1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题一、选择题 1命题“0 x ， 2 log0 x ”的否定是( ) A0 x ， 2 log0 x B0 x ， 2 log0 x C0 x ， 2 log0 x D0 x ， 2 log0 x 2已知集合 2 |280Ax xx ， |235Bxx，则(AB ) A |12xx B |2x x C |4x x D |14xx 3现有下列说法： 若0 xy，则|xyxy； 若ab，则acbc； 命题“若0 x，则21 x x ”的否命题是“若0
2、 x，则21 x x” 其中正确说法的个数为( ) A0 B1 C2 D3 4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2 sinsinbBcCaA，则 ABC的形状为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 5若 ba0，ma，设 X，Y，则（ ） AXY BXY CXY DX 与 Y 的大小关系不确定 6如图，在长方体 1111 ABCDA B C D中，P是线段 1 D B上一点，且 1 2BPD P，若 1 APx ABy ADz AA，则(xyz ) A 5 3 B 2 3 C 4 3 D1 7已知 22 log (1)log (2)4ab，则ab的
3、最小值为( ) 第 2 页（共 17 页） A8 B7 C6 D3 8如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点，若O为底面 1111 A BC D的中心，则 异面直线 1 C E与AO所成角的余弦值为( ) A 30 15 B 30 30 C 8 15 D 2 30 15 9已知数列 n a中， 1 1 nn aan ， 1 1a ，设数列 1 n a 的前n项和为 n S，则满足 14 () 3 n Sn n 的n的最大值为( ) A3 B4 C5 D6 10已知直线l与椭圆 22 :1 94 xy E交于A，B两点，点(2,1)P是线段AB的中点，则直线 l的斜
4、率是( ) A 8 9 B 9 8 C 8 9 D 9 8 11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为S，且 2 4 coscos tan S bCbcB C ，2ab，3c ，则(S ) A 3 4 B 3 6 C 1 6 D 3 12 12如图，已知抛物线 2 1: 8Cyx，圆 22 2: 40Cxyx，过圆心 2 C的直线l与抛物线和 圆依次交于点P，M，N，Q，则| | (PMQN ) 第 3 页（共 17 页） A2 B4 C6 D8 二、填空题二、填空题 13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 3 B ，2a ， 5 12 C ， 则b
5、 14设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 3 120a ， 3 120S ，则 65 aa 15 正三棱柱 111 ABCABC的底面边长和高均为 2， 点D为侧棱 1 CC的中点， 连接AD，BD， 则 1 C D与平面ABD所成角的正弦值为 16 过双曲线 2 2 :1 3 x My的右焦点F作圆 22 1 :(1) 2 C xy的切线， 此切线与M的右支 交于A，B两点，则|AB 三、解答题三、解答题 17已知:|1|(0)p ma a，q：方程 22 1 52 xy mm 表示双曲线 （1）若q是真命题，求m的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围 18如图
6、，锐角ABC外接圆的半径为 2，点D在边BC的延长线上，3AB ，2 3AC ， ACD的面积为 9 7 4 （1）求sinBAC； （2）求AD的长 19在数列 n a中，已知 1 2a ，且 1 2(1)(1) nn nanan n ，*nN （1）设1 n n a b n ，求数列 n b的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n T 20如图，已知圆 22 :(5)16Mxy与抛物线 2 :(010)C ymxm相切 （1）求C的焦点坐标； 第 4 页（共 17 页） （2）若直线430(0)xyaa与圆M相切，且与C相交于A，B两点，求|AB 21如图，在Rt ABC中，ACB
7、C，30BAC，3BC ，3ACDC，/ /DEBC， 沿DE将点A折至 1 A处，使得 1 ACDC，点M为 1 A B的中点 （1）证明： 1 A B 平面CMD （2）求二面角BCME的余弦值 22已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，短轴长为 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点(1,0)P的直线l与椭圆C交于A，B两点若ABO的面积为 3 ( 5 O为坐标原点） ， 求直线l的方程 第 5 页（共 17 页） 2020-2021 学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
