1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年广东省深圳实验学校高二（上）期末数学试卷学年广东省深圳实验学校高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且分在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分） “0ab ”是方程 22 axbyc表示双曲线的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S若 4 20S ， 5 10a ，则 16 (a )
2、A32 B12 C16 D32 3 （5 分）函数 2 ( )2f xlnxx的递增区间是( ) A 1 (,0) 2 和 1 ( ,) 2 B 11 (,0)( ,) 22 C 1 (,0) 2 D 1 ( ,) 2 4 （5 分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一 条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A2 B3 C 31 2 D 51 2 5 （5 分）已知函数 2 ( )sinf xxxx，( 2 x ，) 2 ，则下列式子成立的是( ) A 13 ( 1)( )( ) 22 fff B 13 ( )( 1)( ) 22 fff C 13 (
3、)( )( 1) 22 fff D 31 ( )( 1)( ) 22 fff 6 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线与抛物线 2 2(0)ypx p的准线 分别交于A、B两点，O为坐标原点 若双曲线的离心率为 2，AOB的面积为3， 则(p ) A1 B 3 2 C2 D3 7 （5 分）已知函数( ) 2 a f xx x 若曲线( )yf x存在两条过(1,0)点的切线，则a的取值 范围是( ) A(，1)(2，) B(，1)(2，) C(，0)(2，) D(，2)(0，) 第 2 页（共 21 页） 8 （5 分）已知函数( )() x e f
4、 xk lnxx x ，若1x 是函数( )f x的唯一极值点，则实数k的 取值范围是( ) A(， e B(, ) e C(,)e D e，) 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）与直线20 xy仅有一个公共点的曲线是( ) A 22 1xy B 2 2 1 2 x y C 22 1xy D 2 yx 10 （5 分）对于函
5、数( ) lnx f x x ，下列说法正确的有( ) A( )f x在xe处取得极大值 1 e B( )f x有两个不同的零点 Cf（2）( )ff（3） D若 1 ( )f xk x 在(0,)上恒成立，则1k 11 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点，则下列说法一定正确的是( ) A|AB的最小值为 2 B线段AB为直径的圆与直线1x 相切 C 12 x x为定值 D若( 1,0)M ，则AMFBMF 12（5 分） 已知数列 n a， n b均为递增数列， n a的前n项和为 n S，
6、 n b的前n项和为 n T 且 满足 1 2 nn aan ， 1 2 (*) n nn bbnN ，则下列说法正确的有( ) A 1 01a B 1 12b C 22nn ST D 22nn ST 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 已知函数( )f x的导函数为( )fx， 且满足( )2f xxf（e）lnx， 则f（e） 14 （5 分）数列 n a满足 1 1 2 a ， 2 12nn aaan a，则数列 n a的通项公式为 15 （5 分）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；
7、光线从 第 3 页（共 21 页） 双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出如图，一个 光学装置由有公共焦点 1 F， 2 F的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点 1 F发出，依次 与反射，又回到了点 1 F，历时 1 t秒；若将装置中的去掉，此光线从点 1 F发出，经两 次反射后又回到了点 1 F，历时 2 t秒；若 21 4tt，则与的离心率之比为 16 （5 分）设a为实数，函数 322 ( )(1)f xxaxax在(,0)和(1,)都是增函数，则a 的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过
8、程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知函数 32 1 ( )2 2 f xxxx （1）求函数( )yf x的图象在1x 处的切线方程； （2）求函数( )yf x在 2，1上的最大值与最小值 18 （12 分）已知等差数列 n a满足 2 0a ， 68 10aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 1 2 n n a 的前n项和 n S 19 （12 分）如图，已知抛物线 2 1 : 2 C yx，直线2yxk交抛物线C于A，B两点，O为 坐标原点 （1）证明：OAOB； （2）设抛物线C在点A处的切线为 1 l，在点B处的切线为 2 l，
