1、第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）命题p： “( 0 , ) , s i nc o s 2 xxx ”的否定p为( ) A(0,),sincos 2 xxx B(0,),sincos 2 xxx C 000 (0,),sincos 2 xxx D 000 (0,)
2、,sincos 2 xxx 2 （5 分）在长方体ABCDA B C D 中，(ABAD BB ) AAC B AC C BC DBD 3 （5 分）若0ab，则下列不正确的是( ) A 2 2 bb aa B 2 ab ab C11ab Dabab 4 （5 分） “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例， 为这个理论的发展做出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份， 依次得到十 三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 122若第一个单音的频率为f，则第六个单音的频率为( ) A 7 122 f B 5 122 f
3、C 2 32 f D32 f 5 （5 分）双曲线 22 :1 82 xy C的渐近线方程为( ) A2yx Byx C 1 2 yx D2yx 6（5 分） 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c， 已知2 coscoscoscBbAaB， 则角(B ) A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 7 （5 分）已知an，bn均为等差数列，且 a1+b11，a2+b23，则 a2020+b2020（ ） A4043 B4041 C4039 D4037 8 （5 分）方程|2xy所表示的曲线大致形状为( ) 第 2 页（共 18 页） A B C D 9 （5 分）设0a ，0b ，若4
4、ab，则 49 ab 的最小值为( ) A 25 4 B 25 2 C 8 5 D12 5 10 （5 分） 设有穷数列 n a的前n项和为 n S， 令 12n n SSS T n ， 称 n T为数列 1 a， 2 a， ， n a的“凯森和” 已知数列 1，2，4，a的“凯森和”为 6，则(a ) A6 B5 C4 D3 11（5 分） 已知ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且 222 26cabab， 若ABC的面积为 3 3 2 ，则tanC的值为( ) A 3 3 B3 C1 D31 12 （5 分） 已知圆 22 1:( 3)(2 2)1Cxy和焦点为F的抛物线
5、 2 2: 8Cyx， 点N是圆 1 C 上一点，点M是抛物线 2 C上一点，则|MFMN的最小值为( ) A1 B2 2 C4 D5 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13（5 分） 已知:p xm，: 13qx 剟， 若p是q的必要不充分条件， 则m的值可能为 （填 一个满足条件的值即可） 第 3 页（共 18 页） 14 （5 分）若实数x，y满足 0 2 2 x x y xy ，则2zxy的最大值为 15 （5 分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B 两点，|AB等于C的半
6、实轴长，则C的离心率为 16 （5 分）伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带 来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要某景区 的部分道路如图所示，30ABm，40 2BCm，50CDm，45ABCBCD ，要建 设一条从点A到点D的空中长廊，则AD m 三、解答题：包括必考题和选考题两部分，第三、解答题：包括必考题和选考题两部分，第 17 题第题第 21 题为必考题，每道试题考生都题为必考题，每道试题考生都 必须作答；第必须作答；第 22、23 题为选考题，考生任选一题作答。解答应写出文字说明，证明过程或题为选考题，考生任选一题作
7、答。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤。 （一）必考题演算步骤。 （一）必考题 17在 222 bacac，22 cosacbC， 222 43()Sbac这三个条件中任选 一个，补充在下面问题的横线处，并作出解答 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，cABC的面积为S，且 _ （1）求角B； （2）若2a ，2 3b ，求ABC的周长 18已知等差数列 n a满足 3 4a ， 5 6a ，数列 2 log n b是以 1 为首项，公差为 1 的等差 数列 （1）求 n a和 n b； （2）若 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n T 19如图所示，四棱锥SABC
8、D中，/ /ABCD，ADDC，2224CDADABSD， SD 平面ABCD 第 4 页（共 18 页） （1）求证：BC 平面SBD； （2）若点M是线段SC的中点，求平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，F为右焦点，B为C的上顶点，且 | 2FB O为坐标原点 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线1yx与C相交于P，Q两点，求OPQ的面积 21 如图， 河的两岸， 分别有生活小区ABC和DEF， 其中ABBC，EFDF，DFAB， C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O， 测得3ABkm，4BC
9、km， 9 4 DFkm， 3FEkm， 3 2 ECkm若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河 岸DE可看成是曲线 xb y xa （其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线 ykxm（其中k，m为常数）的一部分 （1）求a，b，k，m的值； （2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MNAC，设点M的横 坐标为t 请写出桥MN的长l关于t的函数关系式( )lf t，并注明定义域； 当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？ 第 5 页（共 18 页） 选考题请考生在第（选考题请考生在第（22） 、 （） 、 （23）题中任选一题作答，如果多做
