1、第 1 页（共 24 页） 2020-2021 学年山东省临沂市高三（上）期末数学试卷学年山东省临沂市高三（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （5 分）已知集合 1A ，2， |10Bx mx ，mR，若ABA，则所有符合 条件的实数m组成的集合是( ) A 1 ,0,1 2 B 1，0，2 C 1，2 D 1 1,0, 2 2 （5 分）复数z满足(3) 5 z ii，则(z ) A 13 22 i B 13 22 i C 13 22 i D 13 22 i 3 （5 分）若向量( ,2)ax，(2,3)b
2、 ，(2, 4)c ，且/ /ac，则| (ab ) A3 B11 C10 D2 3 4 （5 分）已知数列 n a中， 3 2a ， 7 1a 若 1 n a 为等差数列，则 5 (a ) A 2 3 B 3 2 C 4 3 D 3 4 5 （5 分） “ 1 ( )1 2 x ”是“21x ”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）函数 | ( ) sin ln x f x xx 的部分图象大致为( ) A B 第 2 页（共 24 页） C D 7 （5 分）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线 的
3、对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知 抛物线 2 4yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点(3,1)M射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为( ) A 71 26 12 B910 C 83 26 12 D926 8 （5 分）函数( )g x的图象关于y轴对称，(x ，0时，( )0g x，g（2）0又 ( )(1)g xf x，则(1) ( )0 xf x的解集为( ) A(3,) B |x xR，1x C(1,) D |1x x 或 3x 二二 多项选择题多项选择题:本题共本题共 4 小题小题,每题每题 5
4、分分,共共 20 分分 在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要有多项符合题目要 求求 全部选对的得全部选对的得 5 分分,部分选对的得部分选对的得 3 分分,有选错的得有选错的得 0 分分 9 （5 分）某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取 了80名驾驶员进行询问调查， 将他们在某段高速公路的车速(/ )m hk分成六段：60，65)65， 70)，70，75)，75，80)，80，85)，85，90，得到如图所示的频率分布直方图下 列结论正确的是( ) 第 3 页（共 24 页） A这 80 辆小型车辆车速的众数的估计值为 77.5 B在
5、该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75/m hk的概率为 0.65 C若从样本中车速在60，70)的车辆中任意抽取 2 辆，则至少有一辆车的车速在65， 70)的概率为 10 11 D若从样本中车速在60，70)的车辆中任意抽取 2 辆，则车速都在65，70)内的概率 为 2 3 10 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M在棱 1 CC上，则下列结论正确的 是( ) A直线BM与平面 11 ADD A平行 B平面 1 BMD截正方体所得的截面为三角形 C异面直线 1 AD与 11 AC所成的角为 3 D 1 |MBMD的最小值为12 11 （5 分）已知圆
6、22 :4C xy，直线:(3)4330lm xym ，()mR则下列四个 命题正确的是( ) A直线l恒过定点( 3,3) B当0m 时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于 1 C圆C与曲线： 22 680 xyxym恰有三条公切线，则16m D当13m 时，直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA、PB其中A、B为切点， 则直线AB经过点 164 (,) 99 第 4 页（共 24 页） 12 （5 分）已知函数 3 ( ) x f xex，则以下结论正确的是( ) A( )f x在R上单调递增 B 1 2 5 ()( log 0.2)()f eff ln C方程( )1f x 有实数
7、解 D存在实数k，使得方程( )f xx k有 4 个实数解 三三.填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知 22 3 sin ()cos () 632 ，若(0, )，则 14 （5 分） 25 2 12 (1)(1)x xx 的展开式中 2 x的系数为 15 （5 分）有六条线段，其长度分别为 2，3，4，5，6，7现任取三条，则这三条线段在 可以构成三角形的前提下，能构成锐角三角形的概率是 16 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，动点P在对角线 1 BD上，当3PB 时， 三棱锥PABC的外接
