1、第 1 页（共 12 页） 2020-2021 学年贵州省安顺市高一（上）期末数学试卷学年贵州省安顺市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）cos( 45 )的值是( ) A 3 2 B 2 2 C 2 2 D 3 2 2 （5 分）函数( ) 2 x f x x 的定义域是( ) A |2x x B |2x x C |2x x D |2x x 3 （5 分）已知集合(0,1)A，
2、|1By yx，xR，则A，B的关系可以是( ) AAB BAB CAB DAB 4 （5 分）某同学从家到学校需经过一处红绿灯，某天这位同学骑车上学，一路匀速行驶到 红绿灯处正好遇上红灯，停留了 90 秒，然后加速行驶至学校在这一过程中，该同学行驶 的路程s与时间t的函数图象可能是( ) A B C D 5 （5 分）半径为 3，圆心角为 2 3 的扇形的弧长为( ) A 2 B C 3 2 D2 6 （5 分） 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中 国古典小说四大名著， 某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况， 随机调查了 100 位学 生，其中阅读过西游记或三国
3、演义的学生共有 80 位，阅读过西游记的学生共 有 60 位，阅读过西游记且阅读过三国演义的学生共有 40 位，则在调查的 100 位同 学中阅读过三国演义的学生人数为( ) A60 B50 C40 D20 第 2 页（共 12 页） 7 （5 分）下列函数中，在(,) 4 2 x 上单调递增的是( ) A( )sin2f xx B( )tan 2 x f x C( )cos2f xx D( )cosf xx 8 （5 分）已知 1.2 2a ， 0.5 2b ，0.3clg，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bcba Ccab Dbca 9 （5 分）为了得到函数sin2yx，xR的
4、图象，只需把sin(2) 3 yx ，xR的图象上 所有点( ) A向左平移 3 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度 D向右平移 6 个单位长度 10 （5 分）已知函数 2 ( ) |23|f xxxm有四个不同的零点，则实数m的取值范围是( ) A0，4 B(0，4 C0，4) D(0,4) 11（5 分）ABC中，ABAC，M是BC中点，O是线段AM上任意一点， 且| | 2ABAC， 则OA OBOA OC的最小值为( ) A2 B2 C1 D1 12 （5 分）已知函数( )f x满足(cos1)cos21fxx，则( )f x的解析式为( ) A 2
5、 ( )24 ( 20)f xxxx 剟 B 2 ( )24 ()f xxx xR C( )21( 20)f xxx 剟 D( )21()f xxxR 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上. 13 （5 分）已知幂函数( ) a f xx的图象经过点 1 1 ( , ) 2 4 P，则实数a 14 （5 分）设向量(3,2),( ,2)abkk，若/ /ab，则实数k的值是 15 （5 分）若函数( )4sin()(0)f xx 对任意的x都有()() 3 f xfx ，则() 6 f
6、的 值是 16（5 分） 如果函数( )f x在区间D上是凸函数， 那么对于区间D内的任意 1 x， 2 x， n x， 都有 1212 ()()() () nn f xf xf xxxx f nn 若sinyx在区间(0, )上是凸函数，那 么在ABC中，sinsinsinABC的最大值是 第 3 页（共 12 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在直角坐标系xOy中，已知锐角和的顶点都在坐标原点，始边都与x轴非 负半轴重合，且终边与单位圆分别交于点
7、 5 (,) 13 Pm和点 3 ( , ) 5 Q n，求sin()的值 18 （12 分）已知函数 1 ( )() 21 x f xaaR （1）若函数( )f x为奇函数，求实数a的值； （2）判断( )f x的单调性，并说明理由 19 （12 分）已知向量(3, 1),(1, 2)ABAC （1）求向量AB与AC的夹角； （2）若()()ABACABAC，求实数的值 20 （12 分） 某城市有甲、 乙两家乒乓球俱乐部， 两家设备和服务都很好， 但收费方式不同， 甲家每张球台每小时 6 元；乙家按月计费，一个月中 30 小时以内（含 30 小时）每张球台 120 元，超过 30 小时的