10、，则按所做的第一题计分。）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑。作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） 以坐标原点 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()3 2 4 （1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程； （2）点Q为曲线C上的动点，求点Q到直线l的距离的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |27|25
11、|f xxx （1）求函数( )f x的最小值m； （2）在（1）的条件下，正数a，b满足 22 abm，证明：2abab 第 6 页（共 18 页） 2020-2021 学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）命题p： “( 0 , ) , s i nc o s 2 xxx ”
12、的否定p为( ) A(0,),sincos 2 xxx B(0,),sincos 2 xxx C 000 (0,),sincos 2 xxx D 000 (0,),sincos 2 xxx 【解答】解：根据命题否定的概念知， p为 0 (0,) 2 x ， 00 sincosxx， 故选：C 2 （5 分）在长方体ABCDA B C D 中，(ABAD BB ) AAC B AC C BC DBD 【解答】解：ABADBBABBCCCAC 故选：B 3 （5 分）若0ab，则下列不正确的是( ) A 2 2 bb aa B 2 ab ab C11ab Dabab 【解答】对于A， 22() 2
13、(2) bbba aaa a ， 0ab， 2() 0 (2) ba a a ，即 2 2 bb aa ，故A正确； 对于B，由均值不等式可知，当0ab时， 2 ab ab ，故B正确； 对于C，0ab，11ab ，故C正确； 对于D，取4a ，1b ，而1,3abab，abab，故D不正确 故选：D 4 （5 分） “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例， 第 7 页（共 18 页） 为这个理论的发展做出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份， 依次得到十 三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 122若第一个单音
14、的频率为f，则第六个单音的频率为( ) A 7 122 f B 5 122 f C 2 32 f D32 f 【解答】解：由题意知，十三个单音的频率构成等比数列 n a， 1 af，122q ， 第六个单音的频率 55 61 122aaqf 故选：B 5 （5 分）双曲线 22 :1 82 xy C的渐近线方程为( ) A2yx Byx C 1 2 yx D2yx 【解答】解：双曲线的渐近线方程为0 2 22 xy ，即 1 2 yx ， 故选：C 6（5 分） 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c， 已知2 coscoscoscBbAaB， 则角(B ) A 6 B 3 C 5
15、6 D 2 3 【解答】解：因为2 coscoscoscBbAaB， 所以2sincossincossincosCBBAAB， 所以2sincossin()sinCBABC， 因为sin0C ， 所以 1 cos 2 B ， 因为(0, )B， 所以 3 B 故选：B 7 （5 分）已知an，bn均为等差数列，且 a1+b11，a2+b23，则 a2020+b2020（ ） A4043 B4041 C4039 D4037 【解答】解：an，bn均为等差数列，且 a1+b11，a2+b23， 第 8 页（共 18 页） 数列an+bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， a2020+b202
16、01+201924039 故选：C 8 （5 分）方程|2xy所表示的曲线大致形状为( ) A B C D 【解答】解：方程|2xy，表示的曲线关于x，y轴对称， 只看第一象限，当0 x ，0y 时， 方程|2xy可变为2xy， 2 (2)yx， (0 x，2，且0 x 时，4y ， 只有D符合题意， 故选：D 9 （5 分）设0a ，0b ，若4ab，则 49 ab 的最小值为( ) A 25 4 B 25 2 C 8 5 D12 5 【解答】解：0a ，0b ，4ab， 49149149125 ()()(13)(132 36) 4444 ba ab ababab ， 当且仅当 49ba a
17、b ，即 812 , 55 ab时取等号， 第 9 页（共 18 页） 故选：A 10 （5 分） 设有穷数列 n a的前n项和为 n S， 令 12n n SSS T n ， 称 n T为数列 1 a， 2 a， ， n a的“凯森和” 已知数列 1，2，4，a的“凯森和”为 6，则(a ) A6 B5 C4 D3 【解答】解：由已知可得 1234 1(12)(124)(124) 6 44 SSSSa ， 6a， 故选：A 11（5 分） 已知ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且 222 26cabab， 若ABC的面积为 3 3 2 ，则tanC的值为( ) A 3 3
18、B3 C1 D31 【解答】解：由题意 22222 262coscababababC， 即262cosababC ，即(1 cos )3abC， 13 3 sin 22 SabC 联立得1 cos1 sin3 C C ， 整理得sin3cos2sin()3 3 CCC ， 即 3 sin() 32 C ， 又0C， 4 333 C ， 2 , 333 CC ， tan3C ， 故选：B 12 （5 分） 已知圆 22 1:( 3)(2 2)1Cxy和焦点为F的抛物线 2 2: 8Cyx， 点N是圆 1 C 上一点，点M是抛物线 2 C上一点，则|MFMN的最小值为( ) A1 B2 2 C4