8、球的体积为 四四.解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）正项等比数列 n a的前n项和为 n S，0 n a ，若 23 413 , 39 SS，且点( n a，) n b 在函数 3 3 logy x 的图象上 （1）求 n a， n b通项公式； （2）记 21 21 1 n nn c bb ，求 n c的前n项和 n T 18 （12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若_，且ABC的 外接圆的面积为3，ABC的面积为 9 3 4 ，求A
9、BC的周长 在 1 sin2sincossin2 2 bAaACcA； 2 BC bsinasinB ；2 cos2aBcb；这三个 条件中任选一个补充在上面问题中，并加以解答 19（12 分） 如图， 四边形ABCD为直角梯形，/ /ABCD，ABBC，22ABBC，3CDBC， E为AB的中点，点F在CD上，且/ /EFBC，以EF为折痕把四边形EBCF折起，使二面 角BEFD为直角，点B，C折起后的位置分别记为点G，H （1）求证：AD 平面AHF； 第 5 页（共 24 页） （2）在线段HD上存在一点P，使平面PAE与平面AEG所成的二面角的余弦值为 5 5 延 长GH到点M，使HM
10、GH，判断直线PM是否在平面PAE中，说明理由 20 （12 分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户 每日健步的步数 某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况， 从正常上班的员工中随 机抽取了 2000 人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天 健步的步数均在 3 千步至 21 千步之间） 将样本数据分成3，5)，5，7)7，9)，9，11)， 11，13)，13，15)，15，17)，17，19)，19，21九组，绘制成如图所示的频率分布 直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布 （1）求图中a的值； （2） 设该企业正常上班
11、的员工健步步数 （单位： 千步） 近似服从正态分布 2 ( ,)N ， 其中 近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算） ，取3.64，若该企业恰有 10 万人 正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数Z位于区间4.88，15.8范围内的人数； （3）现从该企业员工中随机抽取 20 人，其中有k名员工的日健步步数在 13 千步至 15 千步 内的概率为()P X k，其中0k，1，2，20，当()P X k最大时，求k的值 参考数据：若随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则()0.6827P， (22 )0.9545P ，(33 )0.9973P 第 6 页（共 24 页） 21
12、（12 分）设函数 1 ( )()f xxalnx aR x （）讨论函数( )f x的单调性 （） 若( )f x有两个极值点 1 x， 2 x， 记过点 1 (A x， 1 ()f x， 2 (B x， 2 ()f x的直线斜率为k 问： 是否存在a，使得2ak？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知(0,1)P为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的一点，焦距长为 2PA、PB为椭 圆的两条动弦，其倾斜角分别为，且(0,0) 444 （1）求椭圆的标准方程； （2）探究直线AB是否过定点若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由 第 7 页（共
13、24 页） 2020-2021 学年山东省临沂市高三（上）期末数学试卷学年山东省临沂市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （5 分）已知集合 1A ，2， |10Bx mx ，mR，若ABA，则所有符合 条件的实数m组成的集合是( ) A 1 ,0,1 2 B 1，0，2 C 1，2 D 1 1,0, 2 【解答】解：集合 1A ，2， |10Bx mx ，mR，ABA， BA， 当0m 时，B ，成立； 当0m 时， 1 B m ， 由BA，得 1 1 m 或 1
14、2 m ， 解得1m 或 1 2 m 所有符合条件的实数m组成的集合是 1，0， 1 2 故选：D 2 （5 分）复数z满足(3) 5 z ii，则(z ) A 13 22 i B 13 22 i C 13 22 i D 13 22 i 【解答】解：复数z满足(3) 5 z ii， 所以 2 22 55 (3)5(3)3113 3310222 iiiiii zi ii ， 所以 13 22 zi 故选：C 3 （5 分）若向量( ,2)ax，(2,3)b ，(2, 4)c ，且/ /ac，则| (ab ) A3 B11 C10 D2 3 【解答】解：根据题意，向量( ,2)ax，(2,3)b