9、证明： 1 l与 2 l的交点M在一 定直线上 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，120AB 米，80AD 米， 以AD，BC为直径的半圆 1 O和半圆 2 O（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题 乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园为了进一步提 高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE，FB修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该 主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为AD，BC上的动点，/ /EFAB，且线段EF 与线段AB在圆心 1 O和 2 O连线的同侧已知弧线部分的修建费用为 200 元
10、/米，直线部门的 平均修建费用为 400 元/米 （1）若80EF 米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点E的位置，使得修建费用最低 21（12 分） 已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为(3F ， 0)，且右顶点为(2,0)D设点A的坐标是 1 (1, ) 2 （1）求该椭圆的标准方程； （2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求ABC面积的最大值 第 5 页（共 21 页） 22 （12 分）已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlnxaxax （1）当1a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （2）若
11、函数 2 1 ( )( ) 2 g xf xax有两个不同的零点 1 x， 2 x 求实数a的取值范围； 证明： 2 12 xxe 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年广东省深圳实验学校高二（上）期末数学试卷学年广东省深圳实验学校高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且分在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分） “0ab ”是方程 22 axbyc表示双曲线的( ) A必要不
12、充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若1a ，1b ，0c ，则不能表示双曲线，不是充分条件， 反之，若方程 22 axbyc表示双曲线， 则a，b异号，是必要条件， 故0ab 是方程 22 axbyc表示双曲线的必要不充分条件， 故选：A 2 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S若 4 20S ， 5 10a ，则 16 (a ) A32 B12 C16 D32 【解答】解：设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d， 由 4 20S ， 5 10a ，得 1 1 4620 410 ad ad ，解得 1 2ad 161 15215232
13、aad 故选：D 3 （5 分）函数 2 ( )2f xlnxx的递增区间是( ) A 1 (,0) 2 和 1 ( ,) 2 B 11 (,0)( ,) 22 C 1 (,0) 2 D 1 ( ,) 2 【解答】解：( )f x的定义域是(0,)， 1(21)(21) ( )4 xx fxx xx ， 第 7 页（共 21 页） 令( )0fx，解得： 1 2 x ， 故( )f x在 1 ( 2 ，)递增， 故选：D 4 （5 分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一 条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A2 B3 C 31 2 D 51 2 【解
14、答】解：设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 则( ,0)F c，(0, )Bb 直线:0FB bxcybc与渐近线 b yx a 垂直， 所以1 b b c a ，即 2 bac 所以 22 caac，即 2 10ee ， 所以 15 2 e 或 15 2 e （舍去） 故选：D 5 （5 分）已知函数 2 ( )sinf xxxx，( 2 x ，) 2 ，则下列式子成立的是( ) A 13 ( 1)( )( ) 22 fff B 13 ( )( 1)( ) 22 fff C 13 ( )( )( 1) 22 fff D 31 ( )( 1)( ) 22 fff 【
