2020-2021学年湖北省随州市高二(上)期末数学试卷.docx

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1、第 1 页(共 21 页) 2020-2021 学年湖北省随州市高二(上)期末数学试卷学年湖北省随州市高二(上)期末数学试卷 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求有一项是符合题目要求. 1 (5 分)直线l垂直于直线1yx,且l在y轴上的截距为2,则直线l的方程是( ) A20 xy B10 xy C10 xy D20 xy 2 (5 分)已知向量(2a ,1,3),(bx,2,1) x,若ab,则(x ) A5 B5 C4 D1 3 (5 分

2、)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为5,则C的渐近线方程为( ) A2yx B 1 2 yx C 1 3 yx D 1 4 yx 4 (5 分)已知圆 22 1: 212330Cxyxy与圆 22 2: 104520Cxyxy,则两圆 公切线条数为( ) A1 B2 C3 D4 5 (5 分) 在各项都为正数的等比数列 n a中, 首项 1 3a , 前三项和为 21, 则 345 (aaa ) A33 B72 C84 D189 6 (5 分)已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 短轴的两个端点为A、B,点C为椭圆上异于A、 B的一点,直线AC与

3、直线BC的斜率之积为 1 4 ,则椭圆的离心率为( ) A 3 2 B3 C 1 2 D 3 4 7 (5 分)已知三棱柱 111 ABCABC中, 1 1 1 2 ABACAA, 11 3 A ACA AB ,D点 是线段AB上靠近A的一个三等分点,则 1 (CD B B ) A 2 3 B 2 3 C 4 3 D 4 3 8 (5 分)已知抛物线 2 :6C yx的焦点为F,准线为l,A是l上一点,B是直线AF与抛 第 2 页(共 21 页) 物线C的一个交点,若3FAFB,则| (BF ) A 7 2 B3 C 5 2 D2 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共 4 小题,每

4、小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分. 9 (5 分)已知双曲线 22 :1 9 xy C tt 的离心率3e ,则下列说法正确的是( ) A3t 或9 B双曲线C的渐近线方程为2yx C双曲线C的实轴长等于2 3 D双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于3 10 (5 分)在等差数列 n a中, 1 9a , 5 1a 记 12 (1 nn Ta aa n,2,),则数列 ( n T ) A 56

5、 TT B有最大项 4 T C无最大项 D无最小项 11 (5 分)已知直线:30l axya上存在相距为 4 的两个动点A,B,若圆 22 :(1)(4)4Cxy上存在点P使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,则 实数a的值可以为( ) A2 B1 C0 D1 12(5 分) 已知球O为正方体 1111 ABCDABC D的内切球, 平面 11 AC B截球O的面积为24, 下列命题中正确的有( ) A异面直线AC与 1 BC所成的角为60 B 1 BD 平面 11 AC B C球O的表面积为36 D三棱锥 111 BAC B的体积为 288 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共

6、 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13(5 分) 已知在空间四边形OABC中,,OAa OBb OCc, 点M在OA上, 且3OMMA, 第 3 页(共 21 页) N为BC中点,用, ,a b c表示MN,则MN等于 14 (5 分)椭圆 22 1 95 xy 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,过焦点 1 F的直线交该椭圆于A, B两点,若 2 ABF的内切圆面积为,A,B两点的坐标分别为 1 (x, 1) y, 2 (x, 2) y,则 2 ABF的面积S , 12 |yy的值为 15(5分) 过点(3,4)P作圆 22 10 xy的两条切线, 设切点分别

7、为A,B, 则线段AB 16 (5 分)在ABC中,90BAC,6AB ,8AC ,D是斜边上一点,以AD为棱折 成60二面角CADB,则线段BC最小值为 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PAPC (1)求证:/ /BC平面PAD; (2)求证:PBAC 18 已 知ABC三 边 所 在 直 线 方 程 ::3260 AB lxy,:23220 AC lxy, :340(,30) BC lxymmR m (1)判断ABC的形