8、参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1命题“0 x ， 2 log0 x ”的否定是( ) A0 x ， 2 log0 x B0 x ， 2 log0 x C0 x ， 2 log0 x D0 x ， 2 log0 x 【解答】解：命题是全称命题， 则否定是：0 x ， 2 log0 x， 故选：C 2已知集合 2 |280Ax xx ， |235Bxx，则(AB ) A |12xx B |2x x C |4x x D |14xx 【解答】解： | 24Axx ， |1Bx x， |14ABxx 故选：D 3现有下列说法： 若0 xy，则|xyxy； 若ab，则acbc； 命题“若0 x
9、，则21 x x ”的否命题是“若0 x，则21 x x” 其中正确说法的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：对于，当1x ，1y 时，0 xy，不满足|xyxy，所以错； 对于，由不等式的性质可知，若ab，则acbc，所以对； 对于，命题“若0 x，则21 x x ”的否命题是“若0 x ，则21 x x，所以错 故选：B 4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2 sinsinbBcCaA，则 ABC的形状为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 【解答】解：因为sin2 sinsinbBcCaA，利用正弦定理可得： 222 2bca，
10、 第 6 页（共 17 页） 所以 2222 cos0 22 bcac A bcbc ， 所以90A ， 所以ABC的形状为钝角三角形 故选：C 5若 ba0，ma，设 X，Y，则（ ） AXY BXY CXY DX 与 Y 的大小关系不确定 【解答】解：根据 ba0，ma，可得 ba0，m+a0，m0， 所以， 所以 XY 故选：A 6如图，在长方体 1111 ABCDA B C D中，P是线段 1 D B上一点，且 1 2BPD P，若 1 APx ABy ADz AA，则(xyz ) A 5 3 B 2 3 C 4 3 D1 【解答】解： 1 2BPD P， 1 2BPPD， 即 11
11、2()22APABADAPADAP， 即 1 32APABAD， 即 11 12122 33333 APABADABADAA， 所以 1 3 x ， 2 3 y ， 2 3 z ，所以 5 3 xyz 故选：A 第 7 页（共 17 页） 7已知 22 log (1)log (2)4ab，则ab的最小值为( ) A8 B7 C6 D3 【解答】解： 222 log (1)log (2)log (1)(2)4abab， (1)(2)16ab，且10a ，20b， (1)(2) 2 (1)(2)8abab，7ab ，当且仅当12ab ，即5a ，2b 时 等号成立， ab的最小值为：7 故选：B
12、8如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点，若O为底面 1111 A BC D的中心，则 异面直线 1 C E与AO所成角的余弦值为( ) A 30 15 B 30 30 C 8 15 D 2 30 15 【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系. 不妨设2AB ， 则(2A，0，0)，(1O，1，2)，(2E，2，1)， 1(0 C，2，2)， ( 1AO ，1，2)， 1 ( 2EC ，0，1)， cosAO， 1 1 1 42 30 15| |1 14401 AO EC EC AOEC 异面直线 1 C E与AO所成角的余弦值为 2 30 15 故选：D 第
13、8 页（共 17 页） 9已知数列 n a中， 1 1 nn aan ， 1 1a ，设数列 1 n a 的前n项和为 n S，则满足 14 () 3 n Sn n 的n的最大值为( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解：由题意，可知 1 1a ， 21 2aa， 32 3aa， 1nn aan ， 各项相加，可得 (1) 123 2 n n n an ， 1211 2() (1)1 n an nnn ， 12 111 n n S aaa 11111 2(1)2()2() 2231nn 11111 2(1) 2231nn 2 1 n n ， 由 14 () 3 n Sn n ，可得 214
14、() 13 n n n n ， 化简整理，得 2 31120 0nn， 解得15n剟， 满足 14 () 3 n Sn n 的n的最大值为 5 故选：C 10已知直线l与椭圆 22 :1 94 xy E交于A，B两点，点(2,1)P是线段AB的中点，则直线 l的斜率是( ) 第 9 页（共 17 页） A 8 9 B 9 8 C 8 9 D 9 8 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 因为点(2,1)P是线段AB的中点 所以 12 4xx， 12 2yy 因为A，B在椭圆E上，所以 22 11 22 22 1 94 1 94 xy xy ， 所以 2222