15、解答】解：函数 2 ( )sinf xxxx，( 2 x ，) 2 ，定义域关于原点对称，且 22 ()()()sin()sin( )fxxxxxxxf x 函数( )f x为偶函数，( 1)ff（1） 又当(0,) 2 x 时，( )2sincos0fxxxxx ( )f x在(0,) 2 上为增函数，则( )f x在(,0) 2 上为减函数 13 1 22 ， 13 ( )(1)( ) 22 fff， 则 13 ( )( 1)( ) 22 fff 第 8 页（共 21 页） 故选：B 6 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线与抛物线 2 2(0)y
16、px p的准线 分别交于A、B两点，O为坐标原点 若双曲线的离心率为 2，AOB的面积为3， 则(p ) A1 B 3 2 C2 D3 【解答】解：双曲线 22 22 1 xy ab ， 双曲线的渐近线方程是 b yx a 又抛物线 2 2(0)ypx p的准线方程是 2 p x ， 故A，B两点的纵坐标分别是 2 pb y a ，双曲线的离心率为 2，所以2 c a ， 222 2 22 13 bca e aa 则3 b a ， A，B两点的纵坐标分别是 3 22 pbp y a ， 又，AOB的面积为3，x轴是角AOB的角平分线 1 33 22 p p，得2p 故选：C 7 （5 分）已知
17、函数( ) 2 a f xx x 若曲线( )yf x存在两条过(1,0)点的切线，则a的取值 范围是( ) A(，1)(2，) B(，1)(2，) C(，0)(2，) D(，2)(0，) 【解答】解：( ) 2 a f xx x 2 ( )1 2 a fx x ，设切点坐标为 0 (x， 0 0 ) 2 a x x ， 则 切 线 方 程 为 ： 00 2 00 (1)() 22 aa yxxx xx 又 切 线 过 点( 1 , 0 )， 可 得 00 22 0 (1)(1) 22 aa xx xx ， 整理得 2 00 220 xaxa， 曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足
18、2 48()0aa，解得0a 或2a ， 第 9 页（共 21 页） 故选：D 8 （5 分）已知函数( )() x e f xk lnxx x ，若1x 是函数( )f x的唯一极值点，则实数k的 取值范围是( ) A(， e B(, ) e C(,)e D e，) 【解答】解：函数( )() x e f xk lnxx x 的定义域是(0,)， 22 (1)(1)()(1) ( ) xx exkxekx x fx xxx 1x 是函数( )f x的唯一一个极值点 1x是导函数( )0fx的唯一根 0 x ekx在(0,)无变号零点， 令( ) x g xekx ( ) x g xek 0k
19、时，( )0g x恒成立( )g x在(0,)时单调递增的 ( )g x的最小值为(0)1g，( )0g x 无解 0k 时，( )0g x有解为：xlnk 0 xlnk时，( )0g x，( )g x单调递减 lnkx时，( )0g x，( )g x单调递增 ( )g x的最小值为()g lnkkklnk 0kklnk ke， 由 x ye和yex图象，它们切于(1, ) e， 综上所述，k e 故选：A 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符
20、合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）与直线20 xy仅有一个公共点的曲线是( ) A 22 1xy B 2 2 1 2 x y C 22 1xy D 2 yx 第 10 页（共 21 页） 【解答】解：直线20 xy与 22 1xy相切，所以只有一个公共点；所以A正确； 直线20 xy经过椭圆 2 2 1 2 x y的右顶点，经过(0, 2)，所以直线与椭圆 2 2 1 2 x y 有 2 个交点，所以B不正确 直线20 xy平行于双曲线的渐近线， 所以直线与双曲线只有一个交点， 所以C正确； 直线20 xy与
21、抛物线 2 yx有 2 个交点，所以D不正确； 故选：AC 10 （5 分）对于函数( ) lnx f x x ，下列说法正确的有( ) A( )f x在xe处取得极大值 1 e B( )f x有两个不同的零点 Cf（2）( )ff（3） D若 1 ( )f xk x 在(0,)上恒成立，则1k 【解答】解：函数的导数 2 1 ( ) lnx fx x ，(0)x ， 令( )0fx得xe，则当0 xe时，( )0fx，函数为增函数， 当xe时，( )0fx，函数( )f x为减函数， 则当xe时，函数取得极大值，极大值为f（e） 1 e ，故A正确， 当0 x ，( )f x ，x，( )0
22、f x ， 则( )f x的图象如图：由( )0f x 得0lnx 得1x ，即函数( )f x只有一个零点，故B错误， 由图象知f（2）f（4） ，f（3）( )ff（4） ，故f（2）( )ff（3）成立，故 C正确， 若 1 ( )f xk x 在(0,)上恒成立， 则 1lnx k xx ， 设 1 ( ) lnx h x xx ，(0)x ， 则 2 ( ) lnx h x x ，当01x时，( )0h x，当1x 时，( )0h x， 即当1x 时，函数( )h x取得极大值同时也是最大值h（1）1， 1k成立，故D正确 第 11 页（共 21 页） 故选：ACD 11 （5 分）
