1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 |(7)(12)0Axxx， |60Bx x，则(AB ) A | 612xx B | 67xx C |12x x D |67xx 2 （5 分） “四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分
2、条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）双曲线 22 48xy的渐近线方程为( ) A2yx B 1 2 yx C2yx D 2 2 yx 4 （5 分） “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇 ，其意思为“一 根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完” 设第一天这根木棰被截取一半剩下 1 a 尺，第二天被截取剩下的一半剩下 2 a尺，第五天被截取剩下的一半剩下 5 a尺，则 12 5 ( aa a ) A18 B20 C22 D24 5 （5 分）已知抛物线C的焦点到准线的距离大于 2，则C的方程可能为( ) A 2 4yx B 2 3yx C 2 6xy
3、D 2 8yx 6 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点，若O为底面 1111 ABC D的 中心，则异面直线 1 C E与AO所成角的余弦值为( ) A 30 15 B 30 30 C 8 15 D 2 30 15 第 2 页（共 19 页） 7 （5 分）P为椭圆 22 :1 1713 xy C上一动点， 1 F， 2 F分别为左、右焦点，延长 1 FP至点Q， 使得 2 | |PQPF，则动点Q的轨迹方程为( ) A 22 (2)34xy B 22 (2)68xy C 22 (2)34xy D 22 (2)68xy 8 （5 分）如图，某人在一条
4、水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30，该小车 在公路上由东向西匀速行驶 7.5 分钟后，到达B处，此时测得俯角为45已知小车的速度 是20/m hk，且 3 3 cos 8 AOB ，则此山的高(PO ) A1 mk B 2 2 mk C3 mk D2 mk 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）设命题:pnN ，67n
5、为质数，则( ) Ap为假命题 B:pnN ，67n 不是质数 Cp为真命题 D:pnN ，67n 不是质数 10 （5 分）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，且 a12，a38，则（ ） Aa512 B公差 d3 CS2nn（6n+1） D数列的前 n 项和为 11 （5 分）已知0ab，且31ab，则( ) Aab的最大值为 1 12 Bab的最小值为 1 12 C 13 ab 的最小值为 16 D 22 15ab的最小值为 5 8 第 3 页（共 19 页） 12 （5 分）已知椭圆 2 2 :1 9 x y的左、右顶点分别为A，B，点P为上一点，且P不 在坐标轴上， 直线AP与直线
6、3y 交于点C， 直线BP与直线3y 交于点D 设直线AP 的斜率为k，则满足| 36CD 的k的值可能为( ) A1 B 1 7 C 1 10 D 72 10 9 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）设向量(1,2,4)AB ，( ,1,1)CDm，ABCD，则实数m 14 （5 分）若双曲线 22 1 6 xy m 的虚轴长为6 2，则该双曲线的离心率为 15 （5 分）在ABC中，若 3 B ，tan2 3C ，2AC ，则AB 16 （ 5分 ） 已 知
7、 点(,)Pmn是 抛 物 线 2 8xy 上 一 动 点 ， 则 2222 44425mnnmnmn的最小值为 四、解答题本大题共四、解答题本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤 17 （10 分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知 222 5 8 bcabc， sin2sinCB （1）求cos A； （2）若ABC的周长为615，求ABC的面积 18 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ACBC， 1 2ACAABC，E，F分 别为侧棱 1 BB， 1 CC中点 （1）
