2020-2021学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有项分在每小题给出的四个选项中，只有项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分）已知 n a是公差为 2 的等差数列，且 3 3a ，则 6 (a ) A3 B9 C18 D24 2 （5 分） “xR ， 2 20 x ”的否定是( ) AxR ， 2 20 x BxR ， 2 2 0 x C 0 xR， 2 0 20 x D 0 xR，

2、2 0 2 0 x 3 （5 分）如图，在半径为 2 的圆中进行随机撒一粒黄豆的重复实验，在 1000 次实验中， 黄豆有 280 次落到了阴影部分中，将频率视为概率，依此估计阴影部分的面积是( ) A 7 25 B 7 25 C14 25 D 28 25 4 （5 分）如图，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为 300，则样 本数据落在6，14)内的频数为( ) A68 B170 C204 D240 5 （5 分）若是第二象限角， 3 sin 3 ，则sin() 6 的值是( ) A 36 6 B 36 6 C 33 6 D 3 23 6 6 （5 分）已知:250px，

3、2 :20q xx，则p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 2 页（共 19 页） C充要条件 D既不充分又不必要条件 7（5 分） 已知函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 的部分图象如图所示， 则( )f x 的解析式为( ) A( )2sin(2) 6 f xx B( )2sin(2) 6 f xx C( )3sin(2) 6 f xx D 1 ( )3sin() 26 f xx 8 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点为 1 F， 2 F， 12 | 4FF ，点P为C上 一点，若 12 |PFPFa， 12 2 2

4、 cos 3 PFF，则C的离心率为( ) A21 B 2 4 C 2 2 D 3 2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）已知函数( )sin() 6 f xx ，则下列结论正确的是( ) A( )f x是奇函数 B() 3 f x 是偶函数 C( )f x的图象关于直线 3 x 对称 D( )f x在(,) 2 2 上单调递增 1

5、0 （5 分）若0a ，0b ，且4ab，则下列不等式成立的是( ) A2ab B 22 8ab C 11 1 ab D 11 0 4ab 11 （5 分）已知双曲线 22 2 :1 9 xy C b ，它的焦点为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F，则下列结论正确的 是( ) AC的虚轴长为 4 第 3 页（共 19 页） BC的渐近线方程为430 xy CC上的任意点P都满足 12 | 6PFPF DC的一个顶点与抛物线 2 12yx的焦点重合 12 （5 分） 已知数列 n a， n b满足 1nn aan ，21 nnn banb， 且 1 1a ， n S是数列 n b 的前n

6、项和，则下列结论正确的有( ) AmN， 55mm aaa BnN ， 3331 4 n a n CmN，16 m b DnN ， 1 1 3 n S 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）抛物线 2 (0)xay a的焦点到准线的距离为 5 2 ，则a的值为 14 （5 分）现有编号为A、B、C、D的四本书，将这四本书平均分给甲、乙两位同学， 则A，B两本书被同一位同学分到的概率为 15 （5 分）已知实数x，y满足不等式组 20 3 0 0 xy xy y ，则32zxy的最大值是 16 （5 分）在ABC中，2A

7、B ，3 2AC ，135BAC，M是ABC所在平面上的动 点，则wMA MBMB MCMC MA的最小值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知函数 22 ( )sin2cossinf xxxx （1）求() 4 f 及( )f x的最小正周期； （2）当0, 2 x 时，求( )f x的取值范围 18 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，2ABAC， 1 4AA ，D是 BC的中点 （1）求证：平面 1 ADC 平面 11 BCC

8、 B； （2）求直线 1 AB与平面 1 ADC所成角的正弦值 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）在5bc， 4 3 3 c ，75C ，这三个条件中任选一个，补充在下面 的问题（2）中，并完成问题的解答 问题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，4a 且cossin 2 A baB （1）求A； （2）若 _，求ABC的面积 20 （12 分）随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多每年春暖以后至寒冬 前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫已知一只药用昆虫的产卵数y与 一定范围内的温度x有关，于是科研人员在 3 月份的 31 天中随机挑选了 5

