1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年河南省驻马店市高二 （上） 期末数学试卷 （文科）学年河南省驻马店市高二 （上） 期末数学试卷 （文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若0ab，那么下列不等式中正确的是( ) A 2 abb B 2 aba C 11 ab D 11 ab 2 （5 分）抛物线 2 4yx的准线方程为( ) A 1 16 y B 1 16 y C1x D1x 3
2、（5 分）下列求导结果正确的是( ) A(cos)sin 66 B 1 (3 )3 xx x C 2 2 log (log) e x x D(sin2 )cos2xx 4 （5 分）已知命题 p：x0（1，+） ，使得；命题 q：xR，2x23x+50那 么下列命题为真命题的是（ ） Apq B （p）q Cp（q） D （p）（q） 5 （5 分） 已知在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c 若s i n3 c o s0bAaB， 则(B ) A 2 3 B 3 C 4 D 3 4 6 （5 分）若变量x，y满足约束条件 458 13 02 xy x y 剟 剟 ，则2zxy的最小
3、值为( ) A 31 5 B6 C 14 5 D4 7（5分） 等比数列 n a的前n项和为 n S， 若 * 2132 1 4 () () nn SaaanN ，1 23 27a a a ， 则 5 (a ) A81 B24 C81 D24 8 （5 分）已知0a ，0b ，且32abab，则ab的最小值为( ) A4 6 B52 6 C2 6 D74 6 第 2 页（共 15 页） 9 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线平行于直线:22 10l yx ， 且该双曲线的一个焦点在直线l上，则此双曲线的方程为( ) A 22 1 82 xy B 22
4、 1 28 xy C 22 1 416 xy D 22 1 164 xy 10 （5 分）若函数 2 ( )21 x f xeax有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( ) A 4 e a B0 4 e a C 4 e a D0 4 e a 二、选择题： （本大题共二、选择题： （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分分.在每小题给出的选项中，有多项是在每小题给出的选项中，有多项是 符合题目要求的， 把正确答案的选项涂在答题卡上符合题目要求的， 把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得全部选对的得 5 分， 部分选对的得分， 部分选对的得 2 分，分， 有选错
5、的得有选错的得 0 分分.） 11 （5 分）已知在数列 n a中， 5 4a ，其前n项和为 n S，下列说法正确的是( ) A若 n a为等差数列， 2 1a ，则 10 45S B若 n a为等比数列， 1 1a ，则 3 2a C若 n a为等差数列，则 19 16a a D若 n a为等比数列，则 28 8aa 12 （5 分）已知曲线 C：mx2+ny21，下列说法正确的是（ ） A若 mn0，则 C 是圆，其半径为 B若 m0，n0，则 C 是两条直线 C若 nm0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 D若 mn0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 三、填空题（每题三、填空题（每
6、题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 2a5a3+4，则 S13 14 （5 分）设点P是曲线 32 1 23 3 yxxx上的任意一点，曲线在点P处的切线的倾斜 角为，则的取值范围是 （用区间表示） 15 （5 分）若ABC的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的内切圆半径等于 16（5 分） 设椭圆的左焦点为 F， 直线 xm 与椭圆 C 相交于 A， B 两点当ABF 的周长最大时，ABF 的面积为 b2，则椭圆 C 的离心率 e 第 3 页（共 15 页） 三、解答题（本大题共三、解答
7、题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（10 分） 设命题 p： 实数 x 满足 x24mx+3m20 （m0） ； 命题 q： 实数 x 满足 若 p 是q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且233 nn Sa （）求数列 n a的通项公式； （）设 3 log nn ba， n n n b c a ，求数列 n c的前n项和 n T 19 （12 分）已知函数 32 ( )2f xxxx （）求曲线( )yf x在点( 1, 4)
8、 处的切线方程； （）求曲线( )yf x过点(1,0)的切线方程 20 （12 分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且12abc （）若2a ，5b ，求cos A的值； （）若 22 sincossincos2sin 22 BA ABC，且ABC的面积为10sinC，试判断ABC的形 状并说明理由 21（12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 经过如下四个点中的三个，1 1 (3, ) 2 P ， 2(0,1) P， 3 1 ( 3, ) 2 P， 4( 3,1) P （）求椭圆M的方程； （）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径
