1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年 普通高等学校 招生 全国统一 考试 （重庆 卷 ） 数学 试题 卷（ 理工农医类 ）答案解析 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】 集合 1,2,3A? ， 2,3B? ，可得 AB? ， 2,3AB? ， 所以 B 是 A 的 真子集，所以 D 正确 . 【提示】 直接利用集合的运算法则求解即可 . 【考点】 子集 ， 真子集 2.【答案】 B 【解析】 在等差数列 na 中，若 2 4a? ， 4 2a? ，则4 2 6 611( ) ( 4 ) 222a a a a? ? ? ? ?，解得 6 0a? . 【提示】 直接利用等差中项求解即可 .
2、 【考点】 等差数列的性质 3.【答案】 B 【解析】 样本数据有 12 个，位于中间的两个数为 20， 20，则中位数为 20 20 202? ? . 【提示】 根据中位数的定义进行求解即可 . 【考点】 茎叶图 4.【答案】 B 【解析】 由 “ 12log ( 2) 0x?” 得 21x?，解得 1x? ，故 “ 1x? ” 是 “ 12log ( 2) 0x?” 的充分不必要条件 . 【提示】 解 “ 12log ( 2) 0x?” ，求出其充要条件，再和 1x? 比较，从而求出答案 . 【考点】 充要条件 5.【答案】 A 【解析】 由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是
3、等腰三角形，腰长为 2 ，高为 1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为 1，高为 2，所求几何体的体积为 221 1 1 1( 2 ) 1 1 2= 2 3 2 3? ? ? ? ? ? ?. 【提示】 判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可 . 【考点】 由三视图求面积 和 体积 6.【答案】 A 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 ( ) (3 2 )a b a b? ? ?， ( ) (3 2 ) 0a b a b? ? ? ?，即 223 2 0a b a b? ? ?，即 2 2 2232 3a b a b b? ?
4、 ?，22223c o s ,2| | | 223babab ab b? ? ? ? ? ?，即 cos , 4ab? ? . 【提示】 根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可 . 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 7.【答案】 C 【解析】 模拟执行程序框图， k 的值依次为 0， 2， 4， 6， 8，因此 1 1 1 112 4 6 12S ? ? ? ?（此时 6k? ），因此可填 1112S? . 【提示】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 k， S 的值，当 1112S? 时，退出循环，输出 k 的值为8，故判断框图可填入的条件是 1112S? . 【考点
5、】 循环结构 8.【答案】 C 【解析】 圆 C： 22 4 2 1 0x y x y? ? ? ? ?，即 22( 2) ( 1) 4xy? ? ? ?，表示以 (2,1)C 为圆心、半径等于 2 的圆 .由题意可得，直线 l： 10x ay? ? ? 经过圆 C 的圆心 (2,1) ，故有 2 1 0a? ? ? ， 1a? ，点 ( 4, 1)A? ， 由于 22( 4 2 ) ( 1 1 ) 2 1 0AC ? ? ? ? ? ? ?， 2CB R?， ?切线的长 22| | 4 0 4 6A B A C C B? ? ? ? ?. 【提示】 求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线 l
6、： 10x ay? ? ? 经过圆 C 的圆心 (2,1) ，求得 a 的值，可得点 A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得 |AB 的值 . 【考点】 直线与圆的位置关系 9.【答案】 C 【解析】 tan 2tan 5? ，则3 3 3 3 3 c o s c o s c o s s in s in c o s ta n s in10 1 0 1 0 1 0 1 0 s in c o s c o s s in ta n c o s s ins in5 5 5 55? ? ? ? ? ? ? ? ?sin3 3 5c o s 2 sin 3 3 3 3 3 3 1 0 1 0c o s s
7、in sinc o s 2 ta n sin c o s c o s c o s 2 sin sin5 1 0 5 1 01 0 5 1 0 5 5 1 0 5 1 0 2 ta n c o s sin sin 2 sin c o s c o s sin sin c o s sin 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 52 c o s sin 55c o s5? ? ? ? ? ? ?【 ;百万教育资源文库 】 1 3 3 3 1 c o s c o s c o sc o s s in s in c o s c o s 3 c o s 3 c o s1 0 2 5 1 0 5 1 01
8、 0 5 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 12 12 2 s in c o s s in s in s in s in5 5 2 5 2 5 1 0 2 1 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3cos10 3cos10?. 【提示】 直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可 . 【考点】 三角函数的积化和差公式 ， 三角函数的化简求值 10.【答案】 A 【解析】 由题意， ( ,0)Aa ， 2,bBca?， 2, bCca?，由双曲线的对称性知 D在 x轴上，设 (
9、 ,0)Dx ，则由 BD AC?得 2201bbaac x a c? ?， 42 ()bcx a c a? ? ? ?， D 到直线 BC 的距离小于 22a a b?， 4 222 ()bc x a a ba c a? ? ? ? ? ?， 4 2 2 22b c a ba? ? ? ?， ? 01ba?， ?双曲线的渐近线斜率的取值范围是( 1,0) (0,1)? . 【提示】 由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上，设 ( ,0)Dx ，则由 BD AC? 得 2201bbaac x a c? ?，求出 cx? ，利用 D 到直线 BC 的距离小于 22a a b?，即可得出结论 . 【