19、D5 【解答】解：过点M作直线2x 的垂线，垂足为H， 第 10 页（共 18 页） 则 1 | | | | 1MFMHMFMNMHMC， 故M是过圆心 1(3,2 2) C向准线2x 所作垂线与 2 C的交点，即(1,2 2)M； |MFMN的最小值为3214 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知:p xm，: 13qx 剟，若p是q的必要不充分条件，则m的值可能为 4 （填一个满足条件的值即可） 【解答】解：p是q的必要不充分条件， 所以 1，3(, )m， 则3m ， 故答案不唯一，
20、只需填大于 3 的数即可 故答案为：4 14 （5 分）若实数x，y满足 0 2 2 x x y xy ，则2zxy的最大值为 6 【解答】解：实数x，y满足 0 2 2 x x y xy 的可行域为如图所示阴影部分， 由 22 xy xy 解得(2,2)A， 把2yxz ，平移，当直线经过点(2,2)A时，z取最大值， 第 11 页（共 18 页） 最大值为6z 故答案为：6 15 （5 分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B 两点，|AB等于C的半实轴长，则C的离心率为 6 2 【解答】解：不妨设双曲线 22 22 :1 xy C ab ，焦点(,0)F
21、c，对称轴0y ， 由题设知 22 22 1 cy ab ， 2 b y a ，由 2 2b a a ， 得 22 2ab， 2222 23cbbb， 22 2 22 33 22 cb e ab ， 6 2 e 故答案为： 6 2 16 （5 分）伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带 来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要某景区 的部分道路如图所示，30ABm，40 2BCm，50CDm，45ABCBCD ，要建 设一条从点A到点D的空中长廊，则AD 40 2 m 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：由题可知45ABCBC
22、D ，所以/ /ABCD 由ADABBCCD， 则 2222 222ADABBCCDAB BCAB CDBC CD， |cos1351200AB BCAB BC ， |cos01500AB CDAB CD，|cos1352000BC CDBC CD ， 所以 2 900320025002400300040003200AD ， 则|40 2ADm 故答案为：40 2 三、解答题：包括必考题和选考题两部分，第三、解答题：包括必考题和选考题两部分，第 17 题第题第 21 题为必考题，每道试题考生都题为必考题，每道试题考生都 必须作答；第必须作答；第 22、23 题为选考题，考生任选一题作答。解答应
23、写出文字说明，证明过程或题为选考题，考生任选一题作答。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤。 （一）必考题演算步骤。 （一）必考题 17在 222 bacac，22 cosacbC， 222 43()Sbac这三个条件中任选 一个，补充在下面问题的横线处，并作出解答 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，cABC的面积为S，且 _ （1）求角B； （2）若2a ，2 3b ，求ABC的周长 【解答】解： （1）若选， 因为 222 bacac， 可得 222 1 cos 222 acbac B acac ， 又(0, )B， 可得 2 3 B 若选， 由22cosacbcC， 由
24、正弦定理可得：2sinsin2sincosACBC， 即2sin()sin2sincosBCCBC，整理得sin(2cos1)0CB， 第 13 页（共 18 页） 而sin0C ，可得 1 cos 2 B ， 又(0, )B，可得 2 3 B 若选， 由 222 13() sin 24 ABC bac SacB ， 得 3 sincos 2 acBacB ，即tan3B ， 又(0, )B，可得 2 3 B （2）由余弦定理得 222 2cosbacacB，即 22 2 12222 cos 3 cc ， 解得2c 或4c （舍去） ， 可得ABC周长42 3Labc 18已知等差数列 n a
25、满足 3 4a ， 5 6a ，数列 2 log n b是以 1 为首项，公差为 1 的等差 数列 （1）求 n a和 n b； （2）若 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1）依题意，2642d ， 1d， 1 2a， 2(1)1 n ann， 数列 2 log n b是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列， 2 log1(1) n bnn ， 即2n n b （2）由（1）得(1) 2n n cn， 123 2 23 24 2(1) 2n n Tn ， 23411 22 23 24 22(1) 2 nn n Tnn ， 得 12341 2 22222(1)
26、 2 nn n Tn 第 14 页（共 18 页） 11 2(12 ) 2(1) 22 12 n nn nn ， 1 2n n Tn 19如图所示，四棱锥SABCD中，/ /ABCD，ADDC，2224CDADABSD， SD 平面ABCD （1）求证：BC 平面SBD； （2）若点M是线段SC的中点，求平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值 【解答】 （1）证明：/ /ABCD，ADDC，2ABAD，2 2,2 2BDBC， 又4CD ， 222 CDBDBC， 故BCBD， 又SD 平面ABCD，BC 平面ABCD，BCSD， SDBDD，BD平面SBD，SD 平面SBD， BC平面S