9、天进行研究，现 收集了该种药用昆虫的 5 组观测数据如表： 日期 2 日 7 日 15 日 22 日 30 日 温度/ Cx 10 11 13 12 8 产卵数/y个 23 25 30 26 16 （）从这 5 天中任选 2 天，记这两天药用昆虫的产卵分别为m，n，求事件“m，n均不 小于 25”的概率； （）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选 2 组，用剩下的 3 组数据建立y 关于x的线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验 （）若选取的是 3 月 2 日与 30 日的两组数据，请根据 3 月 7 日、15 日和 22 日这三天的 数据，求出y关于x的线性回归方程； （）

10、 若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过 2 个， 则认为得 到的线性回归方程是可靠的，试问（）中所得的线性回归方程是否可靠？ 附： 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a yb x 第 5 页（共 19 页） 21 （12 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Sn等比数列 n b的前n项和为 n T，公比1q 且 6532 22bbbb， 4 30T （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）记 1 12 2nn n Qababab，是否存在正整数m，(1)mkk，使得

11、m Q是 1 3Q与Qk的 等差中项？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 1 F、 2 F， 且过点( 2,1) （1）求C的方程； （2）设点M为C上的动点，求 12 wMF MF的取值范围； （3）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线:(0,)l yxmmRkk与C交于P，Q两 点，PQ的中点为E，若| 2|PQAE，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷学年湖南省益阳市高二（上）

12、期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有项分在每小题给出的四个选项中，只有项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分）已知 n a是公差为 2 的等差数列，且 3 3a ，则 6 (a ) A3 B9 C18 D24 【解答】解： n a是公差为 2 的等差数列，且 3 3a ， 63 33329aad 故选：B 2 （5 分） “xR ， 2 20 x ”的否定是( ) AxR ， 2 20 x BxR ， 2 2 0 x C 0 xR， 2 0 2

13、0 x D 0 xR， 2 0 2 0 x 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即 0 xR， 2 0 2 0 x ， 故选：D 3 （5 分）如图，在半径为 2 的圆中进行随机撒一粒黄豆的重复实验，在 1000 次实验中， 黄豆有 280 次落到了阴影部分中，将频率视为概率，依此估计阴影部分的面积是( ) A 7 25 B 7 25 C14 25 D 28 25 【解答】解：黄豆落在阴影部分的概率 280 1000 S p S 阴影 圆 ， 2 28028028 2 1000100025 SS 圆阴影 故选：D 4 （5 分）如图，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知

14、该样本容量为 300，则样 第 7 页（共 19 页） 本数据落在6，14)内的频数为( ) A68 B170 C204 D240 【解答】解：由频率分布直方图得样本数据落在6，14)内的频率为： (0.080.09)40.68， 该样本容量为 300，则样本数据落在6，14)内的频数为： 0.68 300204 故选：C 5 （5 分）若是第二象限角， 3 sin 3 ，则sin() 6 的值是( ) A 36 6 B 36 6 C 33 6 D 3 23 6 【解答】解：若是第二象限的角， 3 sin 3 ， 则 6 cos 3 ， 则 31331636 sin()sincos 62223

15、236 故选：A 6 （5 分）已知:250px， 2 :20q xx，则p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：:250px，即 5 2 x ， 2 :2(1)(2)0q xxxx，即1x 或2x ， 而 5 ( ,)(, 1)(2,) 2 ， 所以p是q的充分不必要条件， 故选：A 第 8 页（共 19 页） 7（5 分） 已知函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 的部分图象如图所示， 则( )f x 的解析式为( ) A( )2sin(2) 6 f xx B( )2sin(2) 6 f xx C( )3sin(2)

