1、第 1 页(共 21 页) 2020-2021 学年广东省深圳实验学校高二(上)期末数学试卷学年广东省深圳实验学校高二(上)期末数学试卷 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,有且分在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 (5 分) “0ab ”是方程 22 axbyc表示双曲线的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 (5 分)设等差数列 n a的前n项和为 n S若 4 20S , 5 10a ,则 16 (a )
2、A32 B12 C16 D32 3 (5 分)函数 2 ( )2f xlnxx的递增区间是( ) A 1 (,0) 2 和 1 ( ,) 2 B 11 (,0)( ,) 22 C 1 (,0) 2 D 1 ( ,) 2 4 (5 分)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一 条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A2 B3 C 31 2 D 51 2 5 (5 分)已知函数 2 ( )sinf xxxx,( 2 x ,) 2 ,则下列式子成立的是( ) A 13 ( 1)( )( ) 22 fff B 13 ( )( 1)( ) 22 fff C 13 (
3、)( )( 1) 22 fff D 31 ( )( 1)( ) 22 fff 6 (5 分)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线与抛物线 2 2(0)ypx p的准线 分别交于A、B两点,O为坐标原点 若双曲线的离心率为 2,AOB的面积为3, 则(p ) A1 B 3 2 C2 D3 7 (5 分)已知函数( ) 2 a f xx x 若曲线( )yf x存在两条过(1,0)点的切线,则a的取值 范围是( ) A(,1)(2,) B(,1)(2,) C(,0)(2,) D(,2)(0,) 第 2 页(共 21 页) 8 (5 分)已知函数( )() x e f
4、 xk lnxx x ,若1x 是函数( )f x的唯一极值点,则实数k的 取值范围是( ) A(, e B(, ) e C(,)e D e,) 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项分在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9 (5 分)与直线20 xy仅有一个公共点的曲线是( ) A 22 1xy B 2 2 1 2 x y C 22 1xy D 2 yx 10 (5 分)对于函
5、数( ) lnx f x x ,下列说法正确的有( ) A( )f x在xe处取得极大值 1 e B( )f x有两个不同的零点 Cf(2)( )ff(3) D若 1 ( )f xk x 在(0,)上恒成立,则1k 11 (5 分)已知抛物线 2 :4C yx,焦点为F,过焦点的直线l抛物线C相交于 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y两点,则下列说法一定正确的是( ) A|AB的最小值为 2 B线段AB为直径的圆与直线1x 相切 C 12 x x为定值 D若( 1,0)M ,则AMFBMF 12(5 分) 已知数列 n a, n b均为递增数列, n a的前n项和为 n S,
6、 n b的前n项和为 n T 且 满足 1 2 nn aan , 1 2 (*) n nn bbnN ,则下列说法正确的有( ) A 1 01a B 1 12b C 22nn ST D 22nn ST 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13(5 分) 已知函数( )f x的导函数为( )fx, 且满足( )2f xxf(e)lnx, 则f(e) 14 (5 分)数列 n a满足 1 1 2 a , 2 12nn aaan a,则数列 n a的通项公式为 15 (5 分)光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;
7、光线从 第 3 页(共 21 页) 双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出如图,一个 光学装置由有公共焦点 1 F, 2 F的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点 1 F发出,依次 与反射,又回到了点 1 F,历时 1 t秒;若将装置中的去掉,此光线从点 1 F发出,经两 次反射后又回到了点 1 F,历时 2 t秒;若 21 4tt,则与的离心率之比为 16 (5 分)设a为实数,函数 322 ( )(1)f xxaxax在(,0)和(1,)都是增函数,则a 的取值范围是 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过