23、已知抛物线 2 :4C yx，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点，则下列说法一定正确的是( ) A|AB的最小值为 2 B线段AB为直径的圆与直线1x 相切 C 12 x x为定值 D若( 1,0)M ，则AMFBMF 【解答】解：抛物线 2 :4C yx，焦点为(1,0)F，准线方程为1x ，过焦点的弦中通径最 短，所以|AB的最小值为24p ，故A不正确， 如图：设线段AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为 1 A， 1 B， 1 D， 由抛物线的定义可得 1 | |AAAF， 1 | |BBBF， 所以 111
24、 11 |(|)| 22 DDAABBAB， 所以以线段AB为直径的圆与直线1x 相切，故B正确； 设直线AB所在的直线方程为1xny， 由 2 1 4 xny yx ，消去x可得 2 440yny， 所以 12 4yyn， 12 4y y ， 所以 2 12 12 () 1 16 y y x x ，故C正确； 所以 第 12 页（共 21 页） 12122112211212 11121212 (1)(1)(2)(2)22() 0 11(1)(1)(1)(1)(1)(1) AMBM yyy xyxy nyy nyny yyy xxxxxxxx kk ，故D正确 故选：BCD 12（5 分） 已
25、知数列 n a， n b均为递增数列， n a的前n项和为 n S， n b的前n项和为 n T 且 满足 1 2 nn aan ， 1 2 (*) n nn bbnN ，则下列说法正确的有( ) A 1 01a B 1 12b C 22nn ST D 22nn ST 【解答】解：数列 n a为递增数列； 123 aaa； 1 2 nn aan ， 12 23 2 4 aa aa ； 121 2321 2 244 aaa aaaa 1 01a；故A正确 2 21234212 ()()()26 102(21)2 nnn Saaaaaann ； 数列 n b为递增数列； 123 bbb； 1 2n
26、 nn bb 第 13 页（共 21 页） 1 2 2 3 2 4 bb b b ； 21 32 bb bb ； 1 12b ，故B正确 2122nn Tbbb 13521242 ()() nn bbbbbbb 12 12 (12 )(12 ) ()(21) 22 nn n bb bb 1 2 2(21)2 2(21) nn bb； 对于任意的*nN， 22nn ST；故C正确，D错误 故选：ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数( )f x的导函数为( )fx，且满足( )2f xxf（e）lnx，则
27、f（e） 1 e 【解答】解：求导得：( )2f x f （e） 1 x ， 把xe代入得：f（e） 1 2ef （e） ， 解得：f（e） 1 e ， 故答案为： 1 e 14 （5 分）数列 n a满足 1 1 2 a ， 2 12nn aaan a，则数列 n a的通项公式为 1 (1) n a n n ，()nN 【解答】解： 2 12nn aaan a， 当2n时， 2 1211 (1) nn aaana ， 两式作差得 22 1 (1) nnn an ana ， 即 22 1 (1)(1) nn nana ， 2 1 (1)(1)(1) nn nnana ， 第 14 页（共 21
28、 页） 即 1 (1)(1) nn nana ， 即 1 1 1 n n an an ， 则 2 1 1 3 a a ， 3 2 2 4 a a ， 4 31 31 51 n n aan aan ， 则 324 1231 1 2 311 22 3 4 51(1)(1) n n aaaan aaaann nn n ， 即 1 2 (1) n a an n ，即 211 (1)2(1) n a n nn n ， 当1n 时， 1 1 2 a ，满足 n a， 故 1 (1) n a n n ，()nN 故答案为： 1 (1) n a n n ，()nN 15 （5 分）光线从椭圆的一个焦点发出，被
29、椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从 双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出如图，一个 光学装置由有公共焦点 1 F， 2 F的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点 1 F发出，依次 与反射，又回到了点 1 F，历时 1 t秒；若将装置中的去掉，此光线从点 1 F发出，经两 次反射后又回到了点 1 F，历时 2 t秒；若 21 4tt，则与的离心率之比为 1:2 【解答】解：在图 1 中，由椭圆的定义知， 121 2BFBFa， 由双曲线的定义知， 212 2AFAFa， 得， 11221112 22BFAFBFAFBFAFABaa， 1 ABF的周长为 12
30、22aa， 在图 2 中，由椭圆的定义知， 1 CDF的周长为 1 4a， 光线的速度相同，且 21 4tt， 第 15 页（共 21 页） 112 21 221 44 taa ta ， 12 2aa， 椭圆和双曲线共焦点， 112 21 2 1 2 c eaa c ea a 故答案为：1:2 16 （5 分）设a为实数，函数 322 ( )(1)f xxaxax在(,0)和(1,)都是增函数，则a 的取值范围是 6 (,1,) 2 【解答】解： 22 ( )32(1)fxxaxa，其判别式 222 41212128aaa， （）若 2 1280a，即 6 2 a ，当(,) 3 a x ，或
