1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年上海市闵行区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市闵行区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 一、选择题（本大共一、选择题（本大共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）下列函数中，是二次函数的是( ) A 2 2 3yx x B 22 (1)yxx C 2 1129yxx D 2 yaxbxc 2 （4 分）已知在Rt ABC中，90C，B，5AB ，那么AC的长为( ) A5cos B5sin C 5 cos D 5 sin 3 （4 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 2 yax
2、bxc图象经过点(0,0)O， 那么根据图象，下列判断正确的是( ) A0a B0b C0ab D0c 4 （4 分）以下说法错误的是( ) A如果0a k，那么0a B如果2ab ，那么| 2|ab C如果 2 ( 3 ab b为非零向量） ，那么/ /ab D如果 0 a是与非向量a同方向的单位向量，那么 0 |aa a 5 （4 分）已知A与B的半径分别是 6 和 8，圆心距2AB ，那么A与B的位置关系 是( ) A相交 B内切 C外切 D内含 6 （4 分）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长 度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是
3、最优美的一位女士身高为 154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的 第 2 页（共 21 页） 高跟鞋，使自己的下半身长度增加你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？( ) A4cm B6cm C8cm D10cm 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）如果23 (0)ab b，那么 a b 8 （4 分）化简： 12 ( 3) 33 abb 9 （4 分）抛物线 2 3yxx在对称轴的右侧部分是 的（填“上升”或“下降” ) 10 （4 分）将抛物线 2 2yxx向下平
4、移 1 个单位，那么所得抛物线与y轴的交点的坐标 为 11 （4 分）已知两个相似三角形的相似比为4:9，那么这两个三角形的周长之比为 12 （4 分）在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且/ /DEBC，如果 2 5 DE BC ，那 么 AE EC 13 （4 分）在直角坐标平面内有一点(12,5)A，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角 为，那么cos 14 （4 分）如果港口A的南偏东52方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向 是 15 （4 分）正六边形的边心距与半径的比值为 16（4分） 如图， 在ABC中，2ABAC， 点D在边AB上， 且ACDB ， 那么 AC
5、D ABC S S 17 （4 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，5AB ，3BC ，点P在边AC上，P 的半径为 1如果P与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是 第 3 页（共 21 页） 18 （4 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，3AB ， 1 tan 2 B 将ABC绕着点A顺 时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交 于点F，那么BF 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： 2 4sin 45 2cos60cot30 tan601 20 （10 分
6、）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点OE为OC的中 点，联结BE并延长，交边CD于点F设BAa，BCb （1）填空：向量AE ； （2）填空：向量BF ，并在图中画出向量BF在向量BA和BC方向上的分向量 （注：本体结果用含向量a、b的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结 论的向量） 21 （10 分）如图，O是BC的外接圆，AB长为 4，ABAC，联结CO并延长，交边 AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点求： 第 4 页（共 21 页） （1）边BC的长； （2）O的半径 22 （10 分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼
7、进行区间 测速如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为 9 米，区间测速的起点为下引桥 坡面点A处，此时电子眼的俯角为30；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼 的俯角为60 (A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长（结果保留根号） ； （2）当下引桥坡度1:2 3i 时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号） 23（12 分） 如图， 点E为ABC边BC上一点， 过点C作CDBA， 交BA的延长线于点D， 交EA的延长线于点F，且AF CDBC AD （1）求证：AEBC； （2）如果BECE，求证： 2 2BCBD AC 24 （12 分）在平面直角坐标系
