 2 D 2 1 （全国初中数学联赛试题） 7经过某十字路口的汽车，可能继续直行，也可能向左或向右转若这三种可能性大小相同，则两 汽车经过该十字路
8、口全部继续直行的概率为（ ） A 3 1 B 3 2 C 9 1 D 2 1 （呼和浩特市中考试题） 8盒子里有十个球，每个球上写有 110 中的一个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数 字之和可能是 3，4，19现从盒中随意取两个球，这两个球上的数之和最有可能出现的是（ ） A2 B10 C11 D20 9一个口袋中有三个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球 数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出 一球，记下颜色，不断重复上诉过程小明共摸了 100 次，其中 20 次摸到黑球根据上述数据，小 明可估计口
9、袋中的白球大约有（ ） A18 个 B15 个 C12 个 D10 个 （青岛市中考试题） 10 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示） 小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针若直角三角形的两条直角边长分别是 2 和 1，则针 扎到小正方形（阴影）区域的概率是（ ） A 3 1 B 4 1 C 5 1 D 5 5 （临沂市中考试题） 11有四张卡片（背面完全相同） ，分别写有数字 1，2，-1，-2把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽 取一张，记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字用字母 b，c 分别表示甲、 乙两同学抽出的数字
10、 （1）用列表法求关于 x 的方程0 2 cbxx有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率 12将背面完全相同，正面分别写有数字 1，2，3，4 的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张， 把卡片上的数字作为被减数；将形状、大小完全相同，分别标有数字 1，2，3 的三个小球混合后，小华 从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两个数的差 （1）请你用画树形图或列表的方法，求这两个数差为 0 的概率； （2）小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢你认为 该游戏公平吗？请说明理由如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平 （重庆市中
11、考试题） B 级 1一只盒子中有红球 m 个，白球 10 个，黑球 n 个，每个球除颜色外都相同从中任取一个球，取 得是白球的概率与不是白球的概率相同那么，m 与 n 的关系是 （山东省竞赛试题） 2某广场地面铺满了边长为 36cm 的正六边形地砖现在向上抛掷半径为36cm 的圆碟，圆碟落 地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是 （太原市竞赛试题） 3甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会 4 100m 接力跑比赛如果任意安排四位同学的跑步 顺序，那么，恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ） A 4 1 B 6 1 C 8 1 D 12 1 （浙江省竞赛试题） 4一条绳子被任意割成两段，较长的一段
12、至少是较短的一段的 x 倍的概率为（ ） A 2 1 B x 2 C 1 1 x D x 1 E 1 2 x （美国高中数学考试题） 5把一颗六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正 面朝上的编号分别为 m，n，则二次函数nmxxy 2 的图象与x轴有两个不同交点的概率是（ ） A 12 5 B 9 4 C 36 17 D 2 1 （全国初中数学竞赛试题） 6长为 1，2，3，4，5 的线段各一条，从这五条线段中任取三条，能构成钝角三角形的概率为（ ） A 10 1 B 10 7 C 5 1 D 5 2 7一张数学游戏在两个同学甲、乙之间进行裁判在
13、黑板上先写出正整数 2，3，2006， 然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后 甲再擦去另一个数，如此下去） 若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜按照这种游 戏规则，求甲获胜的概率 （四川省竞赛试题） 8任意选择一对有序整数(b，c)，其中每一个整数的绝对值小于或等于 5，每一对这样的有序 整数被选择的可能性是相等的求方程0 2 cbxx没有相异正实根的概率 （美国高中数学考试题） 9袋中有数字卡片九张，其数字分别为 19若随机一次抽出三张，求被抽出的卡的数字全 是奇数的概率 （香港中学数学竞赛试题） 10将 20 个球放入两个袋中，每
14、袋 10 个球，各袋中的球分别标上自然数 110，其中一袋中 的球全是白色，另一袋中的球全为黑色若从两个袋中任意各取一个球，求白球上的数比黑球上的 数大的概率 （香港中学生数学竞赛试题） 11如图，将三枚相同的硬币依次放入一个 4 4 的正方形格子中（每个正方形格子只能放一枚 硬币） 求所放的三枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率 （四川省竞赛试题） 12在一个口袋中有 n 个小球，其中两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地完 全相同在看不到球的情况下，从袋中随机地取出一个球 （1）若取出的是红球的概率为 5 3 ，求 n 的值； （2）在（1）的条件下，把这 n 个球中的两个标号为 1，其余分别标号为 2，3，n-1， 随机地取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，请用列表法或树形图求第二次取出的小 球标号大于第一次取出的小球标号的概率； （3）若第（2）问去掉“在（1）的条件下” ，且第二次取出的小球标号大于第一次取出的小 球标号的概率为 45 22 ，求 n 的值