9、的圆经过椭圆M的右顶点 (C A，B均不与点C重合） ，证明：直线l过定点 22 （12 分）已知函数 2 ( )(21)1f xlnxaxax （）讨论( )f x的单调性； （）当0a 时，证明： 3 ( )1 4 f x a 第 4 页（共 15 页） 2020-2021 学年河南省驻马店市高二 （上） 期末数学试卷 （文科）学年河南省驻马店市高二 （上） 期末数学试卷 （文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项
10、是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若0ab，那么下列不等式中正确的是( ) A 2 abb B 2 aba C 11 ab D 11 ab 【解答】解：A0ab， 2 abb，因此A不正确； B0ab， 2 aab，因此B不正确； D0ab，0ab， ab abab ，即 11 ba ，因此C不正确； C由D可知C不正确 故选：D 2 （5 分）抛物线 2 4yx的准线方程为( ) A 1 16 y B 1 16 y C1x D1x 【解答】解：抛物线 2 4yx的方程化为 2 1 4 xy ， 1 8 p， 其准线方程为 1 16 y 故选：B 3 （5 分）下列求导结
11、果正确的是( ) A(cos)sin 66 B 1 (3 )3 xx x C 2 2 log (log) e x x D(sin2 )cos2xx 【解答】解：(cos)0,(3 )33 6 xxln ， 2 2 1 () 2 log e log x xlnx ，(sin2 )2cos2xx 故选：C 4 （5 分）已知命题 p：x0（1，+） ，使得；命题 q：xR，2x23x+50那 么下列命题为真命题的是（ ） Apq B （p）q Cp（q） D （p）（q） 【解答】解：由得 x022x0+10，得（x01）20，得 x01， 即命题 p 是假命题， 第 5 页（共 15 页） 判别
12、式9425940310，则xR，2x23x+50， 则命题 q 是真命题， 则（p）q 是真命题，其余为假命题， 故选：B 5 （5 分） 已知在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c 若s i n3 c o s0bAaB， 则(B ) A 2 3 B 3 C 4 D 3 4 【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin3 cos0bAaB， 由正弦定理得sinsin3sincos0BAAB， sin0A， tan3B ， 2 3 B 故选：A 6 （5 分）若变量x，y满足约束条件 458 13 02 xy x y 剟 剟 ，则2zxy的最小值为( ) A 31
13、 5 B6 C 14 5 D4 【解答】解：由约束条件 458 13 02 xy x y 剟 剟 作出可行域如图， 第 6 页（共 15 页） 联立 1 458 x xy ，解得 4 (1, ) 5 A， 化2zxy为2yxz ，由图可知，当直线2yxz 过A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最小值为14 5 故选：C 7（5分） 等比数列 n a的前n项和为 n S， 若 * 2132 1 4 () () nn SaaanN ，1 23 27a a a ， 则 5 (a ) A81 B24 C81 D24 【解答】解：设等比数列 n a的公比为q， 由 * 21321 4()() nn Sa
14、aanN ， 令1n ，则 21 4Sa，可得 21 3aa， 123 27a a a ， 3 2 27a ，解得 2 3a 1 1a ， 则 4 5 ( 3)81a 故选：C 8 （5 分）已知0a ，0b ，且32abab，则ab的最小值为( ) A4 6 B52 6 C2 6 D74 6 【解答】解：32abab， 32 1 ba ， 323232 () ()325252 6 abab abab bababa ， 当且仅当 32ab ba ，即32ab时，等号成立， ab的最小值为52 6 故选：B 9 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线平行于
15、直线:22 10l yx ， 且该双曲线的一个焦点在直线l上，则此双曲线的方程为( ) 第 7 页（共 15 页） A 22 1 82 xy B 22 1 28 xy C 22 1 416 xy D 22 1 164 xy 【解答】解：由题意得， 2 10 b a c ， 22 10ab， 解得 2 2a ， 2 8b ， 双曲线的方程是： 22 1 28 xy 故选：B 10 （5 分）若函数 2 ( )21 x f xeax有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( ) A 4 e a B0 4 e a C 4 e a D0 4 e a 【解答】解：由题意可得，( )40 x f xeax
16、有 2 个不同的实数根， 即 4 x e a x 有 2 个不同的实数根， 令( ) 4 x e g x x ，则 2 (1) ( ) 4 x ex g x x ， 令( )0g x，可得1x ，令( )0g x，可得1x ， 所以( )g x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 所以( )g x的最小值为g（1） 4 e ， 故 4 e a 故选：C 二、选择题： （本大题共二、选择题： （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分分.在每小题给出的选项中，有多项是在每小题给出的选项中，有多项是 符合题目要求的， 把正确答案的选项涂在答题卡上符合题目要求的，
17、把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得全部选对的得 5 分， 部分选对的得分， 部分选对的得 2 分，分， 有选错的得有选错的得 0 分分.） 11 （5 分）已知在数列 n a中， 5 4a ，其前n项和为 n S，下列说法正确的是( ) A若 n a为等差数列， 2 1a ，则 10 45S B若 n a为等比数列， 1 1a ，则 3 2a C若 n a为等差数列，则 19 16a a D若 n a为等比数列，则 28 8aa 第 8 页（共 15 页） 【解答】解：在数列 n a中， 5 4a ，其前n项和为 n S， 对于A， n a为等差数列， 2 1a ， 则 1 1 1 4
