1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）在等比数列 n a中， 3 4a ，则 24 (a a ) A64 B32 C16 D8 2 （5 分）抛物线 2 16xy的准线方程为( ) A4y B8y C4x D8x 3 （5 分）命题xR ， 2 310 xax 的否定是(
2、 ) AxR ， 2 31 0 xax BxR ， 2 310 xax CxR ， 2 310 xax DxR ， 2 31 0 xax 4 （5 分）如果实数a，b满足：0ab，则下列不等式中不成立的是( ) A| |ab B 11 aba C 11 ba D 22 0ba 5 （5 分）椭圆 22 1 610 xy 的焦点坐标是( ) A( 2,0) B( 4,0) C(0, 2) D(0, 4) 6 （5 分）若直线l的方向向量为(2，1，)m，平面的法向量为(1， 1 2 ，2)，且l， 则(m ) A2 B3 C4 D5 7 （5 分）关于x的不等式 2 10 xmx 的解集为R，则
3、实数m的取值范围是( ) A(0,4) B( 2,2) C 2，2 D(，2)(2，) 8 （5 分）已知命题p：若xy，则sinsinxy；命题 22 :2q xyxy，则下列命题为假命 题的是( ) Apq Bpq Cq Dp 9（5 分） 已知 1 e，2e，3e是空间的一个基底， 12 aee， 12 bee， 3 ce， 123 32peee， 若pxaybzc，则x，y，z的值分别为( ) 第 2 页（共 15 页） A 1 2 ， 5 2 ，1 B 5 2 ，1， 1 2 C1， 1 2 ， 5 2 D 5 2 ， 1 2 ，1 10 （5 分）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”
4、病毒，计划改建五个实验室，每个实验 室的改建费用分为装修费和设备费 设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列， 已知第 三实验室比第一实验室的设备费用高 9 万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高 36 万 元则该研究所改建这五个实验室投人的设备费用为( ) A93 万元 B45 万元 C189 万元 D96 万元 11 （5 分）直三棱柱 111 ABCA B C的侧棱 1 3CC ，底面ABC中，90ACB， 2ACBC，则点 1 B到平面 1 A BC的距离为( ) A 3 11 11 B 22 11 C 3 2 11 D 3 22 11 12 （5 分）如图，过抛物线 2 2(0)y
5、px p的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其 准线于点C，若| 2|BCBF，且| 6AF ，则此抛物线方程为( ) A 2 9yx B 2 6yx C 2 3yx D 2 3yx 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题每小题小题每小题 5 分共分共 20 分）分） 13 （5 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若60A ，2b ， 1c ，则ABC的面积为 第 3 页（共 15 页） 14 （5 分）设xR， 2 31Mxx， 2 1Nxx，则M与N的大小关系为 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线与直
6、线1x 所围成的三角 形的面积为 4，则双曲线C的离心率为 16 （5 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， * 1 1 () 2 nn aa nN 设 2 n n n b a ， * nN，且数列 n b是递增数列，则实数的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题共小题共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17 （10 分） （）解关于x的不等式： 1 0 1 x x ； （）已知正数x，y满足1xy，求 11 xy 的最小值 18 （12 分）已知 n S为等差数列 n a的前n项和， 7 1a ， 4 3
7、2S （）求数列 n a的通项公式； （）求 n S的最小值 19 （12 分）已知命题p： “曲线 22 1 2 :1 43 xy C mm 表示焦点在x轴上的椭圆” ，命题q： “曲 线 22 2: 1 1 xy C mtmt 表示双曲线” （1）若p是真命题，求实数m的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数t的取值范围 20 （12 分）如图，D是直角ABC斜边BC上一点，3ACDC （1）若30DAC，求角B的大小； （2）若2BDDC，且3DC ，求AD的长 21 （12 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 11 C D的中点，F为 11 BC的中点
