2020-2021学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷 一、 单项选择题： 本大题共一、 单项选择题： 本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分， 在每小题给出的四个选项中，分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1M ，2，3，2N ，3，则( ) AMN BMN CMN DNM 2 （5 分）设全集为R，函数 2 ( )1f xx的定义域为M，则 RM 为( ) A 1，1 B( 1,1) C(，1)(1，) D(，1

2、1，) 3 （5 分）已知aR，则“1a ”是“ 1 1 a ”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 4 （5 分）函数tan(2) 4 yx 的最小正周期为( ) A 4 B 2 C D2 5 （5 分）设 0.5 log0.6a ， 0.6 log1.2b ， 0.6 1.2c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bbac Cbca Dcba 6 （5 分）要得到函数sin(2) 6 yx 的图象，需要把函数sin2yx的图象( ) A向左平移 6 个单位 B向右平移 6 个单位 C向左平移 12 个单位 D向右平移 12 个单位 7 （5 分）函数

3、 3 ( )f xxx，( )3xg xx， 3 ( )logh xxx的零点分别是a，b，c，则 它们的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 8 （5 分）新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防 控难度最大的一次重大突发公共卫生事件在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： ( ) rt I te描述累计感染病例数( )I t随时间t（单位： 天） 的变化规律， 其中指数增长率0.38r ， 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的 10 倍需要的时间约为( 第 2 页（共 15 页） )( 102.30)ln A4 天 B6

4、 天 C8 天 D10 天 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分每小题给出的四个选项中，分每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列各组函数中，( )f x与( )g x是同一函数的有( ) A( )f xx，( ) lnx g xe B( ) |1|f xx， 1,1 ( ) 1,1 xx g x x x C 2 ( )f xx， 6 ( )3g xx D( )f xx， 2

5、 ( ) x g x x 10 （5 分）下列命题为真命题的是( ) A若0ab，则 22 acbc B若0ab，则 11 ab C若0ab，则 22 aabb D若0cab，则 ab cacb 11 （5 分）下列函数中满足：对定义域中任意 1 x， 2 x，都有 1212 ()() () 22 xxf xf x f 的有 ( ) A( )2xf x B( )f xlgx C 2 ( )f xx D( )f xx 12 （5 分）一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一 点P的坐标为( , )x y，它与原点的距离是r我们规定：比值 x y ， r y ， r x 分

6、别叫做角的余 切、余割、正割，分别记作cot，csc，sec，把cotyx，cscyx，secyx分别叫 做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有( ) A 5 cot1 4 Bsinsec1 Csecyx的定义域为|, 2 x xZ kk D 2222 secsincsccos5 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分 13 （5 分）命题“xR ，1 0 x ”的否定为 第 3 页（共 15 页） 14 （5 分）求值： 2 3 2548lglg 15 （ 5 分 ） 已 知是 第 三 象 限 角 ， 且 33 co

7、s() 25 时 ， 则t a n ； sin()cos() cos() 2 16 （5 分）若函数( )f x为定义在R上的偶函数，且在(0,)内是增函数，又f（2）0， 则不等式sin( )0 x f x，x ，的解集为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）从 1 2 |log (1)2Axx ， 11 |( )2 82 x Ax ， 3 |0 1 x Ax x 三 个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解 问题：已知集合_，集合 |121Bxaxa

8、剟 （1）当1a 时，求AB； （2）若ABB，求实数a的取值范围 18 （12 分）已知函数 1 ( )sin(2)1 26 f xxa （其中a为常数） （1）求( )f x的单调减区间； （2）若0, 2 x 时，( )f x的最小值为 2，求a的值 19 （12 分）已知关于x的不等式 2 120 xmx的解集为( 6, )n （1）求实数m，n的值； （2）正实数a，b满足22namb 求 11 ab 的最小值； 若2160 ab t 恒成立，求实数t的取值范围 20 （12 分）已知函数 4 ( )log (41) x f x （1）利用函数的单调性定义证明：( )f x在R上为单

9、调增函数； （2）设 1 ( )( ) 2 g xf xx，判断( )g x的奇偶性，并加以证明 21 （12 分）如图，一个水轮的半径为 4 米，水轮圆心O距离水面 2 米，已知水轮每分钟逆 时针转动 1 圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点 0) P开始计算时间 第 4 页（共 15 页） （1） 将点P距离水面的距离z（单位： 米， 在水面以下， 则z为负数） 表示为时间t（单位： 秒）的函数； （2）在水轮转动 1 圈内，有多长时间点P位于水面上方？ 22 （12 分）已知函数( )2xf x ，( )( )(|)g xf xfx （1）解不等式：(2 )(1)3fxf x； （2）当