8、证明：/ /BF平面 11 AC E （2）求 1 BC与平面 11 AC E所成角的正弦值 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）已知数列 n a的首项为 4 （1）若数列 2n n a 是等差数列，且公差为 2，求 n a的通项公式 （2）在 32 48aa且 2 0a ， 3 64a 且 4 0a ， 202122017 16aa a这三个条件中任选 一个，补充在下面的问题中并解答 问题，若 n a是等比数列，_，求数列(31) n na的前n项和 n S 20（12 分） 如图， 平面ABCDE 平面CEFG， 四边形CEFG为正方形， 点B在正方形ACDE 的外部，且5ABB
9、C，4AC （1）证明：ADCF （2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值 21 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p与双曲线 2 2 1 3 x y有相同的焦点F （1）求C的方程，并求其准线l的方程； （2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，直线OA 与准线l交于点N过点A作l的垂线，垂足为M证明： 12 y y为定值，且四边形AMNB为 梯形 第 5 页（共 19 页） 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 5 5 ，且焦距为 8 （1）求C的
10、方程； （2）设直线l的倾斜角为 3 ，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求AOB面积的 最大值 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 |(7)(12)0Axxx， |60Bx x，则(AB ) A | 612xx B | 67xx C |12
11、x x D |67xx 【解答】解： | 127Axx， |6Bx x， | 67ABxx 故选：B 2 （5 分） “四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当四边形ABCD是菱形时，根据菱形的性质可知，对角线互相垂直， 当四边形ABCD的对角线互相垂直时，四边形不一定是菱形，比如可以是梯形， 故“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的充分不必要条件 故选：A 3 （5 分）双曲线 22 48xy的渐近线方程为( ) A2yx B 1 2 yx C2yx D
12、2 2 yx 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： 22 48xy， 变形可得 22 1 28 yx ， 则其焦点在y轴上，且2a ，2 2b ， 则其渐近线方程为：2yx， 故选：A 4 （5 分） “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇 ，其意思为“一 根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完” 设第一天这根木棰被截取一半剩下 1 a 第 7 页（共 19 页） 尺，第二天被截取剩下的一半剩下 2 a尺，第五天被截取剩下的一半剩下 5 a尺，则 12 5 ( aa a ) A18 B20 C22 D24 【解答】解：设这根木棰的长度为 1 尺， 第一天这根木棰被截取一半
13、为 1 2 ，剩下 1 11 1 22 a 尺， 第二天被截取剩下的一半为 11 22 ，剩下 2 1111 2224 a 尺， 第三天被截取剩下的一半 11 42 ，剩下 3 1111 4428 a 尺， 第四天被截取剩下的一半 11 82 ，剩下 4 1111 88216 a 尺， 第五天被截取剩下的一半 11 162 ，剩下 5 1111 1616232 a 尺， 则 12 5 11 24 24 1 32 aa a ， 故选：D 5 （5 分）已知抛物线C的焦点到准线的距离大于 2，则C的方程可能为( ) A 2 4yx B 2 3yx C 2 6xy D 2 8yx 【解答】解：抛物线
14、C的焦点到准线的距离大于 2，可得2p ， 2 4yx中2p ，所以A不正确； 2 3yx 中 3 2 p ，所以B不正确； 2 6xy中3p ，所以C正确； 2 8yx，即 2 1 8 xy ，所以 1 16 p ，所以D不正确； 故选：C 6 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点，若O为底面 1111 ABC D的 中心，则异面直线 1 C E与AO所成角的余弦值为( ) 第 8 页（共 19 页） A 30 15 B 30 30 C 8 15 D 2 30 15 【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系. 不妨设2AB ， 则(2A，0，0)，(