8、部分每张球台每小时 3 元某公司准备下个月从两家中的一家租一 张球台开展活动，活动时间不少于 10 小时，也不超过 40 小时，设在甲家租一张球台开展活 动x小时的收费为( )f x元，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为( )g x元 （1）试分别写出( )f x与( )g x的解析式； （2）选择哪家比较划算？请说明理由 21（12 分） 定义行列式运算法则为： 12 1423 34 & | & aa a aa a aa ， 已知函数 2 cos&cos ( ) | 2sin&2 3 xx f x x （1）求( )f x的最小正周期； （2）若函数( )()(0) 2 g xf xmm
9、 是偶函数，求不等式( ) 0g x 的解集 22 （12 分）已知函数 2 ( )log (2)f xx， 2 ( )log (2)g xx （1）设函数( )( )( )F xf xg x，求( )F x的定义域，并判断( )F x的奇偶性； （2）若 1x ，1时， 1 (2 )( ) 2 f mxg x恒成立，求实数m的取值范围 第 4 页（共 12 页） 2020-2021 学年贵州省安顺市高一（上）期末数学试卷学年贵州省安顺市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共
10、60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）cos( 45 )的值是( ) A 3 2 B 2 2 C 2 2 D 3 2 【解答】解： 2 cos( 45 )cos45 2 故选：C 2 （5 分）函数( ) 2 x f x x 的定义域是( ) A |2x x B |2x x C |2x x D |2x x 【解答】解：由题意得：20 x ，解得：2x ， 故函数的定义域是(2,)， 故选：B 3 （5 分）已知集合(0,1)A， |1By yx，xR，则A，B的关系可以是( ) AAB BAB CAB
11、 DAB 【解答】解：集合(0,1)A， |1By yx， |xRy yR， 集合A是点集，集合B是数集， A，B的关系可以是AB 故选：D 4 （5 分）某同学从家到学校需经过一处红绿灯，某天这位同学骑车上学，一路匀速行驶到 红绿灯处正好遇上红灯，停留了 90 秒，然后加速行驶至学校在这一过程中，该同学行驶 的路程s与时间t的函数图象可能是( ) A B 第 5 页（共 12 页） C D 【解答】 解： 一开始为匀速行驶， 此时路程s与时间t是直线关系， 且为增函数， 排除C，D， 遇上红灯，停留了 90 秒，此时路程不变，为常数函数，排除A， 故选：B 5 （5 分）半径为 3，圆心角为
12、 2 3 的扇形的弧长为( ) A 2 B C 3 2 D2 【解答】解：此扇形所含的弧长 2 32 3 r 故选：D 6 （5 分） 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中 国古典小说四大名著， 某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况， 随机调查了 100 位学 生，其中阅读过西游记或三国演义的学生共有 80 位，阅读过西游记的学生共 有 60 位，阅读过西游记且阅读过三国演义的学生共有 40 位，则在调查的 100 位同 学中阅读过三国演义的学生人数为( ) A60 B50 C40 D20 【解答】解：因为阅读过西游记或三国演义的学生共有 80 位，阅读过西游记 的
13、学生共有 60 位， 所以只阅读了三国演义的学生共有806020位， 又因为阅读过西游记且阅读过三国演义的学生共有 40 位， 所以阅读过三国演义的学生共有204060位， 故选：A 7 （5 分）下列函数中，在(,) 4 2 x 上单调递增的是( ) A( )sin2f xx B( )tan 2 x f x C( )cos2f xx D( )cosf xx 【解答】解：对于A，(,) 4 2 x 时，2( 2 x ，)，( )sin2f xx是单调递减函数，不满 足题意； 第 6 页（共 12 页） 对于B，(,) 4 2 x 时，( 28 x ，) 4 ，( )tan 2 x f x 是单
14、调递增函数，满足题意； 对于C，(,) 4 2 x 时，2( 2 x ，)，( )cos2f xx是单调递减函数，不满足题意； 对于D，(,) 4 2 x 时，( )cosf xx是单调递减函数，不满足题意 故选：B 8 （5 分）已知 1.2 2a ， 0.5 2b ，0.3clg，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bcba Ccab Dbca 【解答】解： 1.20 0221a ， 0.50 221b ， 0.310clglg， a，b，c的大小关系为cab 故选：C 9 （5 分）为了得到函数sin2yx，xR的图象，只需把sin(2) 3 yx ，xR的图象上 所有点( ) A