8、程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)已知函数 32 1 ( )2 2 f xxxx (1)求函数( )yf x的图象在1x 处的切线方程; (2)求函数( )yf x在 2,1上的最大值与最小值 18 (12 分)已知等差数列 n a满足 2 0a , 68 10aa (1)求数列 n a的通项公式; (2)求数列 1 2 n n a 的前n项和 n S 19 (12 分)如图,已知抛物线 2 1 : 2 C yx,直线2yxk交抛物线C于A,B两点,O为 坐标原点 (1)证明:OAOB; (2)设抛物线C在点A处的切线为 1 l,在点B处的切线为 2 l,
9、证明: 1 l与 2 l的交点M在一 定直线上 第 4 页(共 21 页) 20 (12 分)如图,某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,120AB 米,80AD 米, 以AD,BC为直径的半圆 1 O和半圆 2 O(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题 乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园为了进一步提 高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着AE,FB修建不锈钢护栏,沿着线段EF修建该 主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为AD,BC上的动点,/ /EFAB,且线段EF 与线段AB在圆心 1 O和 2 O连线的同侧已知弧线部分的修建费用为 200 元
10、/米,直线部门的 平均修建费用为 400 元/米 (1)若80EF 米,则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米? (2)试确定点E的位置,使得修建费用最低 21(12 分) 已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为(3F , 0),且右顶点为(2,0)D设点A的坐标是 1 (1, ) 2 (1)求该椭圆的标准方程; (2)过原点O的直线交椭圆于点B、C,求ABC面积的最大值 第 5 页(共 21 页) 22 (12 分)已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlnxaxax (1)当1a 时,求曲线( )yf x在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若
11、函数 2 1 ( )( ) 2 g xf xax有两个不同的零点 1 x, 2 x 求实数a的取值范围; 证明: 2 12 xxe 第 6 页(共 21 页) 2020-2021 学年广东省深圳实验学校高二(上)期末数学试卷学年广东省深圳实验学校高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,有且分在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 (5 分) “0ab ”是方程 22 axbyc表示双曲线的( ) A必要不
12、充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解:若1a ,1b ,0c ,则不能表示双曲线,不是充分条件, 反之,若方程 22 axbyc表示双曲线, 则a,b异号,是必要条件, 故0ab 是方程 22 axbyc表示双曲线的必要不充分条件, 故选:A 2 (5 分)设等差数列 n a的前n项和为 n S若 4 20S , 5 10a ,则 16 (a ) A32 B12 C16 D32 【解答】解:设等差数列 n a的首项为 1 a,公差为d, 由 4 20S , 5 10a ,得 1 1 4620 410 ad ad ,解得 1 2ad 161 15215232
13、aad 故选:D 3 (5 分)函数 2 ( )2f xlnxx的递增区间是( ) A 1 (,0) 2 和 1 ( ,) 2 B 11 (,0)( ,) 22 C 1 (,0) 2 D 1 ( ,) 2 【解答】解:( )f x的定义域是(0,), 1(21)(21) ( )4 xx fxx xx , 第 7 页(共 21 页) 令( )0fx,解得: 1 2 x , 故( )f x在 1 ( 2 ,)递增, 故选:D 4 (5 分)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一 条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A2 B3 C 31 2 D 51 2 【解
14、答】解:设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab , 则( ,0)F c,(0, )Bb 直线:0FB bxcybc与渐近线 b yx a 垂直, 所以1 b b c a ,即 2 bac 所以 22 caac,即 2 10ee , 所以 15 2 e 或 15 2 e (舍去) 故选:D 5 (5 分)已知函数 2 ( )sinf xxxx,( 2 x ,) 2 ,则下列式子成立的是( ) A 13 ( 1)( )( ) 22 fff B 13 ( )( 1)( ) 22 fff C 13 ( )( )( 1) 22 fff D 31 ( )( 1)( ) 22 fff 【