8、状; (2)当BC边上的高为 1 时,求m的值 19 在 224 30abb, 44 ab, 3 27S 这三个条件中任选一个补充在下面问题中, 第 4 页(共 21 页) 并解答问题 设等差 数列 n a的前n项和为 n S,数 列 n b的前n项和为 n T, _, 51 ab, * 431() nn TbnN,是否存在实数,对任意 * nN都有 n S?若存在,求实数的取值 范围;若不存在,请说明理由 20 已知与1x 相切的圆C的圆心在射线30(0)xyx上, 且被直线:3450lxy截 得弦长为4 3 (1)求圆C的方程; (2)若圆C上有且仅有 2 个点到与l平行的直线 l 的距离

9、为 2,求直线 l 在x轴上截距的取 值范围 21三棱柱 111 ABCA BC中,侧面 11 BBC C为菱形, 1 60CBB,ABAC,ABAC, 1 2BCAB (1)求证:面ABC 面 11 BBC C; (2)在线段 11 C A上是否存在一点M,使得二面角 11 MCBC的大小为 6 ,若存在,求出 1 11 C M C A 的值,若不存在,请说明理由 22已知椭圆 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ,离心率为 3 2 ,且椭圆C经过点(0,1)P (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A,B两点若直线PA与直线PB的斜率的和 为1,试问:

10、直线l是否经过定点,若经过求出该定点的坐标,若不经过请说明理由 第 5 页(共 21 页) 2020-2021 学年湖北省随州市高二(上)期末数学试卷学年湖北省随州市高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求有一项是符合题目要求. 1 (5 分)直线l垂直于直线1yx,且l在y轴上的截距为2,则直线l的方程是( ) A20 xy B10 xy C10 xy D20 xy 【解答】解:因为直

11、线l垂直于直线1yx, 所以设直线l的方程为yxb , 又因为l在y轴上的截距为2, 所以2b , 故所求直线l的方程为2yx ,即20 xy 故选:A 2 (5 分)已知向量(2a ,1,3),(bx,2,1) x,若ab,则(x ) A5 B5 C4 D1 【解答】解:向量(2a ,1,3),(bx,2,1) x,ab, 223(1)0a bxx, 解得5x 故选:B 3 (5 分)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为5,则C的渐近线方程为( ) A2yx B 1 2 yx C 1 3 yx D 1 4 yx 【解答】解:因为双曲线的离心率公式 2 2 1

12、5 cb e aa , 2 b a , 第 6 页(共 21 页) 双曲线的渐近线方程为: 22 22 0 xy ab b yx a , 2yx , 故选:A 4 (5 分)已知圆 22 1: 212330Cxyxy与圆 22 2: 104520Cxyxy,则两圆 公切线条数为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解:圆 22 1: 212330Cxyxy,即 22 (1)(6)4xy,圆心 1(1, 6) C,半 径2r , 圆 22 2: 104520Cxyxy,即 22 (5)(2)81xy,圆心 2( 5,2) C ,半径9R , 所以圆心距 22 (1 5)( 62)10d , 因

13、为9292d, 所以两圆相交, 故两圆公切线条数为 2 故选:B 5 (5 分) 在各项都为正数的等比数列 n a中, 首项 1 3a , 前三项和为 21, 则 345 (aaa ) A33 B72 C84 D189 【解答】解:在各项都为正数的等比数列 n a中,首项 1 3a ,前三项和为 21 故 2 33321qq, 2q , 22 345123 ()21 284aaaaaa q 故选:C 6 (5 分)已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 短轴的两个端点为A、B,点C为椭圆上异于A、 B的一点,直线AC与直线BC的斜率之积为 1 4 ,则椭圆的离心率为( ) 第 7 页

14、(共 21 页) A 3 2 B3 C 1 2 D 3 4 【解答】解:由题意可得(0, )Ab,(0,)Bb,设 0 (C x, 0) y, 由C在椭圆上可得 22 00 22 1 xy ab , 即有 222 20 0 2 ()a by x b , 由直线AC与BC的斜率之积为 1 4 , 可得 00 00 1 4 yb yb xx , 即为 222 00 4()xby, 由代入可得 2 2 4 a b ,即2ab, 22 3 2 caba, 可得离心率 3 2 c e a 故选:A 7 (5 分)已知三棱柱 111 ABCABC中, 1 1 1 2 ABACAA, 11 3 A ACA