8、xOy中，如果抛物线 2 yaxbxc上存在一点A，使点A 关于坐标原点O的对称点A也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线， 点A叫做这条抛物线的回归点 第 5 页（共 21 页） （1）已知点M在抛物线 2 24yxx上，且点M的横坐标为 2，试判断抛物线 2 24yxx是否为回归抛物线，并说明理由； （2）已知点C为回归抛物线 2 2yxxc的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求 这条抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D联结CO并延长，交该 抛物线于点E，点F是射线CD上一点，如果CFEDEC ，求点F的坐标 25 （14 分）如图
9、，在矩形ABCD中，2AB ，1AD ，点E在边AB上（点E与端点A、 B不重合） ， 联结DE， 过点D作DFDE， 交BC的延长线于点F， 联结EF， 与对角线AC、 边CD分别交于点G、H设AEx，DHy （1）求证：ADECDF，并求EFD的正切值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结BG，当BGE与DEH相似时，求x的值 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年上海市闵行区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市闵行区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大共一、选择题（本大共 6
10、 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）下列函数中，是二次函数的是( ) A 2 2 3yx x B 22 (1)yxx C 2 1129yxx D 2 yaxbxc 【解答】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意； B、 22 (1)21yxxx，不是二次函数，故此选项不合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、当0a 时，不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C 2 （4 分）已知在Rt ABC中，90C，B，5AB ，那么AC的长为( ) A5cos B5sin C 5 cos D 5 sin 【解答】解：在Rt ABC中，90C，B，
11、5AB ， sinsin AC B AB ， sin5sinACAB， 故选：B 3 （4 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 2 yaxbxc图象经过点(0,0)O， 那么根据图象，下列判断正确的是( ) A0a B0b C0ab D0c 【解答】解：抛物线开口向上， 第 7 页（共 21 页） 0a，故A错误； 0 2 b a ，0a ， 0b，故B错误； 0a ，0b ， 0ab，故C错误； 图象经过点(0,0)O， 0c ，故D正确； 故选：D 4 （4 分）以下说法错误的是( ) A如果0a k，那么0a B如果2ab ，那么| 2|ab C如果 2 ( 3 ab b为非零
12、向量） ，那么/ /ab D如果 0 a是与非向量a同方向的单位向量，那么 0 |aa a 【解答】解：A、如果0a k，那么0k，故本选项符合题意 B、如果2ab ，那么| 2|ab，故本选项不符合题意 C、如果 2 ( 3 ab b为非零向量） ，那么a与b方向相同，则/ /ab，故本选项不符合题意 D、如果 0 a是与非向量a同方向的单位向量，那么 0 |aa a，故本选项不符合题意 故选：A 5 （4 分）已知A与B的半径分别是 6 和 8，圆心距2AB ，那么A与B的位置关系 是( ) A相交 B内切 C外切 D内含 【解答】解：因为862，圆心距2AB ， 所以dRr， 所以两圆内
13、切 故选：B 6 （4 分）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长 度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的一位女士身高为 第 8 页（共 21 页） 154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的 高跟鞋，使自己的下半身长度增加你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？( ) A4cm B6cm C8cm D10cm 【解答】解：一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm， 她下半身的长度为92cm， 设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美， 根据题意得 62 0.618 92x ， 解得8
14、.3()xcm 经检验8.3x 为原方程的解， 所以选择鞋跟高为 8 厘米的高跟鞋最佳 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）如果23 (0)ab b，那么 a b 3 2 【解答】解：23 (0)ab b， 3 2 a b 故答案为： 3 2 8 （4 分）化简： 12 ( 3) 33 abb ab 【解答】解：原式 12 33 abbab 故答案是：ab 9 （4 分）抛物线 2 3yxx在对称轴的右侧部分是 下降 的（填“上升”或“下降” ) 【解答】解： 2 3yxx， 抛物线开口向下，对称轴为直