15、解答】解:函数 2 ( )sinf xxxx,( 2 x ,) 2 ,定义域关于原点对称,且 22 ()()()sin()sin( )fxxxxxxxf x 函数( )f x为偶函数,( 1)ff(1) 又当(0,) 2 x 时,( )2sincos0fxxxxx ( )f x在(0,) 2 上为增函数,则( )f x在(,0) 2 上为减函数 13 1 22 , 13 ( )(1)( ) 22 fff, 则 13 ( )( 1)( ) 22 fff 第 8 页(共 21 页) 故选:B 6 (5 分)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线与抛物线 2 2(0)y
16、px p的准线 分别交于A、B两点,O为坐标原点 若双曲线的离心率为 2,AOB的面积为3, 则(p ) A1 B 3 2 C2 D3 【解答】解:双曲线 22 22 1 xy ab , 双曲线的渐近线方程是 b yx a 又抛物线 2 2(0)ypx p的准线方程是 2 p x , 故A,B两点的纵坐标分别是 2 pb y a ,双曲线的离心率为 2,所以2 c a , 222 2 22 13 bca e aa 则3 b a , A,B两点的纵坐标分别是 3 22 pbp y a , 又,AOB的面积为3,x轴是角AOB的角平分线 1 33 22 p p,得2p 故选:C 7 (5 分)已知
17、函数( ) 2 a f xx x 若曲线( )yf x存在两条过(1,0)点的切线,则a的取值 范围是( ) A(,1)(2,) B(,1)(2,) C(,0)(2,) D(,2)(0,) 【解答】解:( ) 2 a f xx x 2 ( )1 2 a fx x ,设切点坐标为 0 (x, 0 0 ) 2 a x x , 则 切 线 方 程 为 : 00 2 00 (1)() 22 aa yxxx xx 又 切 线 过 点( 1 , 0 ), 可 得 00 22 0 (1)(1) 22 aa xx xx , 整理得 2 00 220 xaxa, 曲线存在两条切线,故方程有两个不等实根,即满足
18、2 48()0aa,解得0a 或2a , 第 9 页(共 21 页) 故选:D 8 (5 分)已知函数( )() x e f xk lnxx x ,若1x 是函数( )f x的唯一极值点,则实数k的 取值范围是( ) A(, e B(, ) e C(,)e D e,) 【解答】解:函数( )() x e f xk lnxx x 的定义域是(0,), 22 (1)(1)()(1) ( ) xx exkxekx x fx xxx 1x 是函数( )f x的唯一一个极值点 1x是导函数( )0fx的唯一根 0 x ekx在(0,)无变号零点, 令( ) x g xekx ( ) x g xek 0k
19、时,( )0g x恒成立( )g x在(0,)时单调递增的 ( )g x的最小值为(0)1g,( )0g x 无解 0k 时,( )0g x有解为:xlnk 0 xlnk时,( )0g x,( )g x单调递减 lnkx时,( )0g x,( )g x单调递增 ( )g x的最小值为()g lnkkklnk 0kklnk ke, 由 x ye和yex图象,它们切于(1, ) e, 综上所述,k e 故选:A 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项分在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求全部选对的得符
20、合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9 (5 分)与直线20 xy仅有一个公共点的曲线是( ) A 22 1xy B 2 2 1 2 x y C 22 1xy D 2 yx 第 10 页(共 21 页) 【解答】解:直线20 xy与 22 1xy相切,所以只有一个公共点;所以A正确; 直线20 xy经过椭圆 2 2 1 2 x y的右顶点,经过(0, 2),所以直线与椭圆 2 2 1 2 x y 有 2 个交点,所以B不正确 直线20 xy平行于双曲线的渐近线, 所以直线与双曲线只有一个交点, 所以C正确; 直线20 xy与
21、抛物线 2 yx有 2 个交点,所以D不正确; 故选:AC 10 (5 分)对于函数( ) lnx f x x ,下列说法正确的有( ) A( )f x在xe处取得极大值 1 e B( )f x有两个不同的零点 Cf(2)( )ff(3) D若 1 ( )f xk x 在(0,)上恒成立,则1k 【解答】解:函数的导数 2 1 ( ) lnx fx x ,(0)x , 令( )0fx得xe,则当0 xe时,( )0fx,函数为增函数, 当xe时,( )0fx,函数( )f x为减函数, 则当xe时,函数取得极大值,极大值为f(e) 1 e ,故A正确, 当0 x ,( )f x ,x,( )0
22、f x , 则( )f x的图象如图:由( )0f x 得0lnx 得1x ,即函数( )f x只有一个零点,故B错误, 由图象知f(2)f(4) ,f(3)( )ff(4) ,故f(2)( )ff(3)成立,故 C正确, 若 1 ( )f xk x 在(0,)上恒成立, 则 1lnx k xx , 设 1 ( ) lnx h x xx ,(0)x , 则 2 ( ) lnx h x x ,当01x时,( )0h x,当1x 时,( )0h x, 即当1x 时,函数( )h x取得极大值同时也是最大值h(1)1, 1k成立,故D正确 第 11 页(共 21 页) 故选:ACD 11 (5 分)