15、向左平移 3 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度 D向右平移 6 个单位长度 【 解 答 】 解 ： 由 于 把 函 数sin2yx，xR的 图 象 向 左 平 移 6 个 单 位 ， 可 得 sin2()sin(2) 63 yxx 的图象， 故为了得到函数sin2yx，xR的图象，只需把sin(2) 3 yx ，xR的图象上所有点向 右平移 6 个单位长度即可， 故选：D 10 （5 分）已知函数 2 ( ) |23|f xxxm有四个不同的零点，则实数m的取值范围是( ) A0，4 B(0，4 C0，4) D(0,4) 【解答】解：令( )0f x 得 2
16、|23|xxm，作出 2 |23|yxx的函数图象如图所示： 第 7 页（共 12 页） ( )f x有四个零点， 2 |23|yxx 与直线ym有四个交点， 由图象可知04m 故选：D 11（5 分）ABC中，ABAC，M是BC中点，O是线段AM上任意一点， 且| | 2ABAC， 则OA OBOA OC的最小值为( ) A2 B2 C1 D1 【解答】解：因为ABC中，ABAC，| | 2ABAC， 所以ABC为等腰直角三角形，且M是BC中点， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则(0,0)A，(2,0)B，(0,2)C，(1,1)M， 又O是线段AM上任意一点， 设( , )O x x，0
17、1x剟， 所以(,),(2,),(,2)OAxx OBxx OCxx ， 故OA OBOA OC ( x ，) (2xx，)(xx ，) (xx ，2) x 2 44xx 2 1 4()1 2 x， 所以当 1 2 x 时，OA OBOA OC的最小值为1 故选：C 第 8 页（共 12 页） 12 （5 分）已知函数( )f x满足(cos1)cos21fxx，则( )f x的解析式为( ) A 2 ( )24 ( 20)f xxxx 剟 B 2 ( )24 ()f xxx xR C( )21( 20)f xxx 剟 D( )21()f xxxR 【解答】解：函数( )f x满足 2 (co
18、s1)cos212cos2fxxx ， 令cos1tx，20t 剟，则cos1xt ， 因为 2 (cos1)cos212cos2fxxx ， 所以 22 ( )2(1)224f tttt，20t 剟， 则( )f x的解析式为 2 ( )24f xxx，20 x 剟， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上. 13 （5 分）已知幂函数( ) a f xx的图象经过点 1 1 ( , ) 2 4 P，则实数a 2 【解答】解：幂函数( ) a f xx的图象经过点 1 1 (
19、, ) 2 4 P， 11 ( ) 24 a ，2a， 故答案为：2 14 （5 分）设向量(3,2),( ,2)abkk，若/ /ab，则实数k的值是 6 5 【解答】解：根据题意，向量(3,2),( ,2)abkk， 若/ /ab，则3(2)2kk，解可得 6 5 k， 故答案为： 6 5 15 （5 分）若函数( )4sin()(0)f xx 对任意的x都有()() 3 f xfx ，则() 6 f 的 第 9 页（共 12 页） 值是 4 【解答】解：函数( )4sin()(0)f xx 对任意的x都有()() 3 f xfx ， 2 ()( ) 3 f xf x ，故函数( )f x
20、的周期为 2 3 ， 故 22 3 ，3， ( )4sin(3)f xx 在()() 3 f xfx 中，令0 x ，可得()(0) 3 ff ， 即4sin()4sin，即4sin4sin，sin0， 则()4sin()4cos4 62 f 故答案为：4 16（5 分） 如果函数( )f x在区间D上是凸函数， 那么对于区间D内的任意 1 x， 2 x， n x， 都有 1212 ()()() () nn f xf xf xxxx f nn 若sinyx在区间(0, )上是凸函数，那 么在ABC中，sinsinsinABC的最大值是 3 3 2 【解答】解：sinyx在区间(0, )上是凸函
21、数，且在ABC中，A，B，(0, )C， ABC， sinsinsin3 sinsin 3332 ABCABC ， 3 3 sinsinsin 2 ABC 故答案为： 3 3 2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在直角坐标系xOy中，已知锐角和的顶点都在坐标原点，始边都与x轴非 负半轴重合，且终边与单位圆分别交于点 5 (,) 13 Pm和点 3 ( , ) 5 Q n，求sin()的值 【解答】解：锐角和的顶点都在坐标原点始边都与x轴非负半轴重合， 且
22、终边与单位圆分别交于点 5 (,) 13 Pm和点 3 ( , ) 5 Q n， 5 cos 13 ，sin0m， 可得 22 5 ()1 13 m ，解得 12 sin 13 m， 第 10 页（共 12 页） 3 sin 5 ，cos0n， 22 3 ( )1 5 n ， 4 cos 5 n， 1245333 sin()sincoscossin 13513565 18 （12 分）已知函数 1 ( )() 21 x f xaaR （1）若函数( )f x为奇函数，求实数a的值； （2）判断( )f x的单调性，并说明理由 【解答】解： （1）根据题意，函数( )f x为奇函数，则( )()