27、BD （2） 如图， 分别以,DA DC DS的方向为x，y，z轴正方向， 建立空间直角坐标系Dxyz， 则(0D，0，0)，(2A，0，0)，(2B，2，0)，(0C，4，0)，(0S，0，2)，(0M，2，1)， 由（1）得平面SBD的一个法向量为( 2,2,0)BC ， 第 15 页（共 18 页） 设(nx，y，) z为平面ABM的一个法向量(0,2,0),( 2,2,1)ABAM ， 由 0 0 n AB n AM ， 得 20 220 y xyz ， 不妨取(1,0,2)n ， 设平面SBD与平面ABM所成的角为， 22222 20010 |cos| | 10 ( 2)2102 ，
28、 即平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值为 10 10 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，F为右焦点，B为C的上顶点，且 | 2FB O为坐标原点 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线1yx与C相交于P，Q两点，求OPQ的面积 【解答】解： （1）由| 2FB 得2a ，又 3 2 c e a 3c 222 1bac 故C的方程为 2 2 1 4 x y （2）解法 1：联立直线与椭圆方程： 2 2 1 4 1 x y yx ， 化简得 2 580 xx， 0 x或 8 5 x ， 8 3 (0, 1),( , ) 5 5 PQ， 22 83
29、8 |( )(1)2 555 PQ ， O到直线1yx的距离 | 1|2 22 d ， 第 16 页（共 18 页） 1824 2 2525 OPQ S 解法 2：联立直线与椭圆方程： 2 2 1 4 1 x y yx ， 消去x得 2 5230yy ， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 则 1212 23 , 55 yyyy ， 2 121212 114 1 |()4 225 OPQ Syyyyy y 21 如图， 河的两岸， 分别有生活小区ABC和DEF， 其中ABBC，EFDF，DFAB， C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O， 测得3ABkm，4BC
30、km， 9 4 DFkm， 3FEkm， 3 2 ECkm若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河 岸DE可看成是曲线 xb y xa （其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线 ykxm（其中k，m为常数）的一部分 （1）求a，b，k，m的值； （2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MNAC，设点M的横 坐标为t 请写出桥MN的长l关于t的函数关系式( )lf t，并注明定义域； 当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？ 第 17 页（共 18 页） 【解答】解： （1）由题意得：4ODBC，OBFC， 7 (0, ) 4 D，(3,4)E
31、， 3 ( 2 A，0)， 9 (2C，4)， 把 7 (0,) 4 D，(3,4)E代入 xb y xa 得： 7 4 3 4 3 b a b a ，解得：4a ，7b ， 把 3 ( 2 A，0)， 9 (2C，4)代入ykxm 得： 3 0 2 9 4 2 km km ，解得： 4 3 k ，2m ； （2）由（1）得：M点在 7 4 x y x 上， 7 ( ,) 4 t M t t ，0t，3， 桥MN的长l为MN到直线 4 2 3 yx的距离， 故 22 3(7) |46| 19 4 ( )|49| 54 34 t t t lf xt t ，0t，3； 由得： 1919 ( )|4
32、9|4(4)7| 5454 f ttt tt ， 而40t ， 9 0 4t ， 99 4(4)2 4(4)12 44 tt tt ， 当且仅当 9 4(4) 4 t t 时即 5 2 t “”成立， 1 ( )| 127| 1 5 min f t 选考题请考生在第（选考题请考生在第（22） 、 （） 、 （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑。作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系xOy
33、中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） 以坐标原点 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()3 2 4 （1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程； 第 18 页（共 18 页） （2）点Q为曲线C上的动点，求点Q到直线l的距离的最大值 【解答】解： （1）曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） 转换为曲线C的普通方程 为 2 2 1 3 x y， sin()3 2 4 ，sincos6， 将cosx，siny代入上式， 得直线l的直角坐标方程为60 xy （ 2 ） 设 曲 线C上 的 点(3 c o s, s
34、i n)Q到 直 线60 xy的 距 离 |2 s i n ()6 | |3 c o ss i n6 | 3 22 d ， 当sin()1 3 时，d取得最大值为4 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |27|25|f xxx （1）求函数( )f x的最小值m； （2）在（1）的条件下，正数a，b满足 22 abm，证明：2abab 【解答】 解： （1） 函数( ) |27|25|27(25)| 2f xxxxx， 当( 27 ) ( 25 ) 0 xx， 即 57 22 x剟时，( )f x取得最小值 2； （2）方法一、正数a，b满足 22 2ab， 22 2abab，1ab，1ab，当且仅当ab取得等号， 又 2 ab ab ，即 1 2 ab ab ，则 2 abab ab ，当且仅当ab取得等号， 则 1 2 ab ab ，2abab 方法二、由0a ，0b ，要证2abab ，只要证 222 ()4aba b， 即证 2222 24ababa b，由 22 2ab，即为 22 224aba b， 即证 2 2()1 0abab ，即为(21)(1) 0abab ，由210ab ，即证1ab， 又 22 22abab，即1ab成立，故2abab