23、已知抛物线 2 :4C yx,焦点为F,过焦点的直线l抛物线C相交于 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y两点,则下列说法一定正确的是( ) A|AB的最小值为 2 B线段AB为直径的圆与直线1x 相切 C 12 x x为定值 D若( 1,0)M ,则AMFBMF 【解答】解:抛物线 2 :4C yx,焦点为(1,0)F,准线方程为1x ,过焦点的弦中通径最 短,所以|AB的最小值为24p ,故A不正确, 如图:设线段AB的中点为D,过点A,B,D作准线的垂线,垂足分别为 1 A, 1 B, 1 D, 由抛物线的定义可得 1 | |AAAF, 1 | |BBBF, 所以 111
24、 11 |(|)| 22 DDAABBAB, 所以以线段AB为直径的圆与直线1x 相切,故B正确; 设直线AB所在的直线方程为1xny, 由 2 1 4 xny yx ,消去x可得 2 440yny, 所以 12 4yyn, 12 4y y , 所以 2 12 12 () 1 16 y y x x ,故C正确; 所以 第 12 页(共 21 页) 12122112211212 11121212 (1)(1)(2)(2)22() 0 11(1)(1)(1)(1)(1)(1) AMBM yyy xyxy nyy nyny yyy xxxxxxxx kk ,故D正确 故选:BCD 12(5 分) 已
25、知数列 n a, n b均为递增数列, n a的前n项和为 n S, n b的前n项和为 n T 且 满足 1 2 nn aan , 1 2 (*) n nn bbnN ,则下列说法正确的有( ) A 1 01a B 1 12b C 22nn ST D 22nn ST 【解答】解:数列 n a为递增数列; 123 aaa; 1 2 nn aan , 12 23 2 4 aa aa ; 121 2321 2 244 aaa aaaa 1 01a;故A正确 2 21234212 ()()()26 102(21)2 nnn Saaaaaann ; 数列 n b为递增数列; 123 bbb; 1 2n
26、 nn bb 第 13 页(共 21 页) 1 2 2 3 2 4 bb b b ; 21 32 bb bb ; 1 12b ,故B正确 2122nn Tbbb 13521242 ()() nn bbbbbbb 12 12 (12 )(12 ) ()(21) 22 nn n bb bb 1 2 2(21)2 2(21) nn bb; 对于任意的*nN, 22nn ST;故C正确,D错误 故选:ABC 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知函数( )f x的导函数为( )fx,且满足( )2f xxf(e)lnx,则
27、f(e) 1 e 【解答】解:求导得:( )2f x f (e) 1 x , 把xe代入得:f(e) 1 2ef (e) , 解得:f(e) 1 e , 故答案为: 1 e 14 (5 分)数列 n a满足 1 1 2 a , 2 12nn aaan a,则数列 n a的通项公式为 1 (1) n a n n ,()nN 【解答】解: 2 12nn aaan a, 当2n时, 2 1211 (1) nn aaana , 两式作差得 22 1 (1) nnn an ana , 即 22 1 (1)(1) nn nana , 2 1 (1)(1)(1) nn nnana , 第 14 页(共 21
28、 页) 即 1 (1)(1) nn nana , 即 1 1 1 n n an an , 则 2 1 1 3 a a , 3 2 2 4 a a , 4 31 31 51 n n aan aan , 则 324 1231 1 2 311 22 3 4 51(1)(1) n n aaaan aaaann nn n , 即 1 2 (1) n a an n ,即 211 (1)2(1) n a n nn n , 当1n 时, 1 1 2 a ,满足 n a, 故 1 (1) n a n n ,()nN 故答案为: 1 (1) n a n n ,()nN 15 (5 分)光线从椭圆的一个焦点发出,被
29、椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从 双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出如图,一个 光学装置由有公共焦点 1 F, 2 F的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点 1 F发出,依次 与反射,又回到了点 1 F,历时 1 t秒;若将装置中的去掉,此光线从点 1 F发出,经两 次反射后又回到了点 1 F,历时 2 t秒;若 21 4tt,则与的离心率之比为 1:2 【解答】解:在图 1 中,由椭圆的定义知, 121 2BFBFa, 由双曲线的定义知, 212 2AFAFa, 得, 11221112 22BFAFBFAFBFAFABaa, 1 ABF的周长为 12