23、0f xfx， 即 1112 ()()2()210 21212121 x xxxx aaaa ， 则 1 2 a ； （2）由（1）的结论， 11 ( ) 221 x f x ，( )f x在R上为增函数， 证明：设 12 xx， 则 12 122112 12 11111122 ( )() 2221212121(21)(21) xx xxxxxx f xf x ， 又由 12 xx，则 1 210 x ， 2 210 x ， 12 220 xx ， 则 12 ()()0f xf x， 则( )f x在R上为增函数 19 （12 分）已知向量(3, 1),(1, 2)ABAC （1）求向量AB与
24、AC的夹角； （2）若()()ABACABAC，求实数的值 【解答】解： （1）向量(3, 1),(1, 2)ABAC， 这两个向量的夹角为，0， 则 322 cos 2| |915 AB AC ABAC ， 4 （2）若()()ABACABAC， 则 22 () ()(1)10(1) 550ABACABACABAB ACAC ， 2 3 第 11 页（共 12 页） 20 （12 分） 某城市有甲、 乙两家乒乓球俱乐部， 两家设备和服务都很好， 但收费方式不同， 甲家每张球台每小时 6 元；乙家按月计费，一个月中 30 小时以内（含 30 小时）每张球台 120 元，超过 30 小时的部分每
25、张球台每小时 3 元某公司准备下个月从两家中的一家租一 张球台开展活动，活动时间不少于 10 小时，也不超过 40 小时，设在甲家租一张球台开展活 动x小时的收费为( )f x元，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为( )g x元 （1）试分别写出( )f x与( )g x的解析式； （2）选择哪家比较划算？请说明理由 【解答】解： （1）由题设有( )6 (1040)f xxx剟， 120,1030 ( ) 330,3040 x g x xx 剟 ； （2）令6120 x 时，解得2010 x ，30；令6303xx，解得10(30 x ，40， 所以：当1020 x时，( )( )f x
26、g x，选甲家比较合算； 当20 x 时，( )( )f xg x，两家一样合算； 当2040 x 时，( )( )f xg x，选乙家比较合算 21（12 分） 定义行列式运算法则为： 12 1423 34 & | & aa a aa a aa ， 已知函数 2 cos&cos ( ) | 2sin&2 3 xx f x x （1）求( )f x的最小正周期； （2）若函数( )()(0) 2 g xf xmm 是偶函数，求不等式( ) 0g x 的解集 【解答】解： （1） 2 cos&cos ( ) | 2sin&2 3 xx f x x 2 2 3cos2sin cosxxx 3cos
27、2sin23xx 2 2sin(2)3 3 x ( )f x的最小正周期 2 2 T （2）函数( )()(0) 2 g xf xmm 是偶函数， 2 ( )2sin(22)3 3 g xxm 是偶函数，0 2 m ， 23 2 32 m ，0 2 m ， 5 12 m 第 12 页（共 12 页） 3 ( )2sin(2)32cos23 2 g xxx ， ( ) 0g x ，2cos23 0 x， 解得 66 x k 剟k，Zk 不等式( ) 0g x 的解集为 6 k， 6 k，Zk 22 （12 分）已知函数 2 ( )log (2)f xx， 2 ( )log (2)g xx （1）
28、设函数( )( )( )F xf xg x，求( )F x的定义域，并判断( )F x的奇偶性； （2）若 1x ，1时， 1 (2 )( ) 2 f mxg x恒成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）由 22 ( )( )( )log (2)log (2)F xf xg xxx， 可得 20 20 x x ，解得22x ， 即( )F x的定义域为( 2,2)， 由 22 ()log (2)log (2)( )FxxxF x， 可得( )F x为偶函数； （2） 1x ，1时， 1 (2 )( ) 2 f mxg x恒成立， 可得 222 1 log (22 )log (2)log2 2 mxxx对 1x ，1恒成立， 即为222mxx，即222mxx对 1x ，1恒成立， 可令2(13)txt剟，则 2 2xt， 22 133 2242() 48 m ttt ， 由 2 ( )24h ttt 在1，3递减，可得( )h t的最大值为h（1）3， 所以23m ，即1m ， 可得m的取值范围是(，1