31、( 3 a x，)时， ( )0fx，( )f x在(,) 为增函数， 所以 6 2 a ； （）若 2 1280a，恒有( )0fx，( )f x在(,) 为增函数， 所以 2 3 2 a ， 即(a ， 66 )( 22 ，) （）若 2 1280a，即 66 22 a， 令( )0fx， 解得 2 1 32 3 aa x ， 2 2 32 3 aa x ， 当 1 (,)xx ，或 2 (xx，)时，( )0fx，( )f x为增函数； 当 1 (xx， 2) x时，( )0fx，( )f x为减函数依题意 1 0 x且 2 1x 由 1 0 x得 2 32aa，解得 6 1 2 a ，
32、 由 2 1x 得 2 323aa，解得 66 22 a，从而1a， 6 ) 2 第 16 页（共 21 页） 综上，a的取值范围为(， 66 22 ，)1， 6 ) 2 ， 即(a ， 6 1 2 ，) 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知函数 32 1 ( )2 2 f xxxx （1）求函数( )yf x的图象在1x 处的切线方程； （2）求函数( )yf x在 2，1上的最大值与最小值 【解答】解： （1） 32 1 ( )2 2 f xxxx， 2 (
33、 )32fxxx， 1 (1) 2 f ， f （1）2， 函数( )yf x的图象在1x 处的切线方程为： 1 ()2(1) 2 yx ， 即4250 xy （2）令 2 ( )320fxxx，得 1 1x 与 2 2 3 x ， 当x变化时，( )fx、( )f x的变化如下表： x ( 2, 1) 1 2 ?( 1, ) 3 2 3 2 (,1) 3 ( )fx 0 0 ( )f x 3 2 22 27 所以， 1 1x 与 2 2 3 x 是函数在( 2,1)上的两个极值点， 而( 2)2f ， 3 ( 1) 2 f ， 222 ( ) 327 f ， 1 (1) 2 f ， 函数(
34、)yf x在 2，1上的最大值是 3 ( 1) 2 f ，最小值是( 2)2f 18 （12 分）已知等差数列 n a满足 2 0a ， 68 10aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 1 2 n n a 的前n项和 n S 【解答】解： （1）等差数列 n a的公差设为d， 2 0a ， 68 10aa ，可得 第 17 页（共 21 页） 1 0ad， 11 5710adad ， 解得 1 1a ，1d ， 则 1 (1)112 n aandnn ，*nN； （2） 1 1 1 (2) ( ) 22 nn n a n ， 数列 1 2 n n a 的前n项和设为 n S，
35、0221 11111 1 ( )0 ( )( 1) ( )(3) ( )(2) ( ) 22222 nn n Snn ， 231 111111 1 ( )0 ( )( 1) ( )(3) ( )(2) ( ) 222222 nn n Snn ， 上面两式相减可得， 221 111111 1( 1)( )( )( )( )(2) ( ) 222222 nnn n Sn 1 11 (1) 1 22 1( 1)(2) ( ) 1 2 1 2 n n n ， 可得 1 1 ( ) 2 n n Sn 19 （12 分）如图，已知抛物线 2 1 : 2 C yx，直线2yxk交抛物线C于A，B两点，O为
36、坐标原点 （1）证明：OAOB； （2）设抛物线C在点A处的切线为 1 l，在点B处的切线为 2 l，证明： 1 l与 2 l的交点M在一 定直线上 【解答】证明： （1）设 2 11 1 (,) 2 A xx， 2 22 1 (,) 2 B xx， 把2yxk代入 2 1 2 yx，得 2 240 xxk 第 18 页（共 21 页） 由韦达定理得 12 2xx k， 12 4x x 222 11221212 111 ( ,) (,)()0 224 OA OBxxxxx xx x OAOB （2） 2 1 2 yx，yx， 故经过点 2 11 1 (,) 2 A xx的切线 1 l的方程为：
37、 2 111 1 () 2 yxx xx， 即 2 11 1 2 yx xx， 同理，经过点 2 22 1 (,) 2 B xx的切线 2 l的方程为： 2 22 1 2 yx xx， 2 x 1 x，得 12 1 2 2 yx x 即点M在直线:2l y 上 20 （12 分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，120AB 米，80AD 米， 以AD，BC为直径的半圆 1 O和半圆 2 O（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题 乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园为了进一步提 高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE，FB修建不锈钢护栏，沿着