16、 6 f xx D 1 ( )3sin() 26 f xx 【解答】解：由函数的图象可得函数的周期 3473 43124 T ，可得 2 T ， 2， ( )sin(2)f xAx， 点 7 ( 12 ，0)在函数图象上， 7 sin(2)0 12 A ，可得 7 2 12 k，Zk，由于| 2 ，可得 6 ， 又点 3 (0,) 2 在函数图象上，可得 3 sin() 62 A ，可得3A ， ( )f x的解析式为( )3sin(2) 6 f xx 故选：C 8 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点为 1 F， 2 F， 12 | 4FF ，点P为C上

17、 一点，若 12 |PFPFa， 12 2 2 cos 3 PFF，则C的离心率为( ) A21 B 2 4 C 2 2 D 3 2 【解答】解：由椭圆定义可知， 12 | 2PFPFa，又 12 |PFPFa， 1 3 | 2 a PF， 2 | 2 a PF ， 12 | 4FF ， 12 2 2 cos 3 PFF， 在 12 PFF中， 222 21121212 2cosPFPFFFPFPFPFF， 22 932 2 1624 4423 aaa ，解得2 2a ， 第 9 页（共 19 页） 22 22 2 c e a ， 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小

18、题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）已知函数( )sin() 6 f xx ，则下列结论正确的是( ) A( )f x是奇函数 B() 3 f x 是偶函数 C( )f x的图象关于直线 3 x 对称 D( )f x在(,) 2 2 上单调递增 【解答】解：因为函数( )sin() 6 f xx ， 所以()sin()sin()( ) 66 fxxxf x ， 则( )f x不是奇函数

19、，故选项A错误； 因为()sin()sin()cos 3362 f xxxx ，显然是偶函数，故选项B正确； 因为()sin()sin1 3362 f ，即() 3 f 为函数的( )f x的最大值， 故( )f x的图象关于直线 3 x 对称，故选项C正确； 令22 262 x k 剟k，解得 2 22, 33 xZ k 剟kk， 所以函数( )f x的增区间为 2 (2,2), 33 Z kkk， 当0k时，函数( )f x的增区间为 2 (,) 33 ， 所以( )f x在(,) 2 2 上单不是调递增，故选项D错误 故选：BC 10 （5 分）若0a ，0b ，且4ab，则下列不等式成

20、立的是( ) A2ab B 22 8ab C 11 1 ab D 11 0 4ab 【解答】解：对于:0A a ，0b ，且4ab，所以2 2 ab ab ，故A正确； 对于B：根据基本关系式 222 2() ()abab，整理得 22 8ab，故B正确； 第 10 页（共 19 页） 对于 1112 :21 2 C abab 厖，故C正确； 由于 2 ()4 2 ab ab ，所以 11 4ab ，故D错误 故选：ABC 11 （5 分）已知双曲线 22 2 :1 9 xy C b ，它的焦点为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F，则下列结论正确的 是( ) AC的虚轴长为 4 BC的

21、渐近线方程为430 xy CC上的任意点P都满足 12 | 6PFPF DC的一个顶点与抛物线 2 12yx的焦点重合 【解答】解：由题意知，3a ，5c ， 22 2594bca ， 虚轴长为28b ，即选项A错误； 渐近线方程为 4 3 b yxx a ，即430 xy，故选项B正确； 由双曲线的定义知， 12 | 26PFPFa， 故 12 | 6PFPF不可能成立， 即选项C错误； 双曲线的顶点坐标为( 3,0)，而抛物线 2 12yx的焦点坐标为(3,0)，即选项D正确 故选：BD 12 （5 分） 已知数列 n a， n b满足 1nn aan ，21 nnn banb， 且 1

22、1a ， n S是数列 n b 的前n项和，则下列结论正确的有( ) AmN， 55mm aaa BnN ， 3331 4 n a n CmN，16 m b DnN ， 1 1 3 n S 【解答】解：数列 n a满足 1nn aan ， 所以当2n时， 1 1 nn aan ， 12 2 nn aan ， ， 第 11 页（共 19 页） 21 1aa， 故 1 (1)(1) 121 22 n n nn n aannnn ， 所以 (1) 1 2 n n n a 由于首相符合通项， 故 2 (1)2 1 22 n n nnn a 由于21 nnn banb， 所以 2 1211 2() 23