8、 （1）求证：/ /EF平面ABCD； （2）求直线 1 B D与平面BDEF所成的角的正弦值 第 4 页（共 15 页） 22 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，直线 yx被椭圆C截得的线段长为 4 10 5 （）求椭圆C的方程； （） 过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点） 点D在椭圆C上， 且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点 ( ) i设直线BD，AM的斜率分别为 1 k， 2 k，证明存在常数使得 12 kk，并求出的值； ( )ii求OMN面积的最大值 第 5 页（共 1
9、5 页） 2020-2021 学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）在等比数列 n a中， 3 4a ，则 24 (a a ) A64 B32 C16 D8 【解答】解：在等比数列 n a中， 3 4a ， 则 2 243 16a aa 故选：C 2 （5 分）抛物线 2 16xy
10、的准线方程为( ) A4y B8y C4x D8x 【解答】解：由已知216p ，所以8p ，所以准线方程为4y ， 故选：A 3 （5 分）命题xR ， 2 310 xax 的否定是( ) AxR ， 2 31 0 xax BxR ， 2 310 xax CxR ， 2 310 xax DxR ， 2 31 0 xax 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题xR ， 2 310 xax 的否定 为：xR ， 2 31 0 xax 故选：D 4 （5 分）如果实数a，b满足：0ab，则下列不等式中不成立的是( ) A| |ab B 11 aba C 11 ba D 22 0ba
11、【解答】解：0ab，| |ab， ab abab ，即 11 ba ， 22 0ab，因此A，C，D正 确 对于: 0Baba， ()() aba a aba ab ，即 11 aab ，因此B不正确 故选：B 第 6 页（共 15 页） 5 （5 分）椭圆 22 1 610 xy 的焦点坐标是( ) A( 2,0) B( 4,0) C(0, 2) D(0, 4) 【解答】解：椭圆的焦点在y轴上， 22 1062cab，焦点坐标为(0, 2) 故选：C 6 （5 分）若直线l的方向向量为(2，1，)m，平面的法向量为(1， 1 2 ，2)，且l， 则(m ) A2 B3 C4 D5 【解答】解
12、：直线l的方向向量为(2，1，)m， 平面的法向量为(1， 1 2 ，2)，且l， l的方向向量为(2，1，)m与平面的法向量为(1， 1 2 ，2)平行， (2，1，)(1m， 1 2 ，2) 2 1 1 2 2m ，解得4m 故选：C 7 （5 分）关于x的不等式 2 10 xmx 的解集为R，则实数m的取值范围是( ) A(0,4) B( 2,2) C 2，2 D(，2)(2，) 【解答】解：关于x的不等式 2 10 xmx 的解集为R， 所以 22 ()4 1 140mm ，解得22m ， 所以实数m的取值范围是( 2,2) 故选：B 8 （5 分）已知命题p：若xy，则sinsinx
13、y；命题 22 :2q xyxy，则下列命题为假命 题的是( ) Apq Bpq Cq Dp 【解答】解：命题p：若xy，则sinsinxy是假命题， 比如19030 ，但sin190sin30， 第 7 页（共 15 页） 由 2 ()0 xy，得 22 2xyxy， 命题 22 :2q xyxy是真命题， pq是真命题，pq是假命题，q上真命题，p是真命题 故选：B 9（5 分） 已知 1 e，2e，3e是空间的一个基底， 12 aee， 12 bee， 3 ce， 123 32peee， 若pxaybzc，则x，y，z的值分别为( ) A 1 2 ， 5 2 ，1 B 5 2 ，1， 1
14、 2 C1， 1 2 ， 5 2 D 5 2 ， 1 2 ，1 【解答】解： 12123123123 ()()()()32pxaybzcxeeyeezexyexyezeeee， 3 2 1 xy xy z ，解得 5 2 1 2 1 x y z ， 故选：D 10 （5 分）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验 室的改建费用分为装修费和设备费 设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列， 已知第 三实验室比第一实验室的设备费用高 9 万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高 36 万 元则该研究所改建这五个实验室投人的设备费用为( ) A93 万元 B45 万元
15、C189 万元 D96 万元 【解答】解：设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列， 设这个等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q， 第三实验室比第一实验室的设备费用高 9 万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高 36 万元 2 11 42 11 9 36 a qa a qa q ，且公比0q ，解得 1 3a ，2q ， 则该研究所改建这五个实验室投人的设备费用 5 5 3(12 ) 93 12 S （万元） 故选：A 第 8 页（共 15 页） 11 （5 分）直三棱柱 111 ABCA B C的侧棱 1 3CC ，底面ABC中，90ACB， 2ACBC，则点 1 B到平面 1 A