15、AB ,D点 是线段AB上靠近A的一个三等分点,则 1 (CD B B ) A 2 3 B 2 3 C 4 3 D 4 3 【解答】解:如图,1ABAC, 1 2AA , 11 3 A ACA AB , 又 1 3 CDCAADABAC, 11 B BAA , 1111 111112 () ()1 21 2 332323 CD B BABACAAAC AAAB AA 故选:A 第 8 页(共 21 页) 8 (5 分)已知抛物线 2 :6C yx的焦点为F,准线为l,A是l上一点,B是直线AF与抛 物线C的一个交点,若3FAFB,则| (BF ) A 7 2 B3 C 5 2 D2 【解答】解

16、:由题可知,3p , 如图所示,过点B作BCl于点C,准线l与x轴交于点E,设|BFm,则| 2ABm, 由抛物线的定义可知,| |BCBFm,60ABCAFE , | 2| 26AFEFp, 1 | 2 3 BFAF 故选:D 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分. 9 (5 分)已知双曲线 22 :1 9 xy C tt 的离心率

17、3e ,则下列说法正确的是( ) A3t 或9 B双曲线C的渐近线方程为2yx C双曲线C的实轴长等于2 3 D双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于3 【解答】解:(9)0tt,09t , 双曲线的焦点在x轴上,at,9bt,3c , 离心率 3 3 c e at , 3t ,即选项A错误; 第 9 页(共 21 页) 双曲线的方程为 22 1 36 xy , 渐近线方程为2 b yxx a ,即选项B正确; 实轴长为22 3a ,即选项C正确; 焦点(3,0)到渐近线2yx的距离为 |3 2 | 6 21 ,即选项D错误 故选:BC 10 (5 分)在等差数列 n a中, 1 9a , 5 1

18、a 记 12 (1 nn Ta aa n,2,),则数列 ( n T ) A 56 TT B有最大项 4 T C无最大项 D无最小项 【解答】解:由题意,设等差数列 n a的公差为d,则 51 4941aadd , 解得2d , 92(1)211 n ann ,*nN, 11 9Ta , 212 9(2211)63TTa , 323 63(2311)315TT a , 434 315(2411)945TT a , 545 945(2511)945TT a , 656 945(2611)945TT a , 56 TT,故选项A正确, 当7n时,2110 n an,且数列 n a单调递增, 而 6

19、 9450T , 当7n时,数列 n T均小于 0,且单调递减, 当*nN时,数列 n T的最大项为 4 945T , 第 10 页(共 21 页) 故选项B正确,故选项C错误, 当n时,数列 n T越来越小,但无最小项, 故选项D正确 故选:ABD 11 (5 分)已知直线:30l axya上存在相距为 4 的两个动点A,B,若圆 22 :(1)(4)4Cxy上存在点P使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,则 实数a的值可以为( ) A2 B1 C0 D1 【解答】解:根据题意,若ABP为等腰直角三角形,其中P为直角顶点,且| 4AB , 则P到AB的距离为 | 2 2 AB , 若

20、圆 22 :(1)(4)4Cxy上存在点P,使得ABP为等腰直角三角形, 则圆心C到直线l的距离4d,即有 2 | 44| 4 1 a a , 解得:0a, 结合选项可得,实数a的值可以为2,1,0 故选:ABC 12(5 分) 已知球O为正方体 1111 ABCDABC D的内切球, 平面 11 AC B截球O的面积为24, 下列命题中正确的有( ) A异面直线AC与 1 BC所成的角为60 B 1 BD 平面 11 AC B C球O的表面积为36 D三棱锥 111 BAC B的体积为 288 【解答】解:由正方体图形可知, 第 11 页(共 21 页) 连接 11 AC, 1 A B,可知

