1、第 1 页（共 13 页） 2020-2021 学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（文科）学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为( ) A 1 2 yx B2yx C 3 2 yx D 5 2 yx 2 （5 分）命题“若ab，则1ab ”的逆否命题是( ) A若1ab ，则ab B若1ab ，则ab C若1ab ，则a b D若1ab ，则ab 3 （5 分）已知数列 n a是等差数列，且 234 2aaa，则 3 (a ) A 3 B 2 3 C
2、 D 4 3 4 （5 分）若函数( )f x满足 32 1 ( )(1) 3 f xxfxx，则 f （1）的值为( ) A0 B1 C2 D3 5 （5 分）已知 2 :0p xx，那么命题p的一个必要不充分条件是( ) A01x B11x C 12 23 x D 1 2 2 x 6 （5 分）已知 1,2 ( ) 1,2 x f x x ，则不等式 2 ( )2 0 xf xx 的解集是( ) A | 21xx 剟 B |2x x C |2x x或1x D |2x x 7 （5 分） “中国剩余定理”又称“孙子定理” ，1852 年英国来华传教士伟烈亚力将孙子算 经 中 “物不知数” 问
3、题的解法传至欧洲 1874 年， 英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理” “中 国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题现有这样一个整除问题：将正整数中能被 3 除余 2 且被 7 除余 2 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则 a5（ ） A103 B107 C109 D105 8 （5 分）已知数列 n a是等比数列，其前n项和为 n S， 22 3Sa，则 34 12 ( aa aa ) A 1 4 B 1 2 C2 D4 9 （5 分）设椭圆 2 2 :1 4 x Cy的左焦点为F，直线:(0)l ykx
4、k与椭圆C交于A，B两 点，则|AFBF的值是( ) 第 2 页（共 13 页） A2 B2 3 C4 D4 3 10 （5 分）若幂函数( )f x的图象过点 2 1 (, ) 22 ，则函数 ( ) ( ) x f x g x e 的递减区间为( ) A(0,2) B(,0)和(2,) C( 2,0) D(，0)(2，) 11 （5 分）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若4FPFQ，则| (QF ) A 7 2 B3 C 5 2 D2 12 （5 分） 已知 f （x） x+1， g （x） lnx， 若 f （x1） g （x
5、2） ， 则 x2x1的最小值为 （ ） A1 B2+ln2 C2ln2 D2 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）命题“实数的平方都是正数”的否定是 14 （5 分）若x，y满足约束条件 2 0 2 0 2 0 xy y xy ，则 22 xy的最小值为 15 （5 分）若0 x ，0y ，21xy，则 2 xy xy 的最大值为 16 （5 分）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，点P 在椭圆上运动， 1 2 |PFPF 的最大值为m， 12 PF PF的最小值为n，且2mn，则该椭圆的离心
6、率的 取值范围为 三、解答题三、解答题 17 （10 分）已知mR，命题p：对0 x ，1，不等式 2 223xmm恒成立；命题 : 1qx ，1，使得m x成立 （1）若p为真命题，求m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个为真，求m的取值范围 18 （12 分）已知等差数列 n a的首项为 1，公差0d ，且 8 a是 5 a与 13 a的等比中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 * 1 1 () n nn bnN a a ，求数列 n b的前n项和 n T 第 3 页（共 13 页） 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的焦距为 4
7、，短半轴长为 2 （1）求椭圆的方程； （2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点( 2,1)P 是线段AB的中点，求直线l的方程 20 （12 分）已知函数 2 ( )()f xxaxlnx aR （1）若曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线斜率为2，求a的值以及切线方程； （2）当1a 时，求( )f x的极值 21 （12 分）已知抛物线 2 :4E xy的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，C两点 （1）求证：抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直； （2） 过点F作直线l的垂线与抛物线E交于B，D两点， 求四边形ABCD的面积的最小值 22 （12 分）已知函数( )(2)1f