10、 1x ， 1 2 时，求函数( )g x的值域； （3）若 1 (0,)x， 2 1x ，0，使得 112 (2)()2 ()0gxag xg x成立，求实数a的取 值范围 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 单项选择题： 本大题共一、 单项选择题： 本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分， 在每小题给出的四个选项中，分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集

11、合1M ，2，3，2N ，3，则( ) AMN BMN CMN DNM 【解答】解：因为集合1M ，2，3，2N ，3， 根据子集的定义可知，NM 故选：D 2 （5 分）设全集为R，函数 2 ( )1f xx的定义域为M，则 RM 为( ) A 1，1 B( 1,1) C(，1)(1，) D(，11，) 【解答】解：由 2 10 x，得11x 剟，即 1M ，1，又全集为R， 所以( RM ，1)(1，) 故选：C 3 （5 分）已知aR，则“1a ”是“ 1 1 a ”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 【解答】解：因为 1 1 a ，即 1 0 a a

12、，解得0a 或1a ， 故“1a ”是“ 1 1 a ”的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）函数tan(2) 4 yx 的最小正周期为( ) A 4 B 2 C D2 【解答】解：由正切函数的周期公式得： 2 T 故选：B 5 （5 分）设 0.5 log0.6a ， 0.6 log1.2b ， 0.6 1.2c ，则a，b，c的大小关系为( ) 第 6 页（共 15 页） Aabc Bbac Cbca Dcba 【解答】解： 0.50.5 0log0.6log0.51a， 0.6 log1.20b ， 0.6 1.21c ， 则a，b，c的大小关系为bac 故选：B 6 （5 分）要得

13、到函数sin(2) 6 yx 的图象，需要把函数sin2yx的图象( ) A向左平移 6 个单位 B向右平移 6 个单位 C向左平移 12 个单位 D向右平移 12 个单位 【解答】解：要得到函数sin(2)sin2() 612 yxx 的图象，需要把函数sin2yx的图象 向左平移 12 个单位， 故选：C 7 （5 分）函数 3 ( )f xxx，( )3xg xx， 3 ( )logh xxx的零点分别是a，b，c，则 它们的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 【解答】解：因为函数 3 ( )f xxx，( )3xg xx， 3 ( )logh xxx的零点分别是a

14、，b， c， 所以yx 与 3 yx，3xy ， 3 logyx的交点横坐标分别是a，b，c， 作出四个函数图象如下图： 由图可知0bac， 故选：C 8 （5 分）新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防 第 7 页（共 15 页） 控难度最大的一次重大突发公共卫生事件在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： ( ) rt I te描述累计感染病例数( )I t随时间t（单位： 天） 的变化规律， 其中指数增长率0.38r ， 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的 10 倍需要的时间约为( ) (1 02 . 3 0 )ln A4 天 B6

15、天 C8 天 D10 天 【解答】解：设所需时间为 1 t，则 1 () 10 r t trt ee ， 即 1 0.3810t e ，所以 1 0.38102.30tln， 解得 1 2.3 6 0.38 t ， 故选：B 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分每小题给出的四个选项中，分每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列各组函数中，( )f x与( )g x是同一函数的

16、有( ) A( )f xx，( ) lnx g xe B( ) |1|f xx， 1,1 ( ) 1,1 xx g x x x C 2 ( )f xx， 6 ( )3g xx D( )f xx， 2 ( ) x g x x 【解答】 解：A( )f x的定义域是R，( )g x的定义域是(0,)， 两个函数的定义域不相同， 不是同一函数， B 1,&1 ( ) 1,&1 xx f x xx ，两个函数的定义域都是R，是同一函数， C 2 ( )g xx，两个函数的定义域都是R，是同一函数， D( )g xx，(0)x ，( )f x的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数 故选：BC

17、 10 （5 分）下列命题为真命题的是( ) A若0ab，则 22 acbc B若0ab，则 11 ab 第 8 页（共 15 页） C若0ab，则 22 aabb D若0cab，则 ab cacb 【解答】解：对于A，当0c 时，命题不真，所以A错； 对于B， 11 00ababab abab 11 ba 11 ab ，所以B对； 对于C，0abaaab，abbbaaabbb，所以C错； 对于D，当0cab时，()() ab a cbb ca cacb acabbcabacbcab，所以D对 故选：BD 11 （5 分）下列函数中满足：对定义域中任意 1 x， 2 x，都有 1212 ()(