21、 11/ / ACAC,即异面直线AC与 1 BC所成的角为角 11 AC B,又因三角 形 11 AC B为正三角形,所以异面直线AC与 1 BC所成的角为 0 60,故选项A正确; 由图形可知 1 BD与 1 BC不垂直,故选项B不正确, 平面 11 AC B截球O的截面恰好是三角形 11 AC B的内切圆,由截面圆的面积为24,故内切圆 的半径为2 6, 设 正 方 体 的 边 长 为a, 则 三 角 形 11 AC B的 边 长 为2a, 此 时 内 切 圆 的 半 径 为 3 226 3 ra, 所以6a ,此时内切球的半径为 3,所以球的表面积为 2 436R,故C选项正确;三棱

22、锥 11 66636 32 ,故选项D错误, 故选:AC 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13(5 分) 已知在空间四边形OABC中,,OAa OBb OCc, 点M在OA上, 且3OMMA, N为BC中点,用, ,a b c表示MN,则MN等于 311 422 abc 【解答】解:如图所示, 空间四边形OABC中,,OAa OBb OCc, 点M在OA上,且3OMMA, 3 4 OMOA; 又N为BC中点, 1 () 2 ONOBOC 第 12 页(共 21 页) MNONOM 13 () 24 OBOCOA 311 4

23、22 abc 故答案为: 311 422 abc 14 (5 分)椭圆 22 1 95 xy 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,过焦点 1 F的直线交该椭圆于A, B两点,若 2 ABF的内切圆面积为,A,B两点的坐标分别为 1 (x, 1) y, 2 (x, 2) y,则 2 ABF的面积S 6 , 12 |yy的值为 【解答】解:椭圆 22 1 95 xy 的左右焦点分别为 1 F, 2 F,3a ,5b ,2c , 过焦点 1 F的直线交椭圆于 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y两点, 2 ABF的内切圆的面积为, 2 ABF内切圆半径1r 2 ABF面积 22 1

24、 1 ()26 2 SABAFBFa ; 2 ABF面积 1212 11 | 2| 226 22 Syycyy , 得 12 | 3yy 故答案为:6;3 第 13 页(共 21 页) 15 (5 分)过点(3,4)P作圆 22 10 xy的两条切线,设切点分别为A,B,则线段AB 2 6 【解答】解:由切线的性质可知,切点A,B在以PO为直径的圆上, 因为PO的中点坐标为 3 ( 2 ,2),PO的长度为| 5PO , 所以以PO为直径的圆的方程为 22 325 ()(2) 24 xy, 即 22 340 xxyy, 又切点A,B在圆 22 340 xxyy,也在圆 22 10 xy上, 两

25、式相减可得直线AB的方程为34100 xy, 因为圆 22 10 xy的圆心到直线34100 xy的距离为2d , 所以线段AB的长度为 22 22 1042 6rd 故答案为:2 6 16 (5 分)在ABC中,90BAC,6AB ,8AC ,D是斜边上一点,以AD为棱折 成60二面角CADB,则线段BC最小值为 2 7 【解答】解:如图,过C,B作AD的垂线,垂足分别为E,F, 故BFEF,ECEF, 所以0,0BF FEFE EC, 以AD为棱折叠后,则有BCBFFEEC, 故 2 2 ()BCBFFEEC 222 222BFFEECBF ECBF FEFE EC, 222 |2BFFE

26、ECBF EC, 第 14 页(共 21 页) 因为以AD为棱折成60二面角CADB, 所以BF与EC的夹角为120, 令BAD,则90CAE, 在Rt ABF中,sin6sinBFAB,cos6cosAFAB, 在Rt ACE中,sin(90)8cosECAC,cos(90)8sinAEAC, 故8sin6cosFEAEAF, 所以 2222 1 |(6sin)(8sin6cos )(8cos )2 6sin8cos() 2 BC 2222 36(sincos)64(sincos) 144sincos 10072sin2, 故当45时, 2 |BC有最小值 28, 故线段BC最小值为2 7