15、1O，1，2)，(2E，2，1)， 1(0 C，2，2)， ( 1AO ，1，2)， 1 ( 2EC ，0，1)， cosAO， 1 1 1 42 30 15| |1 1440 1 AO EC EC AOEC 异面直线 1 C E与AO所成角的余弦值为 2 30 15 故选：D 7 （5 分）P为椭圆 22 :1 1713 xy C上一动点， 1 F， 2 F分别为左、右焦点，延长 1 FP至点Q， 使得 2 | |PQPF，则动点Q的轨迹方程为( ) A 22 (2)34xy B 22 (2)68xy C 22 (2)34xy D 22 (2)68xy 【解答】解：由已知椭圆的方程可得： 2
16、 17a ， 2 13b ，则17,13,2abc， 由椭圆的定义可得 12 | 22 17PFPFa， 又因为 2 | |PQPF，所以 1 | 2 17PFPQ， 第 9 页（共 19 页） 所以 1 | 2 17QF ，所以点Q的轨迹是以 1( 2,0) F 为圆心，2 17为半径的圆， 所以点Q的轨迹方程为： 22 (2)68xy， 故选：B 8 （5 分）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30，该小车 在公路上由东向西匀速行驶 7.5 分钟后，到达B处，此时测得俯角为45已知小车的速度 是20/m hk，且 3 3 cos 8 AOB ，则此山的高(PO )
17、A1 mk B 2 2 mk C3 mk D2 mk 【解答】解：设OPx，由题意可得：Rt OBP中，45PBO，OBOPx 在Rt OAP中，30PAO，tan603OAxx 又 7.5 202.5 60 AB ， 在OAB中，由余弦定理可得： 222 2 3 3( 3 )2 5 cos 82 3 xx AOB x ， 解得1x 故选：A 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，
18、有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）设命题:pnN ，67n 为质数，则( ) Ap为假命题 B:pnN ，67n 不是质数 Cp为真命题 D:pnN ，67n 不是质数 【解答】解：命题:pnN ，67n 为质数， 当3n 时，63725不是质数， 故命题p为假命题， 第 10 页（共 19 页） :pnN ，67n 不是质数， 所以p为真命题 故选：BC 10 （5 分）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，且 a12，a38，则（ ） Aa512 B公差 d3 CS2nn（6n+1） D数列的前 n 项和为 【解答】解：由题意，设等差数列an的公差为 d， 则 d3，故选项
19、 B 正确， a52+3（51）14，故选项 A 不正确， S2n2n2+3n（6n+1） ，选项 C 正确， an2+3（n1）3n1， （） ， 数列的前 n 项和为+ （）+（）+（） （+） （） ，选项 D 正确 故选：BCD 11 （5 分）已知0ab，且31ab，则( ) Aab的最大值为 1 12 Bab的最小值为 1 12 C 13 ab 的最小值为 16 D 22 15ab的最小值为 5 8 【解答】解：对于A，:0Bab，且31ab， 第 11 页（共 19 页） 132 3abab ，故 1 2 3 ab， 1 0 12 ab， 故A正确，B错误； 对于:0Cab，且3
20、1ab， 1313 ()(3 )103() 103 216 bab a ab abababa b ， 当且仅当 1 4 ab时“”成立，故C正确； 对于 222222 181058555 :1515()() 33333888 a D abaaaa ， 当且仅当 5 8 a 时“”成立，故D正确； 故选：ACD 12 （5 分）已知椭圆 2 2 :1 9 x y的左、右顶点分别为A，B，点P为上一点，且P不 在坐标轴上， 直线AP与直线3y 交于点C， 直线BP与直线3y 交于点D 设直线AP 的斜率为k，则满足| 36CD 的k的值可能为( ) A1 B 1 7 C 1 10 D 72 10
21、9 【解答】解：由椭圆的方程可得( 3,0)A ，(3,0)B， 设 0 (P x， 0) y，则 2 0 2 000 22 0000 1 1 9 33999 PAPB x yyy xxxx kk， 因为 PA kk，所以 1 9 PB k k ， 又直线PA的方程为(3)yxk，则令3y ，得 3 3 C x k ， 直线PB的方程为 1 (3) 9 yx k ，令3y ，得273 D x k， 所以 3 | |276| 36CD k k ， 整理可得： 2 9141 0 kk或 2 9101 0 kk， 解得 72 10 9 k或 1 或 1 9 ， 故选：AD 三、填空题：本大题共三、填