15、，(2, 4)c ， 若/ /ac，则( 4)22x，解可得1x ， 第 8 页（共 24 页） 则( 1,2)a ，则( 3, 1)ab ， 故|9110ab， 故选：C 4 （5 分）已知数列 n a中， 3 2a ， 7 1a 若 1 n a 为等差数列，则 5 (a ) A 2 3 B 3 2 C 4 3 D 3 4 【解答】解：设等差数列 1 n a 的公差为d， 则 73 11 4d aa ，即 1 14 2 d，解得 1 8 d 则 53 11113 2 244 d aa ，解得 5 4 3 a 故选：C 5 （5 分） “ 1 ( )1 2 x ”是“21x ”的( ) A充要
16、条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 1 ( )1 2 x 等价于0 x ， 又( 2，1)(，0)， 所以“ 1 ( )1 2 x ”是“21x ”的必要不充分条件 故选：C 6 （5 分）函数 | ( ) sin ln x f x xx 的部分图象大致为( ) A 第 9 页（共 24 页） B C D 【解答】解： | ()( ) sinsin lnxln x fxf x xxxx ，即函数( )f x是奇函数，排除D， f（1） 1 0 1sin ln x ，排除A， 当1x 时，( )0f x ，判断C， 故选：B 7 （5 分）抛物线有如下
17、光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线 的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知 抛物线 2 4yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点(3,1)M射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为( ) A 71 26 12 B910 C 83 26 12 D926 【解答】解：/ /MAx轴， 1 (4A，1)， 由题意可知AB经过抛物线 2 4yx的焦点(1,0)F， 第 10 页（共 24 页） 直线AB的方程为 4 (1) 3 yx 联立方程组 2 4 4 (1) 3 yx yx ，解得(4, 4)
18、B， 111 3 44 AM， 125 42 44 AB ， 22 1526MB ABM的周长为926 故选：D 8 （5 分）函数( )g x的图象关于y轴对称，(x ，0时，( )0g x，g（2）0又 ( )(1)g xf x，则(1) ( )0 xf x的解集为( ) A(3,) B |x xR，1x C(1,) D |1x x 或 3x 【解答】解：因为函数( )g x的图象关于y轴对称， 所以( )g x为偶函数，则( 2)gg（2）0， 当(x ，0时，( )0g x，故( )g x为单调减函数， 所以当(0,)x时，( )0g x，故( )g x为单调增函数， 故当2x 或2x
19、 时，( )0g x ， 当22x 时，( )0g x ， 因为( )(1)g xf x，则( )(1)f xg x， 故不等式(1) ( )0 xf x即为(1) (1)0 xg x， 所以有 10 121 2 x xx 或 或 10 212 x x ， 解得3x 或x， 第 11 页（共 24 页） 所以(1) ( )0 xf x的解集为(3,) 故选：A 二二 多项选择题多项选择题:本题共本题共 4 小题小题,每题每题 5 分分,共共 20 分分 在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要有多项符合题目要 求求 全部选对的得全部选对的得 5 分分,部分选对的得部分选对的得
20、 3 分分,有选错的得有选错的得 0 分分 9 （5 分）某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取 了80名驾驶员进行询问调查， 将他们在某段高速公路的车速(/ )m hk分成六段：60，65)65， 70)，70，75)，75，80)，80，85)，85，90，得到如图所示的频率分布直方图下 列结论正确的是( ) A这 80 辆小型车辆车速的众数的估计值为 77.5 B在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75/m hk的概率为 0.65 C若从样本中车速在60，70)的车辆中任意抽取 2 辆，则至少有一辆车的车速在65， 70)的概率为 10 11 D若从样本
21、中车速在60，70)的车辆中任意抽取 2 辆，则车速都在65，70)内的概率 为 2 3 【解答】解：对于A：由图可知，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值 7580 77.5 2 ， 故A正确， 对于B：车速超过75/m hk的(0.060.050.02) 50.65，故B正确， 对于C：从样本中车速在60，70)的车辆有(0.010.02) 5 8012 辆， 车速在60，65)的车辆有0.01 5 804 辆，车速在65，70)的车辆有 8 辆， 中任意抽取 2 辆，车速都在60，65)的概率为 2 4 2 12 1 11 C C ， 第 12 页（共 24 页） 则至少有一辆车的车速在
