1、【 ;百万教育资源文库 】 2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学 试题卷（文史类） 答案解析 一、选择题 1.【答案】 C 【解析】由交集的定义得 1,3AB = . 【提示】直接利用集合的交集的求法求解即可 . 【考点】集合的运算 . 2.【答案】 A 【解析】由 “ 1x? ” 显然能推出 “ 2 2 1 0xx? ? ? ” ，故条件是充分的 ， 又由 “ 2 2 1 0xx? ? ? ” 可得2( 1) 0 1xx? ? ? ?，所以条件也是必要的 ， 故选 A 【提示】先求出方程 2 2 1 0xx? ? ? 的解，再和 1x? 比较，从而得到答案 . 【考点】充要
2、条件 . 3.【答案】 D 【解析】由 2 2 3 0 ( 3 ) ( 1 ) 0x x x x? ? ? ? ? ? ?解得 3x? 或 1x? ；故选 D 【提示】利用对数函数的真数大于 0求得函数定义域 . 【考点】函数的定义域 ，一元 二次不等式 . 4.【答案】 B 【解析】由茎叶图知，第六第七个数据均为 20，所以中位数为 20. 故选 B 【提示】根据中位数的定义进行求解即可 . 【考点】茎叶图与中位数 . 5.【答案】 B 【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为 1，高为 2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为 1；构成的一个组合体，故其体积为 221 1
3、32166? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；故选B 【提示】利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可 . 【考点】三视图 . 6.【答案】 A 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】11ta n ( ) ta n 123ta n ta n ( ) 111 ta n ( ) ta n 7123a b ab a b aa b a? ? ? ? ? ?， 故选 A 【提示】由条件利用查两角差的正切公式，求得 (ta )tan n? ? ? ? ? ?的值 . 【考点】正切差角公式 . 7.【答案】 C 【解析】由已知可得 2( 2 ) 0 2 0a a b a a
4、b? ? ? ? ?r r r r r rgg；设 a 与 b 的夹角为 ? ，则有 22 | | | | | | c o s 0a a b ? ? ?r r rg222 | | 1cos 24 | |aa? ? ? ? ?rr ，又因为 0, ?，所以 23? ? ； 故选 C 【提示】由已知向量垂直得到数量积为 0，于是得到非零向量 abrr， 的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值 . 【考点】向量的数量积运算及向量的夹角 . 8.【答案】 D 【解析】初始条件： 0s? ， 0k? ； 第 1次判断 08? ，是， 2k? ， 110 22s? ?； 第 2次判断 28? ，是， 4k?
5、， 1 1 32 4 4s? ?； 第 3次判断 48? ，是， 6k? ， 3 1 114 6 12s ? ； 第 4次判断 68? ，是， 6k? ， 11 1 2512 8 24s ? ? ； 第 5次判断 88? ，否，输出 2524s? . 【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 ks， 的值，当 8k? 时不满足条件 8k? ，退出循环，输出 s 的值为 2524 . 【考点】程序框图 . 9.【答案】 C 【解析】由题得右焦点 ( 0)Fc， （其中 2 2 2 0c a b c? ? ?， ）， 2212( 0 ) ( 0 ) bbA a A a B c C caa?
6、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ，；从而 21 bA B c a a? ? ?uuur ， ， 22 bA C c a a?uuur ， ，又因为 12AB AC ，即 22( ) ( ) 0bbc a c a c a aa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?gg，；化【 ;百万教育资源文库 】 简得 22 11bbaa? ? ?，即双曲线的渐进线的斜率为 1? ；故选 C 【提示】求得 12A A B C， ， ， ，利用 12AB AC? ，求出 ab? 即可得出双曲线的渐近线的斜率 . 【考点】双曲线的几何性质 10.【答案】 B 【解析
7、】如图，由于不等式组 202 2 020xyxyx y m? ? ? ? ? ? ?，表示的平面区域为三角形 ABC ， 且其面积等于 43 ，再注意到直线 AB ： 20xy? ? ? 与直线 BC ： 20x y m? ? ? 互相垂直，所以三角形 ABC 是直角三角形； 易知， (20)A， ， (1 1)B m m?， ， 2 4 2 233mC m?，； 从而 1 1 2 2 4= |2 2 | | 1 | | 2 2 | | |2 2 3 3ABC mS m m m ? ? ? ? ?gg，化简得： 2( 1) 4m?，解得 3m? ，或 1m? ； 检验知当 3m? 时，已知不等
8、式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以 1m? ； 故选 B 【提示】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可 . 【考点】 简单 线性规划 二、填空题 11.【答案】 2? 【解析】由于 (1 2i)i i 2 2 i? ? ? ? ? ?，故知其实部为 2? . 【提示】利用复数的运算法则化简为 iab? 的形式，然后找出实部 . 【考点】复数运算 . 12.【答案】 2 5 0xy? ? ? 【解析】由点 (1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为： 225xy?，所以该圆在点 P 处的切线方程为 1 2 5xy? ? ? ? ，即
9、 2 5 0xy? ? ? . 【提示】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点 P 处的切线的方程 . 【考点】圆的切线 . 【 ;百万教育资源文库 】 13.【答案】 4 【解析】由 3sin 2sinAB? 及正弦定理知： 32ab? ，又因为 2a? ，所以 3b? ； 由余弦定理得： 2 2 2 12 c o s 4 9 2 2 3 1 64c a b a b C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 4c? ； 【提示】由 3sin 2sinAB? 即正弦定理可得 32ab? ，由 2a? ，即可求得 b ，利用余弦定理结
10、合已知即可得解 【考点】正弦定理 ， 余弦定理 . 14.【答案】 32 【解析】由 222ab a b?两边同时加上 22ab? 得 2 2 2( ) 2( )a b a b? ? ?两边同时开方得： 222( )a b a b? ? ?（ 0a? ， 0b? ）且当且仅当 ab? 时取 “ ? ” ）； 从而有 1 3 2 ( 1 3 ) 2 9 3 2a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（当且仅当 13ab? ? ? ，即 7322ab?， 时， “ ? ”成立） . 【提示】利用柯西不等式，即可求出的最大值 . 【考点】基本不等式 . 15.【答案】 23【解析】 方程
11、 2 2 3 2 0x px p? ? ? ?有两个负根的 充要条件是21212= 4 p 4 (3 2 ) 0203 2 0px x px x p? ? ? ? ? ? ? ? ? 即2 13 p?或 2p? ；又因为 0,5p? ，所以使 方程 2 2 3 2 0x px p? ? ? ?有两个负根的 p的取值范围为 2,1 2,53? ，故所求的概率 ? ? ? ?231 5 2 25 0 3? ?. 【提示】 由一元二次方程根的分布可得 p 的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率 . 【考点】复数运算 . 三、解答题 16.【答案】（ ） 12n na ?（ ） 21nnT ?