8、 xxlnxa xa， 2 ( ) x g xexxex （）若1a ，求( )f x的单调区间； （）若( )1f x 对(1,)x恒成立，求实数a的取值范围； （）设2a ，求证：当(1,)x时，恒有( )( )f xg x 第 4 页（共 13 页） 2020-2021 学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（文科）学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为( ) A 1 2 yx B2yx C 3 2 yx D
9、5 2 yx 【解答】解：由双曲线 22 22 1( ,0) xy a b ab 的渐近线方程为 b yx a ， 可得双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为2yx 故选：B 2 （5 分）命题“若ab，则1ab ”的逆否命题是( ) A若1ab ，则ab B若1ab ，则ab C若1ab ，则a b D若1ab ，则ab 【解答】解：命题“若ab，则1ab ”的逆否命题 “若1ab ，则a b” 故选：C 3 （5 分）已知数列 n a是等差数列，且 234 2aaa，则 3 (a ) A 3 B 2 3 C D 4 3 【解答】解：根据题意得 2343 32aaaa， 则 3 2
10、3 a 故选：B 4 （5 分）若函数( )f x满足 32 1 ( )(1) 3 f xxfxx，则 f （1）的值为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解；求函数 3 1 ( ) 3 f xxf（1） 2 xx的导数， 得， 2 ( )2f xxf（1）1x ， 把1x 代入，得，f（1）12f （1）1， f （1）0， 故选：A 第 5 页（共 13 页） 5 （5 分）已知 2 :0p xx，那么命题p的一个必要不充分条件是( ) A01x B11x C 12 23 x D 1 2 2 x 【解答】解： 2 :00111p xxxx ， 11x 推不出 2 0 xx， 2 :0p
11、 xx，那么命题p的一个必要不充分条件11x ， 故选：B 6 （5 分）已知 1,2 ( ) 1,2 x f x x ，则不等式 2 ( )2 0 xf xx 的解集是( ) A | 21xx 剟 B |2x x C |2x x或1x D |2x x 【解答】解：当2x时，原不等式可化为 2 2 0 xx ， 解可得，21x 剟，此时x不存在， 当2x 时，原不等式可化为 2 2 0 xx 即 2 2 0 xx ， 解不等式可得xR，此时2x ， 综上可得，原不等式的解集为 |2x x ， 故选：B 7 （5 分） “中国剩余定理”又称“孙子定理” ，1852 年英国来华传教士伟烈亚力将孙子
12、算 经 中 “物不知数” 问题的解法传至欧洲 1874 年， 英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理” “中 国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题现有这样一个整除问题：将正整数中能被 3 除余 2 且被 7 除余 2 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则 a5（ ） A103 B107 C109 D105 【解答】解：因为正整数能被 3 除余 2 且被 7 除余 2， 所以正整数能被 21 整除余 2， 所以 an21n+2， 故 a5215+2107 故选：B 8 （5 分）已知数列 n a是等比数列，其前n项
13、和为 n S， 22 3Sa，则 34 12 ( aa aa ) 第 6 页（共 13 页） A 1 4 B 1 2 C2 D4 【解答】解：数列 n a是等比数列， 2122 3Saaa， 12 2aa，即 1 2 q ， 则 2 23412 1212 ()1 4 aaq aa q aaaa ， 故选：A 9 （5 分）设椭圆 2 2 :1 4 x Cy的左焦点为F，直线:(0)l ykx k与椭圆C交于A，B两 点，则|AFBF的值是( ) A2 B2 3 C4 D4 3 【解答】 解： 如图， 设 2 F是椭圆的右焦点，O点为AB的中点， 2 | |OFOF， 则四边形 2 AFBF 是
14、平行四边形， 2 AFBF 2 | | 24AFBFBFBFa， 故选：C 10 （5 分）若幂函数( )f x的图象过点 2 1 (, ) 22 ，则函数 ( ) ( ) x f x g x e 的递减区间为( ) A(0,2) B(,0)和(2,) C( 2,0) D(，0)(2，) 【解答】解：设幂函数( )f xx，它的图象过点 2 ( 2 ， 1 ) 2 ， 21 () 22 ，2； 第 7 页（共 13 页） 2 ( )f xx； 2 ( ) x x g x e ，则 2 2 2(2) ( ) xx xx xex exx g x ee ， 令( )0g x，即(2)0 xx，解得：