27、故答案为:2 7 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PAPC (1)求证:/ /BC平面PAD; (2)求证:PBAC 第 15 页(共 21 页) 【解答】证明: (1)底面ABCD为菱形, / /BCAD, BC 平面PAD,AD 平面PAD, / /BC平面PAD (2)设ACBDO,连结OP,底面ABCD为菱形, ACBD, PAPC,AOCO, ACPO, BDPOO,BD平面PBD,PO 平面PBD, AC平面PB

28、D, 又PB 平面PBD, PBAC 18 已 知ABC三 边 所 在 直 线 方 程 ::3260 AB lxy,:23220 AC lxy, :340(,30) BC lxymmR m (1)判断ABC的形状; 第 16 页(共 21 页) (2)当BC边上的高为 1 时,求m的值 【解答】解: (1)直线AB的斜率为 3 2 AB k,直线AC的斜率为 2 3 AC k , 所以1 ABAC kk , 所以直线AB与AC互相垂直, 因此,ABC为直角三角形; (2)解方程组 3260 23220 xy xy ,得 2 6 x y ,即(2,6)A 由点到直线的距离公式得 22 |3246

29、|30| 5 34 mm d 当1d 时, |30| 1 5 m ,即|30| 5m, 解得25m 或35m 19 在 224 30abb, 44 ab, 3 27S 这三个条件中任选一个补充在下面问题中, 并解答问题 设等差 数列 n a的前n项和为 n S,数 列 n b的前n项和为 n T, _, 51 ab, * 431() nn TbnN,是否存在实数,对任意 * nN都有 n S?若存在,求实数的取值 范围;若不存在,请说明理由 【解答】解:当1n 时, 111 4431bTb,解得 1 1b , 当2n时,由431 nn Tb,可得 11 431 nn Tb , 两式相减,可得

30、1 433 nnn bbb , 化简整理,得 1 3 nn bb , 数列 n b是以1为首项,3为公比的等比数列, 11 1 ( 3)( 1)3 nnn n b , 51 1ab , 方案一:选条件 由 21 2 ( 1)33b , 43 4 ( 1)327b ,可得 第 17 页(共 21 页) 2 33270a ,解得 2 10a , 设等差数列 n a的公差为d,则 52 1( 10) 3 523 aa d , 12 10313aad , 2 (1)329 133 222 n n n Snnn , 依据二次函数的性质,可知当 29 29 2 3 6 2 2 n 时, n S取得最小值,

31、 *nN, 29 45 6 ,当4n 时, 2 4 329 4434 22 S , 当5n 时, 2 5 329 5535 22 S , 5 35 nmin SS , 实数的取值范围为(,35 方案二:选条件 44 27ab, 设等差数列 n a的公差为d,则 54 12728daa , 14 3273 ( 28)111aad , 2 (1) 111( 28)14125 2 n n n Snnn , 依据二次函数的性质,可知当 125125 2( 14)28 n 时, n S取得最大值, *nN, 125 45 28 , 当4n 时, 2 4 14 4125 4276S , 当5n 时, 2

32、5 14 5125 5275S , 123456 SSSSSS n S无最小值,即实数不存在 方案三:选条件 设等差数列 n a的公差为d,则 1 1 41 3327 ad ad , 第 18 页(共 21 页) 解得 1 35 3 8 3 a d , 2 35(1)84 13 3233 n n n Snnn , 依据二次函数的性质,可知当 1339 4 8 2 3 n 时, n S取得最小值, *nN, 39 45 8 ,当4n 时, 2 4 492 4134 33 S , 当5n 时, 2 5 495 513 5 33 S , 5 95 3 nmin SS , 实数的取值范围为(, 95

33、3 20 已知与1x 相切的圆C的圆心在射线30(0)xyx上, 且被直线:3450lxy截 得弦长为4 3 (1)求圆C的方程; (2)若圆C上有且仅有 2 个点到与l平行的直线 l 的距离为 2,求直线 l 在x轴上截距的取 值范围 【解答】解: (1)设圆C的标准方程为 222 ()()(0)xaybr r, 此时圆心坐标为( , )a b,半径为r, 把圆心坐标代入直线30 xy中得:3ab, 又圆C与1x 相切,|1|ra , 又圆被直线:3450lxy截得弦长为4 3, 222 345 ()(2 3) 5 ab r , 将代入,得 22 (1)12(31)bb, 解得 3 2 b