18、4 ad ad ，解得 1 0a ，1d ， 10 109 100145 2 S ，故A正确； 对于B， n a为等比数列， 1 1a ， 则 4 14q，解得 2 2q 则 2 3 12aq ，故B错误； 对于C， n a为等差数列， 5 4a ， 195 28aaa， 故 1 a， 9 a均大于 0 或一正一负， 1 a， 9 a一正一负时， 19 16a a 成立， 当 1 a， 9 a均大于 0 时，则 219 19 ()16 2 aa a a ，当且仅当 19 aa时取等号，故C正确； 对于D， n a为等比数列， 5 4a ， 2 285 16a aa， 当 2 a， 8 a均大于
19、 0 时， 2828 28aaa a，当且仅当 28 aa时取等号， 当 2 a， 8 a均小于 0 时， 282828 ()2 ()()8aaaaaa ，当且仅当 28 aa 时取 等号，故D错误 故选：AC 12 （5 分）已知曲线 C：mx2+ny21，下列说法正确的是（ ） A若 mn0，则 C 是圆，其半径为 B若 m0，n0，则 C 是两条直线 C若 nm0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 D若 mn0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 【解答】解：若 mn0，则 C 是 x2+y2，表示圆，其半径为，所以 A 正确； 若 m0，n0，则 C 是 mx21，是两条直线，所以 B
20、 正确； 第 9 页（共 15 页） 若 nm0，则 C 是1，是椭圆，其焦点在 x 轴上，所以 C 不正确； 若 mn0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为，所以 D 正确 故选：ABD 三、填空题（每题三、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 2a5a3+4，则 S13 52 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，2a5a3+4， 2（a1+4d）a1+2d+4， 解得 a1+6d4， S1313（a1+6d）52 故答案为：52 14 （5 分）设点P是曲线 32 1
21、23 3 yxxx上的任意一点，曲线在点P处的切线的倾斜 角为，则的取值范围是 ,) 4 2 （用区间表示） 【解答】解：由 32 1 23 3 yxxx，得 2 22yxx， 22 22(1)1 1yxxx ， 曲线上点P处的切线的斜率的取值范围为1，)， 即tan1，又0，)， 的取值范围是：,) 4 2 故答案为：,) 4 2 15 （5 分）若ABC的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的内切圆半径等于 3 2 【解答】解：不妨设3a ，5b ，7c ， 由余弦定理可得， 222 925491 cos 22 3 52 abc C ab ， 故 2 3 C ， 11315 3 sin3
22、5 2224 ABC SabC 由 1 () 2 Sabc r，得 115 3 (357) 24 Sr， 第 10 页（共 15 页） 3 2 r 故答案是： 3 2 16（5 分） 设椭圆的左焦点为 F， 直线 xm 与椭圆 C 相交于 A， B 两点当ABF 的周长最大时，ABF 的面积为 b2，则椭圆 C 的离心率 e 【解答】解：椭圆的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点 直线 xm 与 x 轴的交点为 E，右焦点为 F，|AF|+|AE|AF|+|AF|2a， 当ABF 的周长最大时，E、F重合，此时 mc，所以三角形的面积为：（2c） b2， 所以 e 故答案
23、为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（10 分） 设命题 p： 实数 x 满足 x24mx+3m20 （m0） ； 命题 q： 实数 x 满足 若 p 是q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 【解答】解：由 x24mx+3m20，得（xm） （x3m）0， 又 m0，所以 mx3m， 由，得 04x2，即 2x4 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以 q 是 p 的充分不必要条件 设 A（3，m）B（2，4） ， 第 11 页（共 15 页） 则 B 是
24、 A 的真子集， 故或 即 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且233 nn Sa （）求数列 n a的通项公式； （）设 3 log nn ba， n n n b c a ，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解： （）当1n 时， 111 2231aSa， 1 1a 当2n时， 11 222(33)(33) nnnnn aSSaa 即： 1 3 n n a a ， 数列 n a为以 3 为首项，3 为公比的等比数列 1 3 33 nn n a （）由（）知3n n a ， 所以 3 log nn ban， 故 3 n n n n bn c a 即 123 23
25、123 3333 nn n n Tcccc 所以 231 1121 33333 n nn nn T 得 23111 11 (1) 2111111 33 (1) 1 3333333233 1 3 n n nnnnn nnn T 所以 331 () ( ) 4243 n n n T 19 （12 分）已知函数 32 ( )2f xxxx （）求曲线( )yf x在点( 1, 4) 处的切线方程； （）求曲线( )yf x过点(1,0)的切线方程 【解答】解： （）由题意得 2 ( )341fxxx， 第 12 页（共 15 页） ( 1)8 f ， 曲线( )yf x在点( 1, 4) 处的切线方