15、线 33 2( 1)2 x ， 在y轴右侧，y随x增大而减小， 其图象在y轴右侧部分是下降， 故答案为：下降 第 9 页（共 21 页） 10 （4 分）将抛物线 2 2yxx向下平移 1 个单位，那么所得抛物线与y轴的交点的坐标 为 (0, 1) 【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线 22 2(1)1yxxx的图 象向下平移 1 个单位，则平移后的抛物线的表达式为 22 2(1)2yxxx， 令0 x ，则1y 所以所得抛物线与y轴的交点的坐标为(0, 1) 故答案是：(0, 1) 11（4 分） 已知两个相似三角形的相似比为4:9， 那么这两个三角形的周长之比为 4:9
16、 【解答】解：两个相似三角形的相似比为4:9， 它们的周长比等于相似比，即：4:9 故答案为4:9 12 （4 分）在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且/ /DEBC，如果 2 5 DE BC ，那 么 AE EC 2 3 【解答】解：如图， / /DEBC， ADEABC， 2 5 DEAE BCAC ， 2 3 AE EC ， 故答案为： 2 3 13 （4 分）在直角坐标平面内有一点(12,5)A，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角 为，那么cos 12 13 【解答】解：作ABx轴于点B，如右图所示， 第 10 页（共 21 页） 点(12,5)A， 12OB，5AB ，9
17、0ABO， 22 12513OA， 12 cos 13 OB AOB OA ， 即 12 cos 13 ， 故答案为： 12 13 14 （4 分）如果港口A的南偏东52方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向 是 北偏西52 【解答】解：如图，1252 ， 从小岛B观察港口A的方向是北偏西52 故答案为：北偏西52 15 （4 分）正六边形的边心距与半径的比值为 3 2 【解答】解：设正六边形的半径是r，则外接圆的半径r，内切圆的半径是正六边形的边心 距，因而是 3 2 r，则可知正六边形的边心距与半径的比值为 3 2 16 （4 分）如图，在ABC中，2ABAC，点D在边AB上，且A
18、CDB ，那么 ACD ABC S S 第 11 页（共 21 页） 1 4 【解答】解：ACDB ，AA ， ACDABC， 22 1 ()() 24 ACD ABC SACAC SABAC 故答案为： 1 4 17 （4 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，5AB ，3BC ，点P在边AC上，P 的半径为 1如果P与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是 7 1 3 CP 【解答】解：在Rt ABC中，90ACB，5AB ，3BC ， 4AC， 当P与AB相切时，设切点为D，如图， 连接PD， 则PDAB， 90CADP ， AA ， ADPACB， PDPA BCAB
19、 ， 1 35 PA ， 第 12 页（共 21 页） 5 3 PA， 7 3 PCACPA， 线段PC长的取值范围是 7 1 3 CP， 故答案为： 7 1 3 CP 18 （4 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，3AB ， 1 tan 2 B 将ABC绕着点A顺 时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交 于点F，那么BF 35 【解答】解：如图，过点F作FGAC于点G， 将ABC绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处， BD， 1 tantan 2 FG BD GD ， 第 13 页（共 21 页） 90ACBFGA ， / /B
20、CFG， BAFG ， 1 tantan 2 AG BAFG FG ， 设AGx，则2FGx， 21 32 x x ， 解得1x ， 1AG，2FG ， 2222 215AFFGAG， 35BFABAF 故答案为：35 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： 2 4sin 45 2cos60cot30 tan601 【解答】解：原式 2 2 4() 1 2 23 231 1 4 2 13 31 2 13 31 1331 2 20 （10 分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点OE为OC的中 点，联结BE并延长
21、，交边CD于点F设BAa，BCb （1）填空：向量AE 33 44 ba ； （2）填空：向量BF ，并在图中画出向量BF在向量BA和BC方向上的分向量 （注：本体结果用含向量a、b的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结 论的向量） 第 14 页（共 21 页） 【解答】解： （1）ACABBC，BAa，BCb ACba， 四边形ABCD是平行四边形， OAOC， OEEC， 3 4 AEAC， 33 44 AEba 故答案为： 33 44 ba （2）/ /CFAB， :1:3CF ABEC AE， 1 3 CFBA， 1 3 CFa， 1 3 BFBCCFab BF在向量BA
22、和BC方向上的分向量分别为BT和BC 故答案为： 1 3 ab 21 （10 分）如图，O是BC的外接圆，AB长为 4，ABAC，联结CO并延长，交边 AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点求： 第 15 页（共 21 页） （1）边BC的长； （2）O的半径 【解答】解： （1）E点为AB的中点，CE为直径， CEAB， ADBD， 即CD垂直平分AB， 4CBCA； （2）连接OB，如图， ABBCAC， ABC为等边三角形， 60A， 2120BOCA ， 60BOD， 在Rt BOD中， 1 2 2 BDAB， 32 3 33 ODBD， 4 3 2 3 OBOD， 即O的半径为