30、22aa, 在图 2 中,由椭圆的定义知, 1 CDF的周长为 1 4a, 光线的速度相同,且 21 4tt, 第 15 页(共 21 页) 112 21 221 44 taa ta , 12 2aa, 椭圆和双曲线共焦点, 112 21 2 1 2 c eaa c ea a 故答案为:1:2 16 (5 分)设a为实数,函数 322 ( )(1)f xxaxax在(,0)和(1,)都是增函数,则a 的取值范围是 6 (,1,) 2 【解答】解: 22 ( )32(1)fxxaxa,其判别式 222 41212128aaa, ()若 2 1280a,即 6 2 a ,当(,) 3 a x ,或
31、( 3 a x,)时, ( )0fx,( )f x在(,) 为增函数, 所以 6 2 a ; ()若 2 1280a,恒有( )0fx,( )f x在(,) 为增函数, 所以 2 3 2 a , 即(a , 66 )( 22 ,) ()若 2 1280a,即 66 22 a, 令( )0fx, 解得 2 1 32 3 aa x , 2 2 32 3 aa x , 当 1 (,)xx ,或 2 (xx,)时,( )0fx,( )f x为增函数; 当 1 (xx, 2) x时,( )0fx,( )f x为减函数依题意 1 0 x且 2 1x 由 1 0 x得 2 32aa,解得 6 1 2 a ,
32、 由 2 1x 得 2 323aa,解得 66 22 a,从而1a, 6 ) 2 第 16 页(共 21 页) 综上,a的取值范围为(, 66 22 ,)1, 6 ) 2 , 即(a , 6 1 2 ,) 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)已知函数 32 1 ( )2 2 f xxxx (1)求函数( )yf x的图象在1x 处的切线方程; (2)求函数( )yf x在 2,1上的最大值与最小值 【解答】解: (1) 32 1 ( )2 2 f xxxx, 2 (
33、 )32fxxx, 1 (1) 2 f , f (1)2, 函数( )yf x的图象在1x 处的切线方程为: 1 ()2(1) 2 yx , 即4250 xy (2)令 2 ( )320fxxx,得 1 1x 与 2 2 3 x , 当x变化时,( )fx、( )f x的变化如下表: x ( 2, 1) 1 2 ?( 1, ) 3 2 3 2 (,1) 3 ( )fx 0 0 ( )f x 3 2 22 27 所以, 1 1x 与 2 2 3 x 是函数在( 2,1)上的两个极值点, 而( 2)2f , 3 ( 1) 2 f , 222 ( ) 327 f , 1 (1) 2 f , 函数(
34、)yf x在 2,1上的最大值是 3 ( 1) 2 f ,最小值是( 2)2f 18 (12 分)已知等差数列 n a满足 2 0a , 68 10aa (1)求数列 n a的通项公式; (2)求数列 1 2 n n a 的前n项和 n S 【解答】解: (1)等差数列 n a的公差设为d, 2 0a , 68 10aa ,可得 第 17 页(共 21 页) 1 0ad, 11 5710adad , 解得 1 1a ,1d , 则 1 (1)112 n aandnn ,*nN; (2) 1 1 1 (2) ( ) 22 nn n a n , 数列 1 2 n n a 的前n项和设为 n S,
35、0221 11111 1 ( )0 ( )( 1) ( )(3) ( )(2) ( ) 22222 nn n Snn , 231 111111 1 ( )0 ( )( 1) ( )(3) ( )(2) ( ) 222222 nn n Snn , 上面两式相减可得, 221 111111 1( 1)( )( )( )( )(2) ( ) 222222 nnn n Sn 1 11 (1) 1 22 1( 1)(2) ( ) 1 2 1 2 n n n , 可得 1 1 ( ) 2 n n Sn 19 (12 分)如图,已知抛物线 2 1 : 2 C yx,直线2yxk交抛物线C于A,B两点,O为
36、坐标原点 (1)证明:OAOB; (2)设抛物线C在点A处的切线为 1 l,在点B处的切线为 2 l,证明: 1 l与 2 l的交点M在一 定直线上 【解答】证明: (1)设 2 11 1 (,) 2 A xx, 2 22 1 (,) 2 B xx, 把2yxk代入 2 1 2 yx,得 2 240 xxk 第 18 页(共 21 页) 由韦达定理得 12 2xx k, 12 4x x 222 11221212 111 ( ,) (,)()0 224 OA OBxxxxx xx x OAOB (2) 2 1 2 yx,yx, 故经过点 2 11 1 (,) 2 A xx的切线 1 l的方程为:
37、 2 111 1 () 2 yxx xx, 即 2 11 1 2 yx xx, 同理,经过点 2 22 1 (,) 2 B xx的切线 2 l的方程为: 2 22 1 2 yx xx, 2 x 1 x,得 12 1 2 2 yx x 即点M在直线:2l y 上 20 (12 分)如图,某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,120AB 米,80AD 米, 以AD,BC为直径的半圆 1 O和半圆 2 O(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题 乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园为了进一步提 高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着AE,FB修建不锈钢护栏,沿着