16、BC的距离为( ) A 3 11 11 B 22 11 C 3 2 11 D 3 22 11 【解答】解： 11/ / BCBC， 11 BC 平面 1 A BC，BC 平面 1 A BC， 11/ / BC平面 1 A BC， 点 1 B到平面 1 A BC的距离等于点 1 C到平面 1 A BC的距离， 过 1 C作 11 C DAC于D， BCAC， 1 BCCC， 1 ACCCC， BC平面 11 ACC A，又 1 C D 平面 11 ACC A， 1 BCC D，又 11 ACC D， 1 ACBCC， 1 C D平面 1 A BC， 故点 1 C到平面 1 A BC的距离为 1
17、C D， 1 3CC ， 11 2ACAC， 22 1111 11ACACCC， 1 323 22 1111 C D ， 点 1 B到平面 1 A BC的距离为 3 22 11 故选：D 第 9 页（共 15 页） 12 （5 分）如图，过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其 准线于点C，若| 2|BCBF，且| 6AF ，则此抛物线方程为( ) A 2 9yx B 2 6yx C 2 3yx D 2 3yx 【解答】解：如图，分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D， 设|BFa，由已知可得| 2BCa， 由抛物线的定义可得|BDa，则30BCD， 在直角三
18、角形ACE中，因为| | 6AEAF，| 63ACa，2| |AEAC， 所以6312a，解得2a ，| 36FCa， 所以 1 | 3 2 pFC，因此抛物线的方程为 2 6yx 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题每小题小题每小题 5 分共分共 20 分）分） 13 （5 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若60A ，2b ， 第 10 页（共 15 页） 1c ，则ABC的面积为 3 2 【解答】解：在ABC中，60A ，2b ，1c ， 1133 sin2 1 2222 ABC SbcA 故答案为： 3 2 14 （5 分） 设xR， 2
19、31Mxx， 2 1Nxx， 则M与N的大小关系为 MN 【解答】解：设xR， 2 31Mxx， 2 1Nxx， 则 2222 13 (31)(1)2222()0 22 MNxxxxxxx， MN， 则M与N的大小关系为MN， 故答案为：MN 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线与直线1x 所围成的三角 形的面积为 4，则双曲线C的离心率为 17 【解答】解：双曲线C的渐近线方程为 b yx a ， 令1x ，则 b y a 或 b a ， 因为双曲线的两条渐近线与直线1x 所围成的三角形的面积为 4， 所以 1 1 24 2 b a ，即4
20、 b a ， 所以双曲线C的离心率为 22 2 2 1( )17 abb aa 故答案为：17 16 （5 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， * 1 1 () 2 nn aa nN 设 2 n n n b a ， * nN，且数列 n b是递增数列，则实数的取值范围是 3 (,) 2 【解答】解：由题设可知数列 n a是首项、公比均为 1 2 的等比数列， 1 2 n n a， 2 (2 ) 2n n n n bn a ， 又数列 n b是单调递增数列， 第 11 页（共 15 页） 1 1 (1 2 ) 2(2 ) 2(22 ) 20 nnn nn bbnnn 恒成立， 即220
21、n恒成立， 2(2)3 min n， 3 2 ， 故答案为： 3 (,) 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题共小题共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17 （10 分） （）解关于x的不等式： 1 0 1 x x ； （）已知正数x，y满足1xy，求 11 xy 的最小值 【解答】解：( ) I不等式 1 0 1 x x 可转化成(1)(1)0 xx，解得11x ， 故原不等式的解集为 | 11xx （）正数x，y满足1xy， 1111 ()()2224 yxyx xy xyxyxyxy ， 当且仅当 1 2 xy时取
22、等号， 11 xy 的最小值为 4 18 （12 分）已知 n S为等差数列 n a的前n项和， 7 1a ， 4 32S （）求数列 n a的通项公式； （）求 n S的最小值 【解答】解：( ) I设出等差数列的首项 1 a和公差d， 7 1a ， 4 32S ， 即： 1 61ad， 1 43 432 2 ad ， 解得 1 11a ，2d ， 数列 n a的通项公式为11(1)2213 n ann 第 12 页（共 15 页） （） 22 (1) 11212(6)36 2 n n n Snnnn 当6n 时， n S取得最小值36 19 （12 分）已知命题p： “曲线 22 1 2