15、2x 或0 x ， 故( )g x在递减区间是(,0)和(2,)， 故选：B 11 （5 分）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若4FPFQ，则| (QF ) A 7 2 B3 C 5 2 D2 【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QFd， 4FPFQ， | 3PQd， 不妨设直线PF的斜率为 2 2 2 2 d d ， (2,0)F， 直线PF的方程为2 2(2)yx ， 与 2 8yx联立可得1x ， |123QFd ， 故选：B 12 （5 分） 已知 f （x） x+1， g （x） lnx， 若 f （x1） g （x2）
16、， 则 x2x1的最小值为 （ ） A1 B2+ln2 C2ln2 D2 【解答】解：设 f（x1）g（x2）t， 所以 x1t1，x2et， 所以 x2x1ett+1， 令 h（t）ett+1，则 h（t）et1， 所以 h（t）在区间（，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增， 所以 h（t）minh（0）2 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 8 页（共 13 页） 13 （5 分）命题“实数的平方都是正数”的否定是 至少有一个实数的平方不是正数 【解答】解： “全称命题”的否定一定是“存在性命题” ， 命题“实数的平方都是正数”的否
17、定是： “至少有一个实数的平方不是正数” 故答案为：至少有一个实数的平方不是正数 14 （5 分）若x，y满足约束条件 2 0 2 0 2 0 xy y xy ，则 22 xy的最小值为 2 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 22 xy的几何意义是平面区域内的点到原点的距离， 由图象得O到直线20 xy的距离最小， 此时最小值 2 2 2 d ， 则 22 xy的最小值是2， 故答案为：2 15 （5 分）若0 x ，0y ，21xy，则 2 xy xy 的最大值为 1 9 【解答】解：因为0 xy ，所以 1 21 2 xy xy yx ， 又0 x ，0y ，21xy， 所以
18、21212222 ()(2 )5 259 xyxy xy yxyxyxyx ， 第 9 页（共 13 页） 当且仅当 22 ,21 xy xy yx ，即 1 3 xy时取等号， 故 2 xy xy 的最大值为 1 9 故答案为： 1 9 16 （5 分）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，点P 在椭圆上运动， 1 2 |PFPF 的最大值为m， 12 PF PF的最小值为n，且2mn，则该椭圆的离心率的 取值范围为 1 2 ，1) 【解答】解： 12 | 2PFPFa， 211 | 2|(|)PFaPFacPFac剟， 222 1211111
19、| | |(2|)|2 |(|)PFPFPFaPFPFa PFPFaa 1 |acPFac剟 222 121 | |(|)PFPFPFaab， 2 a， 12 |PFPF的最大值 2 ma； 设( , )P x y， 则 12 (PF PFcx ，) (ycx，)y 2 2222222222 22 1 ()(1) b xycxaxcxbc aa ， xa ，a， 2 0 x， 2 a， 12 PF PF的最小值为 22 nbc， 由2mn，得 2222222 2()2(2)24abcacac， 22 4ac，解得 1 ,1) 2 c e a 故答案为： 1 ,1) 2 三、解答题三、解答题 1
20、7 （10 分）已知mR，命题p：对0 x ，1，不等式 2 223xmm恒成立；命题 : 1qx ，1，使得m x成立 第 10 页（共 13 页） （1）若p为真命题，求m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个为真，求m的取值范围 【解答】解：p 对0 x ，1，不等式 2 1 (32) 2 xmm恒成立 2 1 (32) 0(1)(2)1 2 mmmmm剟，2； 1qx ，1，使得m x成立1(mm ，1 （1）p为真，则1m，2，所以m的取值范围为1，2 （2）命题p和命题q有且仅有一个为真，即p与q一真一假， 当p真q时，1m，2，(m ，1(1m，2， 当q真p时，(m
21、，1，1m，2(,1)m 所以m的取值范围为(，1)(1，2 18 （12 分）已知等差数列 n a的首项为 1，公差0d ，且 8 a是 5 a与 13 a的等比中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 * 1 1 () n nn bnN a a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）等差数列 n a的首项为 1，公差0d ，且 8 a是 5 a与 13 a的等比中项， 可得 2 85 13 aa a，即为(17 )2(14 )(1 12 )ddd， 解得2(0d 舍去） ， 可得12(1)21 n ann ； （2） 1 11111 () (21)(21)2 21