22、65，70)的概率为 110 1 1111 ，故C正确， 对于D：车速都在65，70)内的概率为 2 8 2 12 14 33 C C ，故D错误 故选：ABC 10 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M在棱 1 CC上，则下列结论正确的 是( ) A直线BM与平面 11 ADD A平行 B平面 1 BMD截正方体所得的截面为三角形 C异面直线 1 AD与 11 AC所成的角为 3 D 1 |MBMD的最小值为12 【解答】 解： 对于选项A， 如图 1 所示， 因为平面 11/ / BCC B平面 11 ADD A，BM 平面 11 BCC B， 则直线BM
23、与平面 11 ADD A平行，故选项A正确； 对于选项B，如图 1 所示，平面 1 BMD截正方体所得的截面为四边形，故选项B错误； 对于选项C，如图 2 所示，异面直线 1 AD与 11 AC所成的角为 1 D AC， 故异面直线 1 AD与 11 AC所成的角为 3 ，故选项C正确； 对于选项D，如图 3 所示， 11 | |MBMDMDMD， 如图 4 所示，原问题等价于： 11 / /CCDD， 1 CC和 1 DD的距离为 1， 在 1 CC上找一点M使得M到D和 1 D两点间的距离之和最小， 只需找到 1 D关于 1 CC的对称点E， 1 |MDMD的最小值即为线段ED的长度， 故
24、 22 |125ED ，故选项D错误 故选：AC 第 13 页（共 24 页） 11 （5 分）已知圆 22 :4C xy，直线:(3)4330lm xym ，()mR则下列四个 命题正确的是( ) A直线l恒过定点( 3,3) B当0m 时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于 1 C圆C与曲线： 22 680 xyxym恰有三条公切线，则16m D当13m 时，直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA、PB其中A、B为切点， 则直线AB经过点 164 (,) 99 【 解 答 】 解 ： 对 于 直 线: ( 3)4330lmxym，()mR 整 理 得 ： (3)(343)0m xxy
25、， 故 30& 3430& x xy ，整理得 3& 3& x y ，即经过定点( 3,3)，故A正确； 对于B：当0m 时，直线l转换为3430 xy， 所以圆心(0,0)到直线3430 xy的距离 22 | 3|3 1 5 34 d ，故B错误； 对于C：圆 22 :4C xy， 圆 ： 22 680 xyxym， 当16m 时 ，： 22 68160 xyxy， 整 理 得 22 (3)(4)9xy， 所以圆心距为 22 (30)(40)5235rR， 故两圆相外切，恰有三条公切线，故C正确； 第 14 页（共 24 页） 对于D：当13m 时，直线l的方程转换为490 xy， 设点(
26、, 94 )P tt ，圆 22 :4C xy，的圆心(0,0)，半径为2r ， 以线段PC为直径的圆M的方程为：()(94)0 xt xty y， 即 22 ()940 xt xyyty ， 由于圆C的方程为： 22 4xy， 所以两圆的公共弦的方程为4940txtyy， 整理得(4)940yx ty， 所以 40& 940& yx y ，解得 16 & 9 4 & 9 x y ，即直线AB经过点 164 (,) 99 ，故D正确； 故选：ACD 12 （5 分）已知函数 3 ( ) x f xex，则以下结论正确的是( ) A( )f x在R上单调递增 B 1 2 5 ()( log 0.
27、2)()f eff ln C方程( )1f x 有实数解 D存在实数k，使得方程( )f xx k有 4 个实数解 【解答】解：因为函数 3 ( ) x f xex， 所以 322 ( )3(3) xxx f xe xe xxx e， 故函数( )f x在(, 3) 上单调递减，在( 3,) 上单调递增，故选项A错误； 因为 1 0 2 01ee ， 55 1 0.21 5 loglog ，1lnlne， 又( )f x在( 3,) 上单调递增， 所以 1 2 5 ()( log 0.2)()f eff ln ，故选项B正确； 因为(0)0f， 3 27 ( 3)1f e ， 又( )f x在
28、在( 3,) 上单调递增， 故方程( )1f x 有实数解，故选项C正确； 当0 x 时，( )f xx k成立， 第 15 页（共 24 页） 当0 x 时， 2 ( ) x f x e x x k， 设 2 ( ) x g xe x，则( )(2) x g xe x x， 故函数( )g x在(0,)上单调递增，在( 2,0)上单调递减，在(, 2) 上单调递增， 又 2 4 ( 2)g e ，作出函数( )g x的图象如图所示， 当 2 4 0 e k时， 22 e x k有 3 个实数解， 综上所述，存在实数k，使得方程( )f xx k有 4 个实数解，故选项D正确 故选：BCD 三