22、空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 第 12 页（共 19 页） 13 （5 分）设向量(1,2,4)AB ，( ,1,1)CDm，ABCD，则实数m 6 【解答】解：向量(1,2,4)AB ，( ,1,1)CDm，ABCD， 240AB CDm，解得6m ， 故答案为：6 14 （5 分）若双曲线 22 1 6 xy m 的虚轴长为6 2，则该双曲线的离心率为 2 【解答】解：双曲线 22 1 6 xy m 的虚轴长为6 2， 可得3 2b ，6a ，所以6 182 6c ， 所以双曲线的离心率为：
23、2 6 2 6 e ， 故答案为：2 15 （5 分）在ABC中，若 3 B ，tan2 3C ，2AC ，则AB 8 13 13 【解答】解：因为 sin tan2 3 cos C C C ，可得 sin cos 2 3 C C ， 又 22 sincos1CC， 所以 2 3 sin 13 C ， 因为 3 B ，2AC ， 由正弦定理得 sinsin ACAB BC ，可得 sin8 13 sin13 ACC AB B 故答案为： 8 13 13 16 （ 5分 ） 已 知 点(,)Pmn是 抛 物 线 2 8xy 上 一 动 点 ， 则 2222 44425mnnmnmn的最小值为 3
24、 【解答】解：抛物线的准线为2y ，焦点F坐标为(0, 2)， 所以 22222222 44425(2)(2)(1)mnnmnmnmnmn， 表示点( , )P m n与点(0, 2)F的距离与点( , )P m n与点(2, 1)A的距离之和， 所以 2222 44425mnnmnmn的最小值为线段AB长度， 第 13 页（共 19 页） 又|minAB为点A到准线2y 的距离，即|3 min AB， 故答案为：3 四、解答题本大题共四、解答题本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤说期、证时过程或演算步骤 17 （10 分）ABC的
25、内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知 222 5 8 bcabc， sin2sinCB （1）求cos A； （2）若ABC的周长为615，求ABC的面积 【解答】解： （1）因为 222 5 8 bcabc， 所以 222 5 cos 216 bca A bc （2）因为sin2sinCB， 所以2cb 由余弦定理得 2222 15 2cos 4 abcbcAb，则 15 2 ab 因为ABC的周长为615， 所以 15 3615 2 bb，解得2b 所以ABC的面积为 2 15231 21() 2164 bb 18 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ACBC，
26、1 2ACAABC，E，F分 别为侧棱 1 BB， 1 CC中点 （1）证明：/ /BF平面 11 AC E 第 14 页（共 19 页） （2）求 1 BC与平面 11 AC E所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：在直三棱柱 111 ABCABC中， E，F分别为侧棱 1 BB， 1 CC中点 1 / /BEC F ，四边形 1 BEC F是平行四边形， 1 / /BFEC， BF 平面 11 AC E， 1 EC 平面 11 AC E， / /BF平面 11 AC E （2）在直三棱柱 111 ABCABC中，ACBC， 1 2ACAABC，E，F分别为侧棱 1 BB， 1 CC中点
27、 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴， 1 CC为z轴，建立空间直角坐标系， 设 1 22ACAABC， 则 1(0 B，1，2)，(0C，0，0)， 1(2 A，0，2)， 1(0 C，0，2)，(0E，1，1)， 1 (0BC ，1，2)， 11 (2C A ，0，0)， 1 (0C E ，1，1)， 设平面 11 AC E的法向量(nx，y，) z， 则 11 1 20 0 n C Ax n C Eyz ，取1y ，得(0n ，1，1)， 设 1 BC与平面 11 AC E所成角为， 则 1 1 |33 10 sin 10| |52 BC n BCn 第 15 页（共 19 页） 1 B
28、C与平面 11 AC E所成角的正弦值为 3 10 10 19 （12 分）已知数列 n a的首项为 4 （1）若数列 2n n a 是等差数列，且公差为 2，求 n a的通项公式 （2）在 32 48aa且 2 0a ， 3 64a 且 4 0a ， 202122017 16aa a这三个条件中任选 一个，补充在下面的问题中并解答 问题，若 n a是等比数列，_，求数列(31) n na的前n项和 n S 【解答】解： （1）数列 2n n a 是等差数列，且公差为 2，首项为 4， 所以2422(1)2 n n ann ， 整理得22 n n an （2）选： 32 48aa且 2 0a