38、线段EF修建该 主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为AD，BC上的动点，/ /EFAB，且线段EF 与线段AB在圆心 1 O和 2 O连线的同侧已知弧线部分的修建费用为 200 元/米，直线部门的 平均修建费用为 400 元/米 （1）若80EF 米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点E的位置，使得修建费用最低 【解答】解： （1）如图，20ME 米， 1 20 3OM 米， 梯形 12 OO FE的面积为 1 (12080)20 32000 3 2 平方米 第 19 页（共 21 页） 矩形 12 AOO B的面积为 4800 平方米 1 6 AO E ，
39、 扇形 1 O AE和扇形 2 O FB的面积均为 1400 1600 263 平方米， 所以阴影部分面积为 800 48002000 3 3 平方米 答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为 800 48002000 3 3 平方米 （2）设 1 ,(0,) 2 AO E ，则AEFB，120240sin12080sinEF， 修建费用( )200 80400 (12080sin )16000(32sin )f ， ( )16000(12cos )f，令( )0f，则 3 ， (0,) 3 3 (,) 3 2 ( )f 0 ( )f 减函数 极小值 增函数 所以，当 3 时，即 1 3 AO
40、E ，修建费用最低 答：当 1 AO E为 3 时，修建费用最低 21（12 分） 已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为(3F ， 0)，且右顶点为(2,0)D设点A的坐标是 1 (1, ) 2 （1）求该椭圆的标准方程； （2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求ABC面积的最大值 第 20 页（共 21 页） 【解答】解： （）由已知得椭圆的半长轴2a ，半焦距3c ，则半短轴1b 又椭圆的焦点在x轴上， 椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y ()II当BC垂直于x轴时，2BC ，1 ABC S 当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为ykx，代入 2 2 1
41、 4 x y 解得(B 22 22 ,) 4141 k kk ，(C 22 22 ,) 4141 k kk ， 则 2 2 1 | 4 14 k BC k ，又点A到直线BC的距离 2 1 | 2 1 k d k ， ABC的面积 2 1|21| | 2 14 ABC k SBC d k 于是 2 22 4414 1 4141 ABC kkk S kk 要使ABC面积的最大值，则0k 由 2 4 1 41 k k ，得2 ABC S，其中，当 1 2 k 时，等号成立 ABC S的最大值是2 22 （12 分）已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlnxaxax （1）当1a 时，求曲线(
42、 )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （2）若函数 2 1 ( )( ) 2 g xf xax有两个不同的零点 1 x， 2 x 求实数a的取值范围； 证明： 2 12 xxe 【解答】解： （1）当1a 时， 2 1 ( )2 2 f xlnxxx，(0,)x， 1 ( )2fxx x ， f （1）0，又 3 (1) 2 f ， 曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程是 3 2 y ； （2）函数 2 1 ( )( ) 2 g xf xax有两个不同的零点 1 x， 2 x， 等价于方程1 lnx a x 有两个不同实根 1 x， 2 x 第 21 页（共 21 页）
43、 令( ) lnx x x ，则 2 1 ( ) lnx x x ， ( ) lnx x x 在(0, ) e上单调递增，在( ,)e 上单调递减， 则当xe时，( ) lnx x x 取得最大值 1 e ， 由于（1）0，当(0,1)x时，( )0 x； 当(1,)x，( )0 x，( )x的大致图象如图所示 当 1 1(0, )a e ，即 1 11a e 时， 函数 2 1 ( )( ) 2 g xf xax有两个不同的零点 1 x， 2 x， 故实数a的取值范围是 1 ( 1,1) e ； 证明：不妨设 12 0 xx， 11 (1)lnxax， 22 (1)lnxax， 两式相加得
44、1212 ()(1)()ln x xaxx， 两式相减得 2 21 1 (1)() x lnaxx x ， 1212 2 21 1 ()ln x xxx x xx ln x 要证 2 12 xxe，只需证 122 12 211 ()2 xxx ln x xln xxx ， 即证 2 2211 2 121 1 2(1) 2 1 x xxxx ln x xxx x ， 设 2 1 (1) x tt x ，令 4 ( )2 1 F tlnt t ， 则 2 2 (1) ( )0 (1) t F t t t ， 函数( )F t在(1,)上单调递增，且F（1）0， ( )0F t，即 2 12 xxe