29、三.填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知 22 3 sin ()cos () 632 ，若(0, )，则 6 或 2 【解答】解：由 22 3 sin ()cos () 632 得 22 3 sin ()cos () 6622 ， 得 22 3 sin ()sin () 662 得 2 3 sin () 64 ，得 3 sin() 62 ， (0, )，( 66 ， 7 ) 6 ， 63 或 2 63 ， 6 或 2 故答案为： 6 或 2 14 （5 分） 25 2 12 (1)(1)x xx 的展开式中 2 x的系数
30、为 25 【解答】解： 25 2 12 (1)(1)x xx 的展开式中 2 x的系数为 12 55 225CC， 故答案为：25 15 （5 分）有六条线段，其长度分别为 2，3，4，5，6，7现任取三条，则这三条线段在 第 16 页（共 24 页） 可以构成三角形的前提下，能构成锐角三角形的概率是 3 13 【解答】解：有六条线段，其长度分别为 2，3，4，5，6，7 现任取三条，则这三条线段能构成三角形包含的基本事件有： (2，3，4)，(2，4，5)，(2，5，6)，(2，6，7)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)， (3，5，7)，(3，6，7)，(4，5，6)，(4，
31、5，7)，(4，6，7)，(5，6，7)，共 13 个， 其中能构成锐角三角形的基本事件有： (4，5，6)，(4，6，7)，(5，6，7)，共 3 个， 能构成锐角三角形的概率是 3 13 P 故答案为： 3 13 16 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，动点P在对角线 1 BD上，当3PB 时， 三棱锥PABC的外接球的体积为 9 2 【解答】解：如图， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 222 1 2222 3BD ， 又点P在对角线 1 BD上，且3PB ，P为 1 BD的中点， 连接PA，PC，则PAPBPC，P在底面ABC上的射影为三角形
32、ABC的外心， 又ABC是以ABC为直角的直角三角形，则P的射影在AC的中点G上， 可得三棱锥PABC的外接球的球心与等腰三角形PAC的外心重合， 3PAPC，2 2AC ，则 3381 cos 3233 APC ，则 2 2 sin 3 APC， 设PAC的外接圆的半径为R，则 2 2 23 2 2 3 R ，即 3 2 R 第 17 页（共 24 页） 三棱锥PABC的外接球的体积为 3 439 ( ) 322 故答案为： 9 2 四四.解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1
33、7 （10 分）正项等比数列 n a的前n项和为 n S，0 n a ，若 23 413 , 39 SS，且点( n a，) n b 在函数 3 3 logy x 的图象上 （1）求 n a， n b通项公式； （2）记 21 21 1 n nn c bb ，求 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1）由题意，设等比数列 n a的公比为(0)q q ， 则 1 2 1 4 (1) 3 13 (1) 9 aq aqq ， 化简整理，得 2 1210qq ， 解得 1 4 q （舍去） ，或 1 3 q ， 1 44 33 1 1 1 1 3 a q ， 11 11 1 ( )( ) 33
34、nn n a ，*nN， 点( n a，) n b在函数 3 3 logy x 的图象上， 33 3 loglog 3 n n b a n n，*nN （2）由（1）得， 21 21 11111 () (21)(21)2 2121 n nn c bbnnnn ， 12nn Tccc 11111111 (1)()() 2323522121nn 111111 (1) 23352121nn 11 (1) 221n 第 18 页（共 24 页） 21 n n 18 （12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若_，且ABC的 外接圆的面积为3，ABC的面积为 9 3 4 ，求ABC的
35、周长 在 1 sin2sincossin2 2 bAaACcA； 2 BC bsinasinB ；2 cos2aBcb；这三个 条件中任选一个补充在上面问题中，并加以解答 【解答】解：若选，因为 1 sin2sincossin2 2 bAaACcA， 由正弦定理可得 2 1 sinsin2sincossinsin2 2 BAACCA，可得 2 2sincossinsincossinsincosAABACCAA， 因为sin0A，可得2cossinsincossincosABACCA，即 2cossinsincossincossin()sinABCAACACB， 因为sin0B ，可得 1 co
36、s 2 A ，由(0, )A，可得 3 A ， 因为ABC的外接圆的面积为3，由正弦定理可得 3 2 3sin2 33 2 aA， 又ABC的面积为 9 3113 sin 4222 bcAbc，解得9bc ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA，可得 2222 9()3()27bcbcbcbcbc，可得 2 ()36bc，解得6bc，可得ABC的周长9abc 若选，sinsin 2 BC baB ，由正弦定理可得sinsinsinsin 2 BC BBA ， 因为sin0A，可得sinsin()cossin 2222 BCAA A ，可得cos2sincos 222 AAA ， 因为co