29、， n a是等比数列，设公比为q， 由于首项为 4，则由 32 48aa，得4q ，所以4n n a ， 选：由于首项为 4，且 3 64a ， n a是等比数列， 所以4q ，且 4 0a ，所以4n n a ， 选：由于数列， n a的首项为 4，且满足 202122017 16aa a， 解得4q ，所以4n n a ， 设(31) 4n n cn， 第 16 页（共 19 页） 则 12 2 45 4(31) 4n n Sn ， 所以 231 42 45 4(31) 4n n Sn ， 得 121 33 (444 )4(31) 4 nn n Sn ， 所以 1 328 4 33 n n
30、 n S 20（12 分） 如图， 平面ABCDE 平面CEFG， 四边形CEFG为正方形， 点B在正方形ACDE 的外部，且5ABBC，4AC （1）证明：ADCF （2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）证明：四边形ACDE为正方形，ADCE， 平面ABCDE 平面CEFG，平面ABCDE平面CEFGCE， AD平面FECG 又CF 平面FECG，ADCF； （2）四边形CEFG为正方形，CGCE， 平面ABCDE 平面CEFG，平面ABCDE平面CEFGCE， CG平面ABCDE 故EA，ED，EF两两垂直，所以以E为原点建立空间直角坐标系， 5ABB
31、C，4AC ，B到AC的距离为 1 (5B，2，0)，(0F，0，4 2)，(4G，4，4 2)， 则( 5, 2,4 2)BF ，( 1,2,4 2)BG ， 设面BFG的法向量为( , , )mx y z， 第 17 页（共 19 页） 由 524 20 24 20 m BFxyz m BGxyz ，可得(4 2m ，4 2，3) 又平面ABCDE的法向量为(0,0,1)n ， 33 73 cos, 73173 m n 平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值为 3 73 73 21 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p与双曲线 2 2 1 3 x y有相同的焦点F
32、（1）求C的方程，并求其准线l的方程； （2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，直线OA 与准线l交于点N过点A作l的垂线，垂足为M证明： 12 y y为定值，且四边形AMNB为 梯形 【解答】解： （1）因为双曲线 2 2 1 3 x y的右焦点为(2,0)， 所以(2,0)F，则2 2 p ，即4p ， 故C的方程为 2 8yx， 其准线l的方程为2x 第 18 页（共 19 页） （2）证明：由题意可知，直线AB过点F且斜率存在，设其方程为(2)(0)yxkk， 联立 2 (2) 8 yx yx k ，整理得 2 8160
33、yykk， 所以 2 64640k恒成立， 所以 12 16 16y y k k ，故 12 yy为定值 因为点N在准线l上，设点N为( 2, )m， 则由 OAON kk，可得 1 1 2 ym x 又 2 1 16 y y ，所以 11 2 2 111 2216 8 yy my yxy 因此/ /BNx轴/ / AM， 易知， 12 xx，| |AMBN，故四边形AMNB为梯形 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 5 5 ，且焦距为 8 （1）求C的方程； （2）设直线l的倾斜角为 3 ，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求AOB面积
34、的 最大值 【解答】解： （1）依题意可知 222 2 5 5 28 c e a c abc ，解得2 5a ，2b ，4c 故C的方程为 22 1 204 xy （2）依题意可设直线l的方程为3yxm， 联立 22 3 1 204 yxm xy ，整理得 22 1610 35200 xmxm， 则 22 30064(520)0mm，解得88m 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 第 19 页（共 19 页） 则 12 5 3 8 m xx ， 2 12 520 16 m x x ， 222 2 121 2 755205320 |1 3()42 6444 mmm ABxxx x ， 原点到直线l的距离 | 213 mm d ， 则AOB的面积 222 5(32)512011|5320 | 222416 mmm SdAB ， 当且仅当 2 32m ， 即4 2m 时，AOB的面积有最大值，且最大值为2 5