38、线段EF修建该 主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为AD,BC上的动点,/ /EFAB,且线段EF 与线段AB在圆心 1 O和 2 O连线的同侧已知弧线部分的修建费用为 200 元/米,直线部门的 平均修建费用为 400 元/米 (1)若80EF 米,则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米? (2)试确定点E的位置,使得修建费用最低 【解答】解: (1)如图,20ME 米, 1 20 3OM 米, 梯形 12 OO FE的面积为 1 (12080)20 32000 3 2 平方米 第 19 页(共 21 页) 矩形 12 AOO B的面积为 4800 平方米 1 6 AO E ,
39、 扇形 1 O AE和扇形 2 O FB的面积均为 1400 1600 263 平方米, 所以阴影部分面积为 800 48002000 3 3 平方米 答:检票等候区域(图中阴影部分)面积为 800 48002000 3 3 平方米 (2)设 1 ,(0,) 2 AO E ,则AEFB,120240sin12080sinEF, 修建费用( )200 80400 (12080sin )16000(32sin )f , ( )16000(12cos )f,令( )0f,则 3 , (0,) 3 3 (,) 3 2 ( )f 0 ( )f 减函数 极小值 增函数 所以,当 3 时,即 1 3 AO
40、E ,修建费用最低 答:当 1 AO E为 3 时,修建费用最低 21(12 分) 已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为(3F , 0),且右顶点为(2,0)D设点A的坐标是 1 (1, ) 2 (1)求该椭圆的标准方程; (2)过原点O的直线交椭圆于点B、C,求ABC面积的最大值 第 20 页(共 21 页) 【解答】解: ()由已知得椭圆的半长轴2a ,半焦距3c ,则半短轴1b 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y ()II当BC垂直于x轴时,2BC ,1 ABC S 当BC不垂直于x轴时,设该直线方程为ykx,代入 2 2 1
41、 4 x y 解得(B 22 22 ,) 4141 k kk ,(C 22 22 ,) 4141 k kk , 则 2 2 1 | 4 14 k BC k ,又点A到直线BC的距离 2 1 | 2 1 k d k , ABC的面积 2 1|21| | 2 14 ABC k SBC d k 于是 2 22 4414 1 4141 ABC kkk S kk 要使ABC面积的最大值,则0k 由 2 4 1 41 k k ,得2 ABC S,其中,当 1 2 k 时,等号成立 ABC S的最大值是2 22 (12 分)已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlnxaxax (1)当1a 时,求曲线(
42、 )yf x在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 2 1 ( )( ) 2 g xf xax有两个不同的零点 1 x, 2 x 求实数a的取值范围; 证明: 2 12 xxe 【解答】解: (1)当1a 时, 2 1 ( )2 2 f xlnxxx,(0,)x, 1 ( )2fxx x , f (1)0,又 3 (1) 2 f , 曲线( )yf x在点(1,f(1))处的切线方程是 3 2 y ; (2)函数 2 1 ( )( ) 2 g xf xax有两个不同的零点 1 x, 2 x, 等价于方程1 lnx a x 有两个不同实根 1 x, 2 x 第 21 页(共 21 页)
43、 令( ) lnx x x ,则 2 1 ( ) lnx x x , ( ) lnx x x 在(0, ) e上单调递增,在( ,)e 上单调递减, 则当xe时,( ) lnx x x 取得最大值 1 e , 由于(1)0,当(0,1)x时,( )0 x; 当(1,)x,( )0 x,( )x的大致图象如图所示 当 1 1(0, )a e ,即 1 11a e 时, 函数 2 1 ( )( ) 2 g xf xax有两个不同的零点 1 x, 2 x, 故实数a的取值范围是 1 ( 1,1) e ; 证明:不妨设 12 0 xx, 11 (1)lnxax, 22 (1)lnxax, 两式相加得
44、1212 ()(1)()ln x xaxx, 两式相减得 2 21 1 (1)() x lnaxx x , 1212 2 21 1 ()ln x xxx x xx ln x 要证 2 12 xxe,只需证 122 12 211 ()2 xxx ln x xln xxx , 即证 2 2211 2 121 1 2(1) 2 1 x xxxx ln x xxx x , 设 2 1 (1) x tt x ,令 4 ( )2 1 F tlnt t , 则 2 2 (1) ( )0 (1) t F t t t , 函数( )F t在(1,)上单调递增,且F(1)0, ( )0F t,即 2 12 xxe