1、【 ;百万教育资源文库 】 2014 年普通高校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类）答案解析 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】 i(1 2i) 2 i? ? ? ，其在复平面内对应的点为 (2,1) ，位于第一象限 ，故选： A. 【提示】 根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数 z 化为 i( )a b a b?R， 的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案 . 【考点】复数的基本运算，复数在复平面中的表示 2.【答案】 D 【解析】 因为在等比数列中 23n n na a a， ， ， 也成等比数列，所以 3 6 9a a a， ， 成等比数列，故选 ： D. 【提
2、示】运用等比数列的等比中项性质即可达到答案 . 【考点】等比数列的性质 3.【答案】 A 【解析】 因为变量 x 与 y 正相关，则在线性回归方程中， x 的系数应大于零，排除 B， D；将 3x? ， 3.5y?分别代入 A， B 中的方程只有 A 满足，故选 ： A. 【提示】通过 x 与 y 的关系先排除 B、 D，然后采用代入法得到答案 . 【考点】线性回归方程的概念 4.【答案】 C 【解析】 2 3 2 ( , 3 ) 3 ( 1 , 4 ) 2 3 6 )a b k k? ? ? ? ? ?( ，又 (2 3 )a b c?， (2 3) 2 ( 6 ) 0k? ? ? ? ?
3、?，解得 3k? .故选 ： C. 【提示】 根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于 0，得 到关于 k 的方程，解方程即可 . 【考点】向量的运算及关系 5.【答案】 C 【解析】 由程序框图知：程序运行的 9810 9 1kS k? ? ? ? ?， 输出的 6k? ， 9 8 7 710 9 8 10S? ? ? ? ?， 判断框的条件是 710S? ，故选： C. 【提示】 程序运行的 9810 9 1kS k? ? ? ? ?，根据输出 k 的值，确定 S 的值，从而可得判断框的条件 . 【考点】程序框图，判断语句，循环
4、语句 6.【答案】 D 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 根据指数函数的图像可知 p 为真命题 .由于 “ 1x? ” 是 “ 2x? ” 的必要不充分条件，所以 q 为假命题，所以 q? 为真命题，所以 pq? 为真命题 .故选： D. 【提示】 判定命题 p， q 的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论 . 【考点】命题的真假判断，命题连接词 7.【答案】 B 【解析】 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形，高为 5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为 3 和 4 的直角三角形，高为 3，所以表面积
5、为 1 3 5 2 5 2 5S 3 4 4 5 3 5 6 02 2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.故选： B. 【提示】 几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算 . 【考点】三视图，几何体的面积计算 8.【答案】 B 【解析】 不妨设 P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有 122PF PF a?，联立 123PF PF b?，平方 相 减 得 2212 9 4baP F P F ?， 则 由 题 设 条 件 ， 得 229 4 944ba ab? ? ， 整 理 得 43ba? ， 所以224
6、51133cbe aa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.故选： B. 【提示】可 设 P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有 122PF PF a?，联立 123PF PF b?，运算后得到 ba ， 即可得到答案 . 【考点】双曲线的 简单 性质 9.【答案】 B 【解析】 分两步进行：（ 1）先将 3 个歌舞进行全排，其排法有 33A 种；（ 2）将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有 332A 种 .若两歌舞之间有两个其他节目时插法有 1 2 22 2 2CAA种 .所以由计数原理可得节目的排法共有 3 3 1 2 23 3 2
7、2 22 1 2 0()A A C A A?（种） .故选 ： B. 【提示】 根据题意，分两步进行分析：（ 1）先将三个歌舞类节目全排列，（ 2）因为三个歌舞类节目不能相邻，则分 2 种情况讨论中间 2 个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案 . 【考点】排列组合问题 10.【答案】 A 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 因为 A B C? ? ? ，所以 A C B? ? ? ， ()C A B? ， 所以由已知等式可得 1s i n 2 s i n ( 2 ) s i n 2 ( ) 2A B A B? ? ? ? ? ?，即 1s i n