37、s0 2 A ，可得 1 sin 22 A ，由(0,) 22 A ，可得 26 A ，解得 3 A ， 因为ABC的外接圆的面积为3，由正弦定理可得 3 2 3sin2 33 2 aA， 又ABC的面积为 9 3113 sin 4222 bcAbc，解得9bc ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA，可得 2222 9()3()27bcbcbcbcbc，可得 2 ()36bc，解得6bc，可得ABC的周长9abc 若选，2 cos2aBcb， 由正弦定理可得2sincos2sinsinABCB， 第 19 页（共 24 页） 可得2sincos2sin()sin2sincos2coss
38、insinABABBABABB，可得 2cossinsinABB， 因为sin0B ，可得 1 cos 2 A ，由于(0, )A，可得 3 A ， 因为ABC的外接圆的面积为3，由正弦定理可得 3 2 3sin2 33 2 aA， 又ABC的面积为 9 3113 sin 4222 bcAbc，解得9bc ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA，可得 2222 9()3()27bcbcbcbcbc，可得 2 ()36bc，解得6bc，可得ABC的周长9abc 19（12 分） 如图， 四边形ABCD为直角梯形，/ /ABCD，ABBC，22ABBC，3CDBC， E为AB的中点，点F在C
39、D上，且/ /EFBC，以EF为折痕把四边形EBCF折起，使二面 角BEFD为直角，点B，C折起后的位置分别记为点G，H （1）求证：AD 平面AHF； （2）在线段HD上存在一点P，使平面PAE与平面AEG所成的二面角的余弦值为 5 5 延 长GH到点M，使HMGH，判断直线PM是否在平面PAE中，说明理由 【解答】解： （1）证明：/ /ABCD，90ABC，/ /EFBC，ABBC， EFCF，即EFHF， 又平面EGHF 面AEFD，平面EGHF面AEFDEF， HF平面AEFD，HFAD E为AB的中点，22ABBC，3CDBC，/ /ABCD，/ /EFBC， 1AEEF，2DF
40、， 2AF ，2AD ， 222 AFADDF，即AFAD 又HFAFF，AD平面AHF； （2）由（1）可知HF 平面AEFD，EFFD，HFFD，HFEF， 第 20 页（共 24 页） 如图，以F为原点建立空间直角坐标系， 则(1E，0，0)，(0D，2，0)，(0H，0，1)，(1A，1，0)，(1G，0，1)， 设HPHD，则(0P，2，1)， (0EA，1，0)，( 1EP ，2，1)， 设平面PAE的法向量为(nx，y，) z， 则 0 2(1)0 n EAy n EPxyz ，可取(1n，0，1)， 又平面AEG的法向量为(1FE ，0，0)， |cosn， 2 15 | |
41、5 (1)1 FE ，解得 1 2 或 3 2 （舍)， (0P，1， 1 ) 2 ， 1 (2n ，0，1)， 由HMGH可得( 1M ，0，1)，( 1PM ，1， 1 ) 2 0PM n，故点P在平面PAE内， 直线PM在平面PAE内 20 （12 分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户 每日健步的步数 某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况， 从正常上班的员工中随 机抽取了 2000 人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天 健步的步数均在 3 千步至 21 千步之间） 将样本数据分成3，5)，5，7)7，9)，9，11)
42、， 11，13)，13，15)，15，17)，17，19)，19，21九组，绘制成如图所示的频率分布 直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布 （1）求图中a的值； （2） 设该企业正常上班的员工健步步数 （单位： 千步） 近似服从正态分布 2 ( ,)N ， 其中 第 21 页（共 24 页） 近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算） ，取3.64，若该企业恰有 10 万人 正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数Z位于区间4.88，15.8范围内的人数； （3）现从该企业员工中随机抽取 20 人，其中有k名员工的日健步步数在 13 千步至 15 千步 内的概率为()P X k
43、，其中0k，1，2，20，当()P X k最大时，求k的值 参考数据：若随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则()0.6827P， (22 )0.9545P ，(33 )0.9973P 【解答】 解：（1） 由0 . 0 2 2 0 . 0 3 2 0 . 0 5 2 0 . 1 5 22 0 . 0 5 2 0 . 0 4 2 0 . 0 1 2 1a ， 解得0.1a ， （2）4 0.046 0.048 0.1 12 0.3 14 0.2 16 0.1 18 0.0820 0.0212.16 0.95450.6827 (4.8815.8)(2)0.8186 2 PZP 剟剟， 100