12、 【解析】 （ ）设 na 的公差为 d ，则由已知条件得 1 22ad?，1 3 2 93 22ad?化简得【 ;百万教育资源文库 】 11 322 2a d a d? ? ? ?，解得1 11 2ad?，故通项公式 11 2n na ?，即 12n na ?. （ ）由（ ）得1 4 1 5 1 5 1182b b a ? ? ? ?，. 设 nb 的公比为 q，则 3 41 8bq b?，从而 2q? . 故 nb 的前 n 项和 1 (1 ) 1 (1 2 ) 211 1 2n n nn bqT q? ? ? ? ?. 【提示】 （ ）设等差数列 an的公差为 d ，则由已知条件列式求
13、得首项和公差，代入等差数列的通项公式可得答案 . （ ）求出1 4 1 5 1 5 1182b b a ? ? ? ?，再求出等比数列的公比，由等比数列的前 n 项和公式求得 nb 前 n 项和 nT . 【考点】数列的通项公式 ， 等比数列的前 n 项和 17.【答案】（ ）回归方程为 ? 1.2 3.6yt? （ ）该地区 2015年（ 6t? ）的人民币储蓄存款为 10.8千亿元 【解析】 （ ）列表计算如下 I it iy 2it iity 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 15 36 55 120 这里1
14、11 1 5 1 3 65 3 7 . 255nniiiin t t y ynn? ? ? ? ? ? ?， ，又 2 2 2115 5 5 3 1 0 1 2 0 5 3 7 . 2 1 2 .n y i n y i iiil t n t l t y n t y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，从而 12? ?1 . 2 7 . 2 1 . 2 3 3 . 610nynylb a y b tl? ? ? ? ? ? ? ? ?，. 故所求回归方程为 ? 1.2 3.6yt?. （ ）将 6t? 代入回归方程可预测该地区 2015年的人民币储蓄存款为 ? 1.2 6 3.6
15、 10.8y ? ? ? ?（千亿元） 【提示】 （ ）利用公式求出 ab， ，即可求 y 关于 t 的回归方程 ? ?y bt a? 【 ;百万教育资源文库 】 （ ） 6t? ，代入回归方程，即可预测该地区 2015年的人民币储蓄存款 【考点】线性回归方程 . 18.【答案】（ ） ()fx的最小正周期为 ? ，最小值为 232?.（ ） ()gx的值域是 1 3 2 3,22?【解析】 （ ） 21 1 3( ) s i n 2 3 c o s s i n 2 ( 1 c o s 2 )2 2 2f x x x x x? ? ? ? ?1 3 3 3s i n 2 c o s 2 s i
16、 n 22 2 2 3 2x x x ? ? ? ? ? ?， 因此 ()fx的最小正周期为 ? ，最小值为 232?.（ ）由条件可知： 3( ) sin32g x x ? ? ?. 当 ,2x ?时，有 ,3 6 3x ? ? ?，从而 sin 3x ?的值域为 1,12?，那么 3sin32x ?的值域为1 3 2 3,22?. 故 ()gx在区间 ,2?上的值域是 1 3 2 3,22?. 【提示】 （ ）由三角函数中的恒等变换可得 3( ) s in 232f x x? ? ?，从而可求 最小周期和最小值； （ ）由函数 sin( )y A x?的图象变换得 3( ) sin32g
17、x x? ? ?，由 2x ?，时，可得 3x? 的范围，即可求得 ()gx的值域 【考点】三角函数的性质和恒等变换 ， 正弦函数的图像及性质 . 19.【答案】 （ ） 12a? （ ）见解析 . 【解析】 （ ）对 ()fx求导得 2( ) 3 2f x ax x? ? 因为 ()fx 在 43x? 处取得极值，所以 4 03f ? ?，即 1 6 4 1 6 83 2 09 3 3 3aa ? ? ? ? ? ? ?，解得 12a? . 【 ;百万教育资源文库 】 （ ）由（ ）得， 321( ) e2 xg x x x?， 故 2 3 2 3 23 1 1 5( ) 2 e e 2 e
18、2 2 2 2x x xg x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 1 ( 1)( 4)e2 xx x x?令 ( ) 0gx? ? ，解得 0, 1 4x x x? ? ? ? ?或 . 当 4x? 时， ( ) 0gx? ? ，故 ()gx为减函数； 当 41x? ? ? 时， ( ) 0gx? ? ，故 ()gx为增函数； 当 10x? ? 时， ( ) 0gx? ? ，故 ()gx为减函数； 当 0x? 时， ( ) 0gx? ? ，故 ()gx为增函数； 综上知 ()gx 在 ( , 4)? ? 和 (-1,0)内为减函数， ( 4