26、程为48(1)yx， 即840 xy； （）设切点为 0 (x， 0) y， 切点在函数图象上， 32 0000 2yxxx， 故曲线在该点处的切线为 322 000000 (2)(341)()yxxxxxxx， 切线过点(1,0)， 322 000000 0(2)(341)(1)xxxxxx 即 2 00 (1) (21)0 xx， 解得 0 1x 或 0 1 2 x ， 当 0 1x 时，切点为(1,0)， f （1）0，切线方程为0y ； 当 0 1 2 x 时，切点为 1 1 (, ) 2 8 ， 11 ( ) 24 f ，切线方程为410 xy 综上可得：切线方程为0y 或410 x
27、y 20 （12 分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且12abc （）若2a ，5b ，求cos A的值； （）若 22 sincossincos2sin 22 BA ABC，且ABC的面积为10sinC，试判断ABC的形 状并说明理由 【解答】解： （1）12abc，2a ，5b ， 5c 222222 55223 cos 22 5 525 bca A bc （2）ABC为直角三角形， 22 sincossincos2sin 22 BA ABC， 1cos1cos sinsin2sin 22 BA ABC ，即sinsinsincoscossin4sinABABABC，
28、 sinsinsin()4sinABABC， 第 13 页（共 15 页） ABC，ABC，即sin()sin()sinABCC sinsin3sinABC，由正弦定理得3abc， 12abc，可得412c ，解得3c 从而9ab 又ABC的面积为10sinC， 1 sin10sin 2 abCC 即20ab ，5a，4b 或4a ，5b ， 又3c ，可得 222 16925 cos0 22 4 3 acb B ac ，可得B为直角， ABC为直角三角形 21（12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 经过如下四个点中的三个，1 1 (3, ) 2 P ， 2(0,1
29、) P， 3 1 ( 3, ) 2 P， 4( 3,1) P （）求椭圆M的方程； （）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点 (C A，B均不与点C重合） ，证明：直线l过定点 【解答】解： （） 2 2 1 4 x y； 由题意，点 1 1 (3, ) 2 P 与点 3 1 ( 3, ) 2 P关于原点对称， 根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知， 点 1 1 (3, ) 2 P 和点 3 1 ( 3, ) 2 P都在椭圆上， 又因为点 3 1 ( 3, ) 2 P与点 4( 3,1) P不可能同时在椭圆上， 即椭圆过点 1 1 (3, ) 2 P ，
30、 3( 3 P， 1 ) 2 ， 2(0,1) P， 所以 2 2 22 1 ( ) (3) 2 1 ab ， 且 22 22 01 1 ab ， 故 2 4a ， 2 1b ， 所以，椭圆M的方程为 2 2 1 4 x y 第 14 页（共 15 页） （）证明：直线l恒过点 6 ( ,0) 5 由题意，可设直线AB的方程(2)xym mk， 联立 2 2 1 4 x y xym k 消去x，得 222 (4)240ymymkk， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则有 12 2 2 4 m yy k k ， 2 12 2 4 4 m yy k 又以线段AB为直径的圆
31、过椭圆的右顶点C，0CA CB， 由 11 (2,)CAxy， 22 (2,)CBxy， 得 1212 (2)(2)0 xxy y， 将 11 xymk， 22 xymk代入上式得 22 1212 (1)(2)()(2)0y ymyymkk， 将代入上式求得 6 5 m 或2m （舍)， 则直线l恒过点 6 ( ,0) 5 22 （12 分）已知函数 2 ( )(21)1f xlnxaxax （）讨论( )f x的单调性； （）当0a 时，证明： 3 ( )1 4 f x a 【解答】 （）解：因为 2 ( )(21)1f xlnxaxax， 所以 2 12(21)1(21)(1) ( )22
32、1(0) axaxaxx fxaxax xxx ， 当0a时，( ) 0fx恒成立，则( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，令( )0fx，则210ax ，所以 1 0 2 x a ， 令( )0fx，则210ax ，所以 1 2 x a ， 所以( )f x的增区间为 1 (0,) 2a ，减区间为 1 (,) 2a 综上：当0a时，( )f x的增区间为(0,)； 当0a 时，( )f x的增区间为 1 (0,) 2a ，减区间为 1 (,) 2a （） 证明： 由 （） 知， 当0a 时， 1 ( )() 2 max f xf a ， 1311 ()(1)()1 2422 fln aaaa ， 第 15 页（共 15 页） 令( )1(0)g tlnttt ，则 11 ( )1 t g t tt ， 令( )0g t，则01t ，令( )0g t，则1t ， 所以( )g t在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 故( )maxg tg（1）0， 所以1 0lntt 又因为 1 0 2a ， 所以 11 ()()1 0 22 ln aa 则 1311 ()(1)()()1 0 2422 fln aaaa ， 从而 3 ( )1 4 max f x a ， 所以 3 ( )1 4 f x a