23、212 n n b annnnn 故 1111112 2()1 2334122 n S nnn 对于 55 : mm A aaa ， 整理得 222 (5)(5)22552 222 mmmm ，解得 1 5 mN，故A错误； 对于 2 2 2 33 336834131 2 : 2224 n nn annn B nnnn （利用对勾函数的性质） 当8n 时，取得最小值，故B正确； 对于 2 2 :16 32 n C b nn ，整理得 2 15 20 8 mm，m无正整数解，故C错误； 对于D：由于 2 11 2 n S n ，且 2 1 2 n S n ， 数列 n S单调递增，当1n 时，取

24、得最小值 1 3 故 1 1 3 n S ，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）抛物线 2 (0)xay a的焦点到准线的距离为 5 2 ，则a的值为 5 【解答】解：由抛物线 2 (0)xay a的方程可得焦点( 4 a ，0)， 准线方程为： 4 a x ， 由焦点到准线的距离为 5 2 ，可得 5 () 2442 aaa ， 解得：5a ， 第 12 页（共 19 页） 故答案为：5 14 （5 分）现有编号为A、B、C、D的四本书，将这四本书平均分给甲、乙两位同学， 则A，B两本书被同

25、一位同学分到的概率为 1 3 【解答】解：现有编号为A、B、C、D的四本书，将这四本书平均分给甲、乙两位同学， 基本事件总数 22 42 6nC C， A，B两本书被同一位同学包含的基本事件个数 222 222 2mC C A， A，B两本书被同一位同学分到的概率为 21 63 m P n 故答案为： 1 3 15 （5 分）已知实数x，y满足不等式组 20 3 0 0 xy xy y ，则32zxy的最大值是 9 【解答】解：由实数x，y满足不等式组 20 3 0 0 xy xy y 作出可行域如图， 联立 0 30 y xy ，解得(3,0)A 化目标函数32zxy为 3 22 z yx，

26、 由图可知，当直线 3 22 z yx过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为 9 故答案为：9 16 （5 分）在ABC中，2AB ，3 2AC ，135BAC，M是ABC所在平面上的动 第 13 页（共 19 页） 点，则wMA MBMB MCMC MA的最小值为 28 3 【解答】解：以A为坐标原点，AC为x轴建立平面直角坐标系如图所示， 因为2AB ，3 2AC ，135BAC， 所以(0,0)A，(2, 2),(3 2,0)BC， M是ABC所在平面上的动点，设( , )M x y，其中x，yR， 则(,),(2, 2),(3 2,)MAxy MBxy MCxy ， 故wMA M

27、BMB MCMC MA () (2)() ( 2)(2) (3 2)( 2) ()() (3 2)() ()xxyyxxyyxxyy 22 34 232 26xxyy 22 2 2228 3()3() 333 xy， 所以当 2 22 , 33 xy时，w取得最小值 28 3 故答案为： 28 3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知函数 22 ( )sin2cossinf xxxx （1）求() 4 f 及( )f x的最小正周期； （2）当0, 2 x 时，

28、求( )f x的取值范围 【解答】解： （1）( )sin2cos22sin(2) 4 f xxxx ， ()2sin(2)1 444 f ， 函数( )f x的最小正周期 2 2 T 第 14 页（共 19 页） （2）当0, 2 x 时， 5 2, 444 x ， 当2 42 x 时，( )2 max f x， 当 5 2 44 x 时，( )1 min f x ， ( )f x在区间0, 2 上的取值范围是 1, 2 18 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，2ABAC， 1 4AA ，D是 BC的中点 （1）求证：平面 1 ADC 平面 11 BCC B；