15、1212 0 94 xxyy ， 所以 1212 4()2() 94 xxyy ， 则 12 12 8 9 yy xx ，即直线l的斜率是 8 9 故选：A 11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为S，且 2 4 coscos tan S bCbcB C ，2ab，3c ，则(S ) A 3 4 B 3 6 C 1 6 D 3 12 【解答】解：因为 2 4cos coscos sin SC bCbcB C ， 所以 2 2coscoscosabCbCbcB， 所以2sincossincossincossin()sinACBCCBBCA， 因为sin0A， 所以 1
16、 cos 2 C ， 3 sin 2 C ， 由 2222 1()32 cos 222 abcabab C abab ，得 1 3 ab ， 所以 13 sin 212 SabC 故选：D 12如图，已知抛物线 2 1: 8Cyx，圆 22 2: 40Cxyx，过圆心 2 C的直线l与抛物线和 圆依次交于点P，M，N，Q，则| | (PMQN ) 第 10 页（共 17 页） A2 B4 C6 D8 【解答】解：由抛物线 2 1: 8Cyx，得焦点为(2,0)F， 圆的标准方程为 22 (2)4xy，所以圆心为(2,0)，半径2r ，所以焦点F与圆的圆心重 合， 设 1 (P x， 1) y，
17、 2 (Q x， 2) y，设直线:2l xmy， 将直线l代入抛物线方程可得 2 8160ymy， 则 12 16y y ， 2 12 12 () 4 64 y y x x ， 故 1212 | | (|)(|)(22)(22)4PMQNPFrQFrxxx x， 故选：B 二、填空题二、填空题 13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 3 B ，2a ， 5 12 C ， 则b 3 【解答】解：因为 4 ABC ， 所以 2 sinsin 34 b ， 解得3b 故答案为：3 14设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 3 120a ， 3 120S ，则 65 aa 0
18、 【解答】解：根据题意，设等比数列 n a的公比为q， 第 11 页（共 17 页） 若 3 120a ， 3 120S ，即 3 12a ， 3 12S ， 则有 3123 2 1212 1212Saaa qq ，解得1q ， 则 6555 0aaaa ， 故答案为：0 15 正三棱柱 111 ABCABC的底面边长和高均为 2， 点D为侧棱 1 CC的中点， 连接AD，BD， 则 1 C D与平面ABD所成角的正弦值为 3 2 【解答】解：如图，建立空间直角坐标系Oxyz， O为 11 A B的中点，由已知，( 1A ，0，2)，(1B，0，2)，(0, 3,1)D， 1(0, 3,0)
19、C， 所以(2,0,0)AB ，(1, 3, 1)AD 设平面ABD的法向量为(nx，y，) z， 由 20 30 n ABx n ADxyz ，令1y ，则3z ， 所以平面ABD的法向量为(0,1, 3)n ， 1 (0,0,1)C D ， 则 1 C D与平面ABD所成角的正弦值为： 1 1 |3 2| C D n n C D 故答案为： 3 2 16 过双曲线 2 2 :1 3 x My的右焦点F作圆 22 1 :(1) 2 C xy的切线， 此切线与M的右支 交于A，B两点，则|AB 2 3 【解答】解：因为直线过双曲线的右焦点，设直线方程为0(2)yxk， 由直线与圆相切知 2 |
20、21|2 2 1 k k ， 第 12 页（共 17 页） 解得1k或 1 7 k， 当 1 7 k时，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去， 所以直线方程为2yx， 联立双曲线 2 2 1 3 x y的方程，消元得 2 212150 xx 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 6xx， 12 15 2 x x ， 所以 222 121212 15 |1|2()42642 3 2 ABxxxxx xk 故答案为：2 3 三、解答题三、解答题 17已知:|1|(0)p ma a，q：方程 22 1 52 xy mm 表示双曲线 （1）若q是真命题，求m的取值范围
21、； （2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围 【解答】解： （1）由题意可得(5)(2)0m m， 解得2m 或5m 故m的取值范围为(，2)(5，) （2）由题意可得:1p ma或1ma 因为p是q的充分不必要条件， 所以(，1)(1aa ，)(，2)(5，) 所以 1 2 1 5 a a ，解得4a 故a的取值范围为4，) 18如图，锐角ABC外接圆的半径为 2，点D在边BC的延长线上，3AB ，2 3AC ， ACD的面积为 9 7 4 （1）求sinBAC； （2）求AD的长 第 13 页（共 17 页） 【解答】解： （1）因为24 sin AC R B ， 所以 3 sin
22、2 B ， 又因为ABC为锐角三角形， 所以 1 cos 2 B 因为24 sin AB R ACB ， 所以 3 sin 4 ACB， 7 cos 4 ACB， 可得 213 sinsin()sincoscossin 8 BACBACBBACBBACB （2）由（1）知 3 sin 4 ACD，从而 7 cos 4 ACD 因为ACD的面积为 9 7 4 ， 所以 19 7 sin 24 AC CDACD， 解得21CD 由 222 2cos54ADACCDAC CDACD ， 得3 6AD 19在数列 n a中，已知 1 2a ，且 1 2(1)(1) nn nanan n ，*nN （1