44、0000.818681860， 估计这些员中日健步步数Z位于区间4.88，15.8范围内的人数约为 81860 人 （2）设从该企业中随机抽取 20 人日健步步数在 13 千步至 15 千步内的员工有X人，则 (20,0.2)XB， 20 20 ()0.20.8P XC kkk k，0k，1，2，20， 记 20 20 1121 20 0 20 8()21 ( ) (1)0 20 84 CP X f P XC kkk kkk kk k kk ， 当( )1fk时，4.2k，则(1)()P XP Xkk 当( )1fk时，4.2k，则(1)()P XP Xkk， 第 22 页（共 24 页） 所
45、以当4k时，()P X k最大 21 （12 分）设函数 1 ( )()f xxalnx aR x （）讨论函数( )f x的单调性 （） 若( )f x有两个极值点 1 x， 2 x， 记过点 1 (A x， 1 ()f x， 2 (B x， 2 ()f x的直线斜率为k 问： 是否存在a，使得2ak？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由 【解答】解：( ) ( )I f x定义域为(0,)， 2 22 11 ( )1 axax fx xxx ， 令 2 ( )1g xxax， 2 4a， 当22a 剟时，0，( ) 0fx，故( )f x在(0,)上单调递增， 当2a 时，0，( )0
46、g x 的两根都小于零，在(0,)上，( )0fx， 故( )f x在(0,)上单调递增， 当2a 时，0，( )0g x 的两根为 2 1 4 2 aa x ， 2 2 4 2 aa x ， 当 1 0 xx时，( )0fx；当 12 xxx时，( )0fx；当 2 xx时，( )0fx； 故( )f x分别在 1 (0,)x， 2 (x，)上单调递增，在 1 (x， 2) x上单调递减 （）由( ) I知，2a 因为 12 121212 12 ( )()()() xx f xf xxxa lnxlnx x x ， 所以 1212 121212 ( )()1 1 f xf xlnxlnx a
47、 xxx xxx k， 又由( ) I知， 12 1x x 于是 12 12 2 lnxlnx a xx k， 若存在a，使得2ak，则 12 12 1 lnxlnx xx ，即 1212 lnxlnxxx， 亦即 222 2 1 20(1)xlnxx x (*) 再由( ) I知，函数 1 ( )2h ttlnt t 在(0,)上单调递增， 而 2 1x ， 第 23 页（共 24 页） 所以 22 2 1 21 12 10 xInxln x ，这与(*)式矛盾， 故不存在a，使得2ak 22 （12 分）已知(0,1)P为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的一点，焦距长为 2
48、PA、PB为椭 圆的两条动弦，其倾斜角分别为，且(0,0) 444 （1）求椭圆的标准方程； （2）探究直线AB是否过定点若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由 【解答】解： （1）由题意知，1b ，1c ，且 222 abc，所以2a ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 2 x y （2）当直线AB斜率不存在时，设为 00 ( 20)xxx ， 设A点坐标为 0 (x， 0) y，点B坐标为 0 (x， 0) y， 由于 0 0 1 tan AP AP yyy xxx ， 0 0 1 tan BP BP yyy xxx ， 2 20 0 1 2 x y， 所以 00 000 22 00
49、 000 00 11 2tantan4 tan()1 11 1tantan1 1 yy xxx yy xyx xx ， 所以tan()tan 4 ， 所以直线AB斜率不存在，不符合题意 ， 当直线AB斜率存在时，设方程为yxmk， 点A的坐标为 1 (x， 1) y，点B坐标为 2 (x， 2) y， 联立 2 2 1 2 yxm x y k ，得 222 (21)4220 xmxmkk， 22 8(21)0mk， 12 2 4 21 m xx k k ， 2 12 2 2(1) 21 m x x k ， 因为 11 11 11 tan AP AP yyyxm xxxx k ， 22 22 11 tan BP BP yyyxm xxxx k ， tantan tantan()1 41tantan ， 第 24 页（共 24 页） 所以tantan1tantan ， 所以 1212 1212 1111 1 xmxmxmxm xxxx kkkk ， 所以 22 1 212 (21)(1)(1)()(1)0 x xmxxmkkk， 所以 2 22 22 2(1)4 (21)(1)(1)(1)0 2121 mm mm k kkk kk ， 由题意得直线yxmk，不经过点(0,1)，即1m ，10m 故有 2 2 22 2(1)4 (21)(1)(1)0 2121 mm