22、21 n nn b a annnn ， 数列 n b的前n项和 111111 (1) 23352121 n T nn 11 (1) 22121 n nn 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的焦距为 4，短半轴长为 2 （1）求椭圆的方程； （2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点( 2,1)P 是线段AB的中点，求直线l的方程 【解答】解： （1）由题意可知24c ，2b 所以 2 4b ， 2 4c ， 222 8abc 第 11 页（共 13 页） 所以椭圆的方程为 22 1 84 xy （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，由
23、题意得 22 11 22 22 1 84 1 84 xy xy 两式相减，得 2222 1212 0 84 xxyy ， 即 12121212 ()()()() 0 84 xxxxyyyy ， 所以直线l的斜率 1212 1212 2() yyxx k xxyy 因为点( 2,1)P 是线段AB的中点， 所以 12 4xx ， 12 2yy，所以1k 所以直线l的方程为1(2)yx ，即30 xy 20 （12 分）已知函数 2 ( )()f xxaxlnx aR （1）若曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线斜率为2，求a的值以及切线方程； （2）当1a 时，求( )f x的极值 【
24、解答】解： （1） 2 ( )f xxaxlnx的导数为 1 ( )12fxax x 由题设，f（1）22a ， 解得1a ， 此时f（1）0，切线方程为2(1)yx ， 即220 xy； （2）当1a 时， 2 ( )f xxxlnx， 2 121 ( )12 xx fxx xx (21)(1)xx x ，(0)x ， 令( )0fx，可得 1 2 x ，令( )0fx，可得 1 0 2 x， 可得 1 2 x 处( )f x取得极小值，且为 3 2 4 ln 21 （12 分）已知抛物线 2 :4E xy的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，C两点 第 12 页（共 13 页） （1）求证
25、：抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直； （2） 过点F作直线l的垂线与抛物线E交于B，D两点， 求四边形ABCD的面积的最小值 【解答】解： （1）证明：设过点(0,1)F的直线方程为：1yxk， 由 2 1 4 yx xy k ，得 2 440 xxk， 设 1 (A x， 1) y， 2 (C x， 2) y， 则 12 12 4 4 xx x x k ， 2 1 4 yx， 1 2 yx ， 设抛物线E在点A、C两点处的切线的斜率分别为 1 k， 2 k， 则 121212 111 1 224 xxx x kk， 故抛物线E在A，C两点处的切线互相垂直 （2）由（1）知 22222 1
26、21 2 |1()4116164(1)ACxxx xkkkk 同理 2 1 | 4(1)BD k 2 2 11 811 2 ABCD SAC BDk k 四边形 2 2 1 8(11)k k 2 2 1 8(22)卥 k 32， 四边形ABCD的面积的最小值为 32 22 （12 分）已知函数( )(2)1f xxlnxa xa， 2 ( ) x g xexxex （）若1a ，求( )f x的单调区间； （）若( )1f x 对(1,)x恒成立，求实数a的取值范围； （）设2a ，求证：当(1,)x时，恒有( )( )f xg x 【解答】解： （）1a 时，( )f xxlnxx，( )2
27、fxlnx， 令( )20fxlnx，得 2 1 x e ， 第 13 页（共 13 页） ( )f x在 2 1 (0,) e 上递减，在 2 1 (,) e 上递增；（4 分） （）由题知，(2)20 xlnxa xa， 即 2 (2)0 a lnxa x 对于任意的1x 恒成立， 设 2 ( )(2)(1) a g xlnxax x ， 22 12(2) ( ) axa g x xxx ， 1x ， （1）3a时，(2)0 xa，( )0g x，( )g x在1x 时单调递增， ( )g xg（1）0满足条件； （2）3a 时，21a ，(1,1)xa时，( )0g x，(1,)xa时，
28、( )0g x， 即函数( )yg x在(1,1)a递减，在(1,)a 递增， 当(1,1)xa时，( )g xg（1）0，与( )0g x 在1x 时恒成立矛盾， 综上，3a（10 分） （）证明：要证( )( )f xg x， 即证 2 (2)1 x xlnxa xaexxex ， 即 2 (1)1 x xlnxa xaexxe ， 设 2 ( )() xx h xexxex exe，1x ， 设 x yexe，1x ，则0 x yee ， x yeex在1x 时为减函数， 所以0 x exe，即( )0h x ， 设( )(1)1(1)(1)xxlnxa xaxlnxa x ，1x ， 设(1)yxlnxx，1x ，0ylnx ，(1)yxlnxx在1x 时为增函数， 1xlnxx，又2a ，( )(1)(1)(2)(1)0 xxlnxa xa x， ( )( )xh x， 当2a 时， 2 (2)1 x xlnxa xaexxex 对于任意的1x 恒成立（15 分）