29、（2）求直线 1 AB与平面 1 ADC所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：D是BC的中点，ABAC，ADBC， 在直三棱柱中， 1 CC 平面ABC，且AD 平面ABC， 1 CCAD， 1 BCCCC，BC 平面 11 B BCC， 1 CC 平面 11 B BCC， AD平面 11 B BCC， 又AD 平面 1 ADC，平面 1 ADC 平面 11 B BCC； （2）解：以AB为x轴，AC为y轴， 1 AA为z轴建立如图空间直角坐标系， (0A，0，0)，(2B，0，0)，(1D，1， 1 0)(2B，0，4)， 1(0 C，2，4)， 则 1 (2,0,4)AB ，(1,1,0)

30、AD ， 1 (0,2,4)AC ， 设平面 1 ADC的法向量( , , )nx y z， 则 1 0 240 n ADxy n ACyz ，取1x ，得 1 (1, 1, ) 2 n 第 15 页（共 19 页） 设 1 AB与平面 1 ADC所成的角为， 则 1 1 1 |202|4 5 sin|cos,| | 15| |1 40161 1 4 ABn AB n ABn 即直线 1 AB与平面 1 ADC所成角的正弦值为 4 5 15 19 （12 分）在5bc， 4 3 3 c ，75C ，这三个条件中任选一个，补充在下面 的问题（2）中，并完成问题的解答 问题：已知ABC的内角A，B

31、，C的对边分别为a，b，c，4a 且cossin 2 A baB （1）求A； （2）若 _，求ABC的面积 【解答】解： （1）cossin 2 A baB， 由正弦定理可得sincossinsin 2 A BAB， 又sin0B ， cossin2sincos 222 AAA A， 又(0, )A， 1 sin 22 A ，可得 3 A （2）若5bc，由余弦定理得： 2222 ()3abcbcbcbc， 16253bc，3bc ， 1133 3 sin3 2224 ABC SbcA 第 16 页（共 19 页） 若 4 3 3 c ，由余弦定理得： 2222 164 3 2cos16 3

32、3 abcbcAbb， 整理得： 2 4 332 0 33 bb， 解得： 8 3 3 b ，或 4 3 3 b （舍去） ， 118 34 338 3 sin 223323 ABC SbcA （注:若利用正弦定理解可减少计算量） 若75C ，则180756045B ， 由正弦定理得： sin60sin45 ab ，可得 sin454 6 sin603 a b ， 可得 114 614 662124 3 sin4sin(4530 )4 2232343 ABC SabC 20 （12 分）随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多每年春暖以后至寒冬 前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各

33、种药用昆虫已知一只药用昆虫的产卵数y与 一定范围内的温度x有关，于是科研人员在 3 月份的 31 天中随机挑选了 5 天进行研究，现 收集了该种药用昆虫的 5 组观测数据如表： 日期 2 日 7 日 15 日 22 日 30 日 温度/ Cx 10 11 13 12 8 产卵数/y个 23 25 30 26 16 （）从这 5 天中任选 2 天，记这两天药用昆虫的产卵分别为m，n，求事件“m，n均不 小于 25”的概率； （）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选 2 组，用剩下的 3 组数据建立y 关于x的线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验 （）若选取的是 3 月 2 日

34、与 30 日的两组数据，请根据 3 月 7 日、15 日和 22 日这三天的 数据，求出y关于x的线性回归方程； （） 若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过 2 个， 则认为得 到的线性回归方程是可靠的，试问（）中所得的线性回归方程是否可靠？ 附： 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a yb x 【解答】解： （）依题意得，m、n的所有情况为： 第 17 页（共 19 页） 23，25、23，30、23，26、23，16、25，30、 25，26、25，16、30，26、30，16