23、 4 3 3 第 16 页（共 21 页） 22 （10 分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间 测速如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为 9 米，区间测速的起点为下引桥 坡面点A处，此时电子眼的俯角为30；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼 的俯角为60 (A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长（结果保留根号） ； （2）当下引桥坡度1:2 3i 时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号） 【解答】解： （1）由题意，60PBQTPB， 90PQB， 30BPQ， 3 tan3093 3 3 BQPQ （米) （2）如
24、图，过点A作AMQB于M，AHPQ于H 由题意，30PAHTPA ， 设AMa米，则2 3BMa米， 90AHQHQMAMQ， 四边形AHQM是矩形， (3 32 3 )AHQMa米，QHAMa米，(9)PHPQHQa米， 在Rt APH中，tan PH PAH AH ， 39 33 32 3 a a ， 解得2a ， 2AM（米)，4 3BM （米)， 2222 2(4 3)2 13ABAMBM（米) 第 17 页（共 21 页） 23（12 分） 如图， 点E为ABC边BC上一点， 过点C作CDBA， 交BA的延长线于点D， 交EA的延长线于点F，且AF CDBC AD （1）求证：AEB
25、C； （2）如果BECE，求证： 2 2BCBD AC 【解答】证明： （1）AF CDBC AD， AFAD BCCD ， 又ADFBDC ， ADFCDB， FB， 90BBCD， 90FBCD ， AEBC； （2）BECE，AEBC， ABAC， ABEDBC ，90BDCAEB ， ABECBD， ABBE BCBD ， 1 2 BCBCAB BD， 2 2BCBD AC 24 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线 2 yaxbxc上存在一点A，使点A 第 18 页（共 21 页） 关于坐标原点O的对称点A也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线， 点A叫做这
26、条抛物线的回归点 （1）已知点M在抛物线 2 24yxx上，且点M的横坐标为 2，试判断抛物线 2 24yxx是否为回归抛物线，并说明理由； （2）已知点C为回归抛物线 2 2yxxc的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求 这条抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D联结CO并延长，交该 抛物线于点E，点F是射线CD上一点，如果CFEDEC ，求点F的坐标 【解答】解： （1）抛物线 2 24yxx是回归抛物线， 理由如下：点M在抛物线 2 24yxx上， 4444y ， 点(2,4)M， 点M关于坐标原点O的对称点( 2, 4)M ， 当2x 时，44
27、44y ， 点 M 在抛物线上， 抛物线 2 24yxx是回归抛物线； （2）点C为回归抛物线 2 2yxxc的顶点， 点( 1,1)Cc， 点C关于原点O的对称点(1,1)Cc ， 点C是这条抛物线的回归点， 第 19 页（共 21 页） 112cc ， 1c ， 抛物线解析式为： 2 21yxx； （3）抛物线 2 21yxx， 对称点为1x ， 点( 1,0)D ，点( 1,2)C ， 直线CO解析式为2yx ， 联立方程组 2 21 2 yxx yx ， 1 2 1 2 x y ， 2 2 1 2 x y ， 点(1, 2)E， 在CEF和CDE中，CFECED ，FCEECD ， C
28、EFCDE， CFCE CECD ， 2 CECD CF， 22 ( 1 1)(22)2CF ， 10CF， ( 1, 8)F 25 （14 分）如图，在矩形ABCD中，2AB ，1AD ，点E在边AB上（点E与端点A、 B不重合） ， 联结DE， 过点D作DFDE， 交BC的延长线于点F， 联结EF， 与对角线AC、 边CD分别交于点G、H设AEx，DHy （1）求证：ADECDF，并求EFD的正切值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结BG，当BGE与DEH相似时，求x的值 第 20 页（共 21 页） 【解答】解： （1）90ADECDE，90CDFCDE
29、， ADECDF ， 在Rt EAD与Rt FCD中， 90 ADECDF EADFCD ， FADFCD， 1 2 DEAD DFCD ， 1 tan 2 DE EFD DF ， （2）由（1）可知22FCEAx， 四边形ABCD是矩形， / /ABCD， FCHFBE， FCCH FBBE ， 22 212 xy xx ， 可得： 2 22 (02) 21 x yx x ； （3）2BEx，DHy， 2 1DEx， 2 1()EHyx， EGAE GHCH ， AE EGEH AECH ， BEGDHE ， 若BEGDHE，则有两种情况， 第一种： 第 21 页（共 21 页） EGBHED ， BEEG DHHE ， BEAE DHAECH ， 即 2 2 xx yxy ， 解得： 589589 22 x 或舍去， 第二种： EGBHDE ， BEEG HEHD ， 2 AE BE HDHE AECH ， 即 2 (2)1() 2 x x yyx xy ， 解得：1.5x 综上所述，x的值为 589 2 或 1.5