34、(舍去) ,或1b 3 13a ,4r 圆C的标准方程为 22 (3)(1)16xy; (2) l 与直线l平行,设:340lxyt , l与圆心的距离22r 时,到l距离为 2 有 3 个点; 第 19 页(共 21 页) l与圆心的距离26r 时,到l距离为 2 有 1 个点; 26d, |3 34|5| 55 tt d , 即 |5| 26 5 t ,解得525t ,或3515t 0y 时,30 xt ,即 3 t x , 直线 l 在x轴上截距的取值范围是 255 (,)(5 33 , 25) 3 21三棱柱 111 ABCA BC中,侧面 11 BBC C为菱形, 1 60CBB,A

35、BAC,ABAC, 1 2BCAB (1)求证:面ABC 面 11 BBC C; (2)在线段 11 C A上是否存在一点M,使得二面角 11 MCBC的大小为 6 ,若存在,求出 1 11 C M C A 的值,若不存在,请说明理由 【解答】 (1)证明:取BC的中点O,连AO, 1 B O, ABAC,ABAC,2BC , 1AO,AOBC, 又 1 BCBB, 1 60CBB, 1 OBBC, 1 3OB , 又 1 2AB , 222 11 OAOBAB,即 1 AOOB, 1 BCOBO,BC、 1 OB 平面 11 BBC C, 第 20 页(共 21 页) AO面 11 BBC

36、C, 又AO 面ABC, 面ABC 面 11 BBC C (2)解:以O为原点,OB, 1 OB,OA所在直线分别为x、y、z轴,建立如图空间直角 坐标系, 则 1 (0,0,1), (1,0,0), ( 1,0,0),(0, 3,0)ABCB, 1 ( 1, 3,0),(1,0,1)BBCA , 1 (1CB ,3,0), 设 1 11 C M C A ,则 111(0 1)C MC A剟, 1 11111 ( 1, 3, )CMCCC MBBC ABBCA , 设平面 1 CMB的法向量为 1 ( , , )nx y z,则 1 11 0 0 nCM nCB ,即 (1)30 30 xyz

37、 xy , 取3x ,则3y , 63 z , 1 (3n ,3, 63 ) , 由(1)知,AO 面 11 BBC C, 面 11 BBC C的一个法向量为 2 (0,0,1)n , 二面角 11 MCBC的大小为 6 , 12 2 12 63 3 cos 62| |63 12() nn nn , 化简得, 2 3440, 解得 2 3 或2, 01剟, 2 3 , 第 21 页(共 21 页) 故存在一点M满足条件,且 1 11 2 3 C M C A 22已知椭圆 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ,离心率为 3 2 ,且椭圆C经过点(0,1)P (1)求椭圆C的方程; (

38、2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A,B两点若直线PA与直线PB的斜率的和 为1,试问:直线l是否经过定点,若经过求出该定点的坐标,若不经过请说明理由 【解答】解: (1)由椭圆C经过点(0,1)P可得1b , 因为 2 13 2 ca e aa ,所以 2 4a ; 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y (2)当直线l斜率不存在时,由椭圆的对称性可知0 PBPB kk,不满足题意; 当直线l斜率存在时,设:(1)l yxm mk, 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 由 22 44 yxm xy k 整理,得 222 (1 4)8440 xmxmkk, 所以 12 2 8 14 m xx k k , 2 12 2 44 14 m x x k , 222222 644(1 4)(44)0410mmm kkk 12212121 1212 11()() 1 PBPB yyxxmxxxmx xxx x kk kk, (1) 21 (1)(1) m mm k , 又1m ,所以21m k,此时4 k,存在k,使得0成立, 所以直线l的方程为21yxkk, 当2x 时,1y , 所以直线ll过定点(2, 1)

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