10、考点】 双曲线的简单性质 二、填空题 11.【答案】 3 【解析】 因为复数 i( , )a b a b?R 的模为 3 ，所以 2 2 2( 3) 3ab? ? ?，则 22( i)( i) 3a b a b a b? ? ? ? ?. 【提示】 将所求利用平方差公式展开得到 22ab? ，恰好为已知复数的模的平方 . 【考点】 复数代数形式的乘除运算 ， 复数求模 12.【答案】 52 【解析】 由于 53 12x x?的展开式的通项公式为 715 21512rrr rT C x ? ?T，令 715 82r?，求得 2r? ，故 展 开【 ;百万教育资源文库 】 式中 8x 的系数是 2
11、5 1542C ?. 【提示】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 8，求得 r 的值，即可求得展开式中的 8x 的系数 . 【考点】 二项式定理 13.【答案】 6 【解析】 由题意以及正弦定理可知： sin sinAB ADADB B? ，即 23sin 32ADB ? ， 45ADB?， 1 1 8 0 1 2 0 4 52 A ? ? ?，可得 30A? ，则 30C? ，三角形 ABC 是等腰三角形， 2 2 sin 6 0 6AC ?. 【提示】 利用已知条件求出 A， C，然后利用正弦定理求出 AC 即可 . 【考点】 余弦定理的应用 14.【答案】 2 【解析
12、】 设 2CE x? ， ED x? ， 过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P， ?由切割线定理可得2PA PC PD? ，即 36 3 (3 3 )x? ? ? ， 3x? ，由相交弦定理可得 9BE CE ED? ，即 9 6 3BE? ，2BE?. 【提示】 利用切割线定理计算 CE，利用相交弦定理求出 BE 即可 . 【考点】相交弦定理，切割线定理 15.【答案】 (2,) 【解析】 直线 l 的参数方程为 11xtyt? ? ?（ t 为参数），它的直角坐标方程为： 20xy? ? ? ；曲线 C 的极坐标方程为 2 3 5 c o s 2 4 0 , 44? ?
13、? ? ? ? ?，可得它的直角坐标方程为： 224xy?， 0x? ； 由22204xyxy? ? ? ?，可得 2x? ， 0y? ，交点坐标为 (2,0)? ，它的极坐标为 (2,) . 【提示】 求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化 为 极坐标即可 . 【考点】 简单曲线的极坐标方程 ， 直线的参数方程 16.【答案】 6? 或 4 【解析】 函数 ( ) | 1 | 2 | |f x x x a? ? ? ?，故当 1? 时， 3 2 1 ,( ) 2 1 , 13 2 1 , 1x a x af x x a a xx a x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14、? ? ? ?，根据它的最小值【 ;百万教育资源文库 】 为 ( ) 3 2 1 5f a a a? ? ? ? ?，求得 6a? ； 当 1a? 时， ( ) 3| 1|f x x?，它的最小值为 0，不满足条件 ； 当 1a?时， 3 2 1 , 1( ) 2 1 , 13 2 1 ,x a xf x x a x ax a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，根据它的最小值为 ( ) 1 5f a a? ? ? ，求得 4a? . 综上可得， 6a? 或 4a? . 【提示】 分类讨论 a与 1? 的大小关系，化简函数 ()fx的解析式，利用单调性求得 ()fx的最小
15、值，再根据 ()fx的最小值等于 5，求得 a 的值 . 【考点】 带绝对值的函数 三、 解答题 17.【答案】 （ ） 14 （ ） 见解析 【解析】 （ ）令 A 表示事件 “ 三种粽子各取到 1 个 ” ，则由古典概型的概率公式有 1 1 12 3 5310 1() 4C C CPA C?. （ ）随机变量 X 的取值为： 0， 1， 2， 则 38310 7( 0) 15CPX C? ? ?， 1228310 7( 1) 15CCPX C? ? ?， 2128310 1( 2 ) 15CCPX C? ? ?， 综上知， X 的分布列为 X 0 1 2 P 715 715 115 7 7
16、 1 3( ) 0 1 21 5 1 5 1 5 5EX ? ? ? ? ? ? ?个 . 【提示】 （ ）根据古典概型的概率公式进行计算即可； （ ）随机变量 X 的取值为： 0， 1， 2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望 . 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 ， 古典概型及其概率计算公式 18.【答案】 （ ） 312?（ ） ()fx在 5,6 12?上单调递增，在 52,12 3?上单调递减 【解析】 （ ）函数 2 3( ) s i n s i n 3 c o s c o s s i n ( 1 c o s 2 )22f x x x x x x x? ? ? ? ? ?【
17、 ;百万教育资源文库 】 1 3 3 3s i n 2 s i n 2 s i n 22 2 2 3 2x x x ? ? ? ? ? ?，故函数的周期为 22? ，最大值为 31 2? . （ ）当 2,63x ?时， 2 0,3x ? ? ? ，故当 02 32x ? ? ? 时，即 5,6 12x ?时， ()fx为增函数；当223x? ? ? 时，即 52,12 3x ?时， ()fx为减函数 . 【提示】 （ ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得 ()fx的最小正周期和最大值 ； （ ）根据 2 0,3x ? ? ? ，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得 ()fx在 2,63?上的单调性 . 【考点】 二倍角的余弦 ， 三角函数的周期性及其求法 ， 复合三角函数的单调性 19.【答案】 （ ） 见解析 （ ） 36【解析】 （ ）证明： PC? 平面 ABC， DE? 平面 ABC， PC DE?， 2CE? ， 2CD DE?， CDE?为等腰直角三角形， CD DE?， PC CD C? ， DE 垂直于平面 PCD 内的两条相交直线， DE?平面PCD. （ ）由（ ）知 CDE 为等腰直角三角形， 4DCE ?， 过点 D 作 DF 垂直 CE 于 F，易知 1DF FC EF? ? ?，