18、) () 22 xxf xf x f 的有 ( ) A( )2xf x B( )f xlgx C 2 ( )f xx D( )f xx 【解答】解：对定义域中任意 1 x， 2 x，都有 1212 ()() () 22 xxf xf x f ， ( )f x是凹函数，且( )2xf x 和 2 ( )f xx都是凹函数 故选：AC 12 （5 分）一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一 点P的坐标为( , )x y，它与原点的距离是r我们规定：比值 x y ， r y ， r x 分别叫做角的余 切、余割、正割，分别记作cot，csc，sec，把cotyx，cscyx

19、，secyx分别叫 做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有( ) A 5 cot1 4 Bsinsec1 Csecyx的定义域为|, 2 x xZ kk D 2222 secsincsccos5 【解答】解：对于 51 :cot1 5 4 tan 4 A ，故A正确； 对于 1 :sinsecsintan cos B ，故B错误； 对于 1 :sec cos C yx ，故函数的定义域为|, 2 x xZ kk，故C正确； 对于D：利用三角函数和对勾函数的性质， 第 9 页（共 15 页） 222222 22222 1114 secsincsccossincos11 5 cossin

20、sincossin 2 （当且仅当sin21)，等号成立；故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分 13 （5 分）命题“xR ，1 0 x ”的否定为 xR ，10 x 【解答】解： “特称命题”的否定一定是“全称命题” ， 命题“xR ，0 xl ”的否定是： xR ，10 x 故答案为xR ，10 x 14 （5 分）求值： 2 3 2548lglg 6 【解答】解： 2 2 3 2 548(54)46lglglg 故答案为：6 15 （ 5 分 ） 已 知是 第 三 象 限 角 ， 且 33 co

21、s() 25 时 ， 则t an 3 4 ； sin()cos() cos() 2 【解答】解：因为是第三象限角，且 33 cos()sin 25 ， 所以 3 sin 5 ， 2 4 cos1 5 sin ， 则 sin3 tan cos4 ， sin()cos()sin( cos )4 cos sin5 cos() 2 故答案为： 3 4 ， 4 5 16 （5 分）若函数( )f x为定义在R上的偶函数，且在(0,)内是增函数，又f（2）0， 则不等式sin( )0 x f x，x ，的解集为 (2，)( 2，0) 【解答】解：函数( )f x为定义在R上的偶函数，且在(0,)内是增函数

22、，又f（2）0， ( )f x在(,0)上是减函数，且( 2)0f ， 则( )f x对应的图象如图：(0)f不确定， 第 10 页（共 15 页） 当0 x 时，不等式sin( )0 x f x不成立， 则当0 x 时，不等式sin( )0 x f x等价为当x ，时， sin0 ( )0 x f x 或 sin0 ( )0 x f x ， 即 0 22 x xx 或 或 0 2002 x xx 或 ， 即2x或20 x ， 即不等式的解集为(2，)( 2，0)， 故答案为：(2，)( 2，0) 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分解答应写出文字说明、

23、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）从 1 2 |log (1)2Axx ， 11 |( )2 82 x Ax ， 3 |0 1 x Ax x 三 个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解 问题：已知集合_，集合 |121Bxaxa 剟 （1）当1a 时，求AB； （2）若ABB，求实数a的取值范围 【解答】解：若选： 因为 1 2 |log (1)2Axx ， 所以 1 2 (1)2logx ， 所以 2 11 22 1 (1)( ) 2 logxlog ， 故01 4x ，解得13x ， 第 11 页（共 15 页） 故 | 13Axx ； 若选

24、： 因为 11 |( )2 82 x Ax ， 所以 31 111 ( )( )( ) 222 x ， 所以13x ， 故 | 13Axx ； 若选： 因为 3 |0 1 x Ax x ， 所以 (3)(1) 0 10 xx x ， 解得13x ， 故 | 13Axx ； （1）当1a 时， | 23Bxx 剟，由 | 13Axx ，所以 | 13ABxx ； （2）因为ABB，所以AB， 故B ， 所以 11 21 3 1 21 a a aa ，解得1a， 故实数a的取值范围为1，) 18 （12 分）已知函数 1 ( )sin(2)1 26 f xxa （其中a为常数） （1）求( )f

25、x的单调减区间； （2）若0, 2 x 时，( )f x的最小值为 2，求a的值 【解答】解： （1）由题意，令 3 222 262 x k剟k， 解得 2 63 x k剟k，即( )f x的单调减区间为 2 , 63 kk，Zk （2）0, 2 x ，则 7 2, 666 x ， sinyx在, 6 2 上增，在 7 , 26 上减，又 1 sin 62 ， 71 sin 62 ，sin1 2 ， 第 12 页（共 15 页） 1 sin(2),1 62 x ， 13 sin(2)1 264 xaa ， 3 2 a， 又若0, 2 x 时，( )f x的最小值为 2，可得 3 2 4 a，解