23、:1 43 xy C mm 表示焦点在x轴上的椭圆” ，命题q： “曲 线 22 2: 1 1 xy C mtmt 表示双曲线” （1）若p是真命题，求实数m的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数t的取值范围 【解答】解： （1）若p是真命题，则 2 2 43 0 mm m ， 解得：13m 所以m的取值范围是13m（4 分） （2）由（1）得，p是真命题时，m的取值范围是13m q为真命题时，()(1)0mt mt ， 所以m的取值范围是1tmt （6 分） 因为p是q的必要不充分条件， 所以 1 1 3 t t ，所以12t剟，等号不同时取得， 所以12t剟（10 分） 20
24、 （12 分）如图，D是直角ABC斜边BC上一点，3ACDC （1）若30DAC，求角B的大小； （2）若2BDDC，且3DC ，求AD的长 【解答】解： （1）在ADC中，由正弦定理，得 sinsin DCAC DACADC ， 则 3 sin3sin 2 ADCDAC， 6060ADCBBADB ， 120ADC，60B 第 13 页（共 15 页） （2）3DC ， 9,3 3BCAC， 在Rt ABC中， 22 81 273 6ABBCAC， 3 cos 3 C ， 在ACD中，由余弦定理，得 222 3 3(3 3)2 3 3 318 3 AD ， 3 2AD 21 （12 分）如图
25、，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 11 C D的中点，F为 11 BC的中点 （1）求证：/ /EF平面ABCD； （2）求直线 1 B D与平面BDEF所成的角的正弦值 【解答】解： （1）证明：连结 11 B D， 正方体 1111 ABCDABC D中，E为 11 C D的中点，F为 11 BC的中点， 11 / /EFB D， 11 / /BDB D，/ /EFBD， BD平面ABCD，EF 平面ABCD， / /EF平面ABCD （2）以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 令2AB ，则(0D，0，0)， 1(2 B，2，2
26、)，(2B，2，0)，(0E，1，2)， 1 (2DB ，2，2)，(2DB ，2，0)，(0DE ，1，2)， 设平面BDEF的法向量(mx，y，) z， 则 220 20 DB mxy DE myz ，取2x ，得(2m，2，1)， 第 14 页（共 15 页） 设直线 1 B D与平面BDEF所成的角为， 直线 1 B D与平面BDEF所成的角的正弦值为： 1 1 |23 sin 9| |3 2 3 DBm DBm 直线 1 B D与平面BDEF所成的角的正弦值为 3 9 22 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，
27、直线 yx被椭圆C截得的线段长为 4 10 5 （）求椭圆C的方程； （） 过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点） 点D在椭圆C上， 且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点 ( ) i设直线BD，AM的斜率分别为 1 k， 2 k，证明存在常数使得 12 kk，并求出的值； ( )ii求OMN面积的最大值 【解答】解： （）由题意知， 22 3 2 cab aa ，则 22 4ab 椭圆C的方程可化为 222 4xya 将yx代入可得 5 5 a x ， 因此 2 54 10 2 55 a ，解得2a 则1b 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y； 第 15
28、 页（共 15 页） （）( ) i设 1 (A x， 111 )(0)yx y ， 2 (D x， 2) y， 则 1 (Bx， 1) y 直线AB的斜率 1 1 AB y k x ， 又ABAD， 直线AD的斜率 1 1 AD x k y 设AD方程为ykxm， 由题意知0k ，0m 联立 2 2 1 4 ykxm x y ，得 222 (1 4)8440kxkmxm 12 2 8 14 mk xx k 因此 1212 2 2 ()2 14 m yyk xxm k 由题意可得 121 1 121 1 44 yyy k xxkx 直线BD的方程为 1 11 1 () 4 y yyxx x 令0y ，得 1 3xx，即 1 (3Mx，0) 可得 1 2 1 2 y k x 12 1 2 kk ，即 1 2 因此存在常数 1 2 使得结论成立 ( )ii直线BD方程为 1 11 1 () 4 y yyxx x ， 令0 x ，得 1 3 4 yy ，即 1 3 (0,) 4 Ny 由( ) i知 1 (3Mx，0)， 可得OMN的面积为 2 211 1111 13999 3 |() 2442848 xx Sxyyy 当且仅当 1 1 |2 | 22 x y时等号成立 OMN面积的最大值为 9 8