35、、26，16共有 10 个； 设“m、n均不小于 25”为事件A，则事件A包含的基本事件为： 25，30、25，26、30，26共有 3 个， 所以 3 ( ) 10 P A ， 即事件A的概率为 3 10 ； （） （）由数据得12x ，27y ， 3 1 ()()5 ii i xxyy ， 3 2 1 ()2 i i xx ， 1 2 1 ()() 5 2 () n ii i n i i xxyy b xx ， 5 27123 2 ayb x ； y关于x的线性回归方程为 5 3 2 yx； （）由（）知，y关于x的线性回归方程为 5 3 2 yx， 当10 x 时， 5 10322 2

36、y ，且|2223| 2， 当8x 时， 5 8317 2 y ，且|1716| 2； 所以，所得到的线性回归方程 5 3 2 yx是可靠的 21 （12 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Sn等比数列 n b的前n项和为 n T，公比1q 且 6532 22bbbb， 4 30T （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）记 1 12 2nn n Qababab，是否存在正整数m，(1)mkk，使得 m Q是 1 3Q与Qk的 等差中项？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）当1n 时， 11 1aS， 当2n时， 22 1 (1)21 nnn

37、aSSnnn ， 当1n 时，等式也成立， 第 18 页（共 19 页） 所以，数列 n a的通项公式为21 n an，*nN； 在等比数列 n b中， 6532 22bbbb， 即 3 2( 2)(1)0b qq， 又 2 0b 且1q ，2q ， 4 1 4 (12 ) 30 12 b T ， 1 2b， 1 1 2 nn n bbq ； （2） 23 1 23 25 2(21) 2n n Qn ， 2得： 2341 21 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n Qnn ， 得： 2311 22 22 22 2(21) 2(23) 26 nnn n Qnn ， 1 3326Q ，

38、 1 (23) 26Q k k k， 1 (23) 26 m m Qm ， 若 1 23 m QQQ k，即 11 2(23) 2126(23) 26 m m k k， 11 2(23) 2(23) 2 m m k k， 46 2 23 m m k k ， 又1m k，22 m k ， 4646 2 2323 m k kk ， 式不成立， 故不存在这样的正整数m，k，使 m Q是 1 3Q与Qk的等差中项 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 1 F、 2 F， 且过点( 2,1) （1）求C的方程； （2）设点M为C上

39、的动点，求 12 wMF MF的取值范围； （3）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线:(0,)l yxmmRkk与C交于P，Q两 点，PQ的中点为E，若| 2|PQAE，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标 【解答】解： （1）离心率 2 2 2 1 1 2 b e a ， 22 2ab， 第 19 页（共 19 页） 将点( 2,1)代入椭圆方程得 22 21 1 ab ， 联立解得 2 4a ， 2 2b ， 所以椭圆C的方程为 22 1 42 xy （2）设M点的坐标为 0 (x， 0) y，则 22 00 1 42 xy ， 由（1）可知 1( 2,0)F ， 2( 2,0) F，

40、222 1 20000000 (2,) ( 2,)22wMFMFxyxyxyy ， 又 2 0 0,2y ， 12 0,2wMF MF， 另解： 22 12000000 (2,) ( 2,)2wMF MFxyxyxy ， 设 0 2cosx， 则 222 4cos2sin22cos0w， 12 20,2wMF MF （3）| 2|PQAE，APAQ，0AP AQ， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，又( 2,0)A ， 由 22 24 yxm xy k ，得 222 (12)4240 xmxmkk， 22222 (4)4(1 2)(24)8(42)mmmkkk， 12 2 4 12 m xx k k ， 2 12 2 24 12 m x x k ， 2222222 222 121212 222 2444 () 121212 mmm y yx xm xxmm kkkk kk kkk ， 1122 (2,) (2,)AP AQxyxy 121212 2()4x xxxy y 22222 2222 2484348 40 12121212 mmmmm kkkk kkkk ， 因为直线l不过点A， 所以，2m k， 2 3 m k且满足0， 直线l的方程为 2 3 yxkk，即 2 () 3 yxk， 直线l过定点 2 (,0) 3