26、得 5 4 a 19 （12 分）已知关于x的不等式 2 120 xmx的解集为( 6, )n （1）求实数m，n的值； （2）正实数a，b满足22namb 求 11 ab 的最小值； 若2160 ab t 恒成立，求实数t的取值范围 【解答】解： （1）由题意可得6和n是方程 2 120 xmx的两个根， 由根与系数的关系可得 6 126 mn n ，解得4m ，2n （2）由（1）可得282ab，即41ab， 111144 ()(4 )5529 bab a ab abababab ， 当且仅当 4ba ab ，即 1 2 3 ab时等号成立， 所以 11 ab 的最小值为 9 若2160

27、ab t 恒成立，即216 ab t恒成立， 因为 4 2162 2162 22 2 ababab ，当且仅当216 ab ，即 1 4 2 ab时等号成立， 所以2 2t， 即实数t的取值范围是(，2 2 20 （12 分）已知函数 4 ( )log (41) x f x （1）利用函数的单调性定义证明：( )f x在R上为单调增函数； （2）设 1 ( )( ) 2 g xf xx，判断( )g x的奇偶性，并加以证明 【解答】解： （1）证明：设任意 12 xxR， 则 1 12 2 12444 41 ( )()log (41)log (41)log () 41 x xx x f xf

28、x ， 因为 12 xx，所以 12 44 xx ，则 1 2 41 1 41 x x ， 第 13 页（共 15 页） 所以 1 2 4 41 log ()0 41 x x ，即 12 ()()f xf x， 所以函数( )f x在R上是单调递增函数； （2）因为 1 2 44444 1 ( )log (41)log (41)4log (41)2 2 x xxxx g xxloglog 44 41 loglog (22 ) 2 x xx x ，显然定义域为R，关于原点对称， 函数在R上为偶函数， 证明如下：因为 4 ()log (22 )( ) xx gxg x ， 所以函数是R上的偶函数

29、21 （12 分）如图，一个水轮的半径为 4 米，水轮圆心O距离水面 2 米，已知水轮每分钟逆 时针转动 1 圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点 0) P开始计算时间 （1） 将点P距离水面的距离z（单位： 米， 在水面以下， 则z为负数） 表示为时间t（单位： 秒）的函数； （2）在水轮转动 1 圈内，有多长时间点P位于水面上方？ 【解答】解： （1）设sin()zAxB，依题意可知z的最大值为 6，最小为2， 6 2 AB AB ，可得 4 2 A B ， OP每秒钟内所转过的角为 1 2 () 6030 ，得4sin()2 30 zt ， 当0t 时，0z ， 21 sin 42 ，

30、6 ， 函数的表达式为4sin()2 306 zt ； （2）令0z ，得 1 sin() 3062 t ， 所以 7 22 63066 t kk，Zk， 第 14 页（共 15 页） 解得：606040t kk，Zk， 又060t剟， 所以040t ，即在水轮旋转一圈内，有 40 秒时间点P位于水面上方 22 （12 分）已知函数( )2xf x ，( )( )(|)g xf xfx （1）解不等式：(2 )(1)3fxf x； （2）当 1x ， 1 2 时，求函数( )g x的值域； （3）若 1 (0,)x， 2 1x ，0，使得 112 (2)()2 ()0gxag xg x成立，求

31、实数a的取 值范围 【解答】解： （1）( )2xf x ，(2 )(1)3fxf x， 21 223 xx ，(23)(21)0 xx ， 23 x ， 2 log 3x， 不等式的解集为 2 |log 3x x （2） | | 1 ( )22 , 1, 2 xx g xx ， 当 1x ，0时 2 21 , ( )22 ,( )(22 ) 22 0 2 x xxxx x g xg xlnln ， ( )g x在 1，0上单调递减，又 5 ( 1), (0)2 2 gg， 5 ( )2, 2 g x ； 当 1 (0, 2 x时，( )2 2(2,2 2 x g x ， 综上，当 1 1,

32、2 x 时，( )g x的值域为2,2 2 （3）当 1 0 x ， 2 1x ，0时 1122 2 112 , (2 )2 2, ( )2 2 , ()22 xxxx gxg xg x ， 1 0 x， 2 1x ，0，使得 112 (2)()2 ()0gxag xg x成立， 即 112 (2)()2 ()0 max gxag xg x， 由（2）知， 2 5 () 2 max g x，则 11 (2)()50gxag x， 1111 2 2 222502 25 220 xxxx aa ， 令 1 2(1,) x x ，则1x ，不等式 5 220 xa x 恒成立， 5 22 10 x x ，当且仅当 5 2x x ，即 5 2 x 时取等号， 2 1020a，10a ， 第 15 页（共 15 页） a的取值范围为(10,)