23、）设1 n n a b n ，求数列 n b的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n T 【解答】解： （1）依题意，由 1 2(1)(1) nn nanan n ， 两边同时乘以 1 (1)n n ，可得 1 21 1 nn aa nn ， 两边同时减 1，可得 1 12(1) 1 nn aa nn ， 即 1nn bb ， 第 14 页（共 17 页） 1 11 1 n a b ， 数列 n b是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 1 2n n b ，*nN， （2）由（1）知， 11 (1)(21)2 nn nn abnnnn ， 123nn Taaaa 121 (1 1 1)
24、(2 22)(3 23)(2) n nn 21 (1) (1 122322) 2 n nn n ， 设 21 1 1 2 23 22n n Sn ， 则 23 21 22 23 22n n Sn ， ，得 21 12222 nn n Sn 12 2 12 n n n (1) 21 n n， (1) 21 n n Sn， (1) 2 nn n n TS (1) (1) 21 2 n n n n 2 2 (1) 2 2 n nn n 20如图，已知圆 22 :(5)16Mxy与抛物线 2 :(010)C ymxm相切 （1）求C的焦点坐标； （2）若直线430(0)xyaa与圆M相切，且与C相交于
25、A，B两点，求|AB 第 15 页（共 17 页） 【解答】解： （1）联立 2 22 (5)16 ymx xy ，得 2 (10)90 xmx， 依题意可知 2 (10)360m 因为010m，所以4m ， 故C的焦点坐标为(1,0) （2）因为直线430 xya与圆M相切， 所以M到直线430 xya的距离 |20| 4 5 a d ， 因为0a ，所以40a 联立 2 4 43400 yx xy ，得 2 3400yy， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 3yy， 12 40y y ， 则 22 1212 365 |1( )()4 44 AByyy y
26、 21如图，在Rt ABC中，ACBC，30BAC，3BC ，3ACDC，/ /DEBC， 沿DE将点A折至 1 A处，使得 1 ACDC，点M为 1 A B的中点 （1）证明： 1 A B 平面CMD 第 16 页（共 17 页） （2）求二面角BCME的余弦值 【解答】 （1）证明：由DCBC， 1 ACDC，且 1 ACBCC， 1 AC 平面 1 ACB，BC 平面 1 ACB， 可得DC 平面 1 ACB，因此 1 DCA B 由30BAC，3BC ，得333ACBCDC， 因此1DC ， 1 2ADAD，由勾股定理可得 22 11 3ACADDCBC 又因为点M为 1 A B的中点
27、，所以 1 CMAB， 而CDCMC，CM 平面CMD，CD 平面CMD，故 1 A B 平面CMD （2）解：因为DECD， 1 DEAD，CD，DE 平面 1 ACD， 1 AD 平面 1 ACD， 所以DE 平面 1 ACD，又/ /BCDE，所以BC 平面 1 ACD 如图， 以C为原点， 建立空间直角坐标系Cxyz， 则 33 (0,) 22 M， 2 3 (1,0) 3 E，(0, 3,0)B， 易知 1 (1,0,0)n 是平面CMB的一个法向量 设平面CME的法向量为 2 ( , , )nx y z，则，即， 令3y ，得 212 210 ( 2, 3,3).cos, 5143
28、3 nn n ， 易知二面角BCME为锐角，故二面角BCME的余弦值为 10 5 22已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，短轴长为 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点(1,0)P的直线l与椭圆C交于A，B两点若ABO的面积为 3 ( 5 O为坐标原点） ， 求直线l的方程 第 17 页（共 17 页） 【解答】解： （1）由题意可得 222 3 2 22 c a b cab ， 解得 2 4a ， 2 1b 故椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）由题意可知直线l的斜率不为 0，则设直线l的方程为1xmy， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 联立 2 2 1 1 4 xmy x y ，整理得 22 (4)230mymy ， 222 (2 )4(4) ( 3)16480mmm ， 则 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m 故 2 22 121212 222 21243 |()4() 444 mm yyyyy y mmm 因为ABO的面积为 3 5 ， 所以 22 12 22 1143233 |1 22445 mm OPyy mm ， 设 2 33tm ，则 2 23 15 t t ，整理得(31)(3)0tt，解得3t ，即6m 故直线l的方程为61xy ，即610 xy