8、 2 s i n 2 s i n 2 ( ) 2A B A B? ? ? ?， 所以 1s i n ( ) ( ) s i n ( ) ( ) s i n 2 ( ) 2A B A B A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 所以 12 s i n ( )c o s ( ) 2 s i n ( ) c o s ( ) 2A B A B A B A B? ? ? ? ? ?， 所以 12 s i n ( ) c o s ( ) c o s ( ) 2A B A B A B? ? ? ? ?，所以 1sin sin sin 8ABC?. 由 12S?， 2 s i n 2 s
9、 i n 2 s i na R A b R B c R C?， ，得 11 sin 22 bc A?. 由正弦定理得 2 s i n 2 s i n 2 s i na R A b R B c R C?， ，所以 21 sin sin sin 2R A B C， 所以 2124R?，即 2 2 2R? ，所以 33( ) 8 s i n s i n s i n 8b c b c a b c R A B C R? ? ? ? ?.故选 ： A. 【提示】运用三角形内角三角函数的变换与和差化积公式求得 sin sin sin ABC， 再根据 正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可
10、得到结论 . 【考点】三角函数，三角函数和差化积公式，正弦定理 二、填空题 11.【答案】 7,9 【解析】 由题知 4,6,7,9,10U A ? ， ( ) 7,9U AB? .故答案为 ： 7,9 . 【提示】 由条件利用补集的定义求得 UA ，再根据两个集合的交集的定义求得 ()UAB . 【考点】集合的基本运算 12.【答案】 14? 【解析】2 2 22 1( ) l o g l o g ( 2 ) l o g 2 l o g ( 2 )2f x x x x x?22 2 11l o g (1 l o g ) l o g 24x x x? ? ? ? ?， 所以当 2=2x时，函数
11、 ()fx取得最小值 14? .故答案为： 14? . 【提示】 利用对数的运算性质可得 22 11( ) lo g 24f x x? ? ?，即可求得 ()fx最小值 . 【考点】对数函数，二次函数的性质 13.【答案】 4 15? 【解析】 由题意可知圆的圆心为 (1, )Ca，半径 2r? ，则圆心 C 到直线 20ax y? ? ? 的距离 22| 2 | | 2 2 |11a a ad aa? ? ?. ABC 为等边三角形， 2AB r? ? ? .又 22| | 2AB r d?， 【 ;百万教育资源文库 】 222222 2 21aa? ? ?，即 2 8 1 0aa? ? ?
12、 ，解得 =4 15a ? .故答案为： 4 15? . 【提示】 根据圆的标准方程，求出圆心和半径， 再 根据点到直线的距离公式即可得到答案 . 【考点】圆的方程，点到直线距离 14.【答案】 4 【解析】 根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得 2 ()P A P B P C P B P B B C? ? ?， 即 36 ( 9)PB PB?3PB?， 12PC?.由弦切角定理知 PAB PCA? ? ，又 APB CPA? ? ， PAB PCA? ， AB PBCA PA?，即 38 46P B C AAB PA ? ? ?.故答案为 ： 4. 【提示】通过 弦切角定理知 PAB
13、 PCA? ? ，又 APB CPA? ? ，得到 PAB PCA ， AB PBCA PA? ， 由此求得 AB. 【考点】切割线定理，弦切角定理，相似三角形 15.【答案】 5 【解析】 由题意得直线 l 的普通方程为 10xy? ? ? ，曲线 C 的平面直角坐标方程为 2 4yx? ，联立直线 l 与曲线 C 的方程，解得 12xy?， 所以直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 22(1 0 ) ( 2 0 ) 5? ? ? ? ? ?.故答案为：5 . 【提示】把 直线 l 的参数方程化为普通方程 10xy? ? ? ， 曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程 2 4yx? ，联立求
14、出公共点的坐标，即可求出极径 . 【考点】 直线的参数方程 16.【答案】 11 2a?- 【解析】 令 ( ) | 2 1 | | 2 |f x x x? ? ? ?，则 当 2x? 时， ( ) = 2 1 2 3 1 5f x x x x? ? ? ? ? ? ? ?； 当 12 2x?- 时， ( ) 2 1 2 3f x x x x? ? ? ? ? ? ? ?，故 5 ( ) 52 fx?； 【 ;百万教育资源文库 】 当 12x? 时， 5( ) 2 1 2 3 1 2f x x x x? ? ? ? ? ?. 综合 可知 5()2fx? ，要使不等式恒成立 ，则需 2 1522
15、2aa? ? ? ，解得 11 2a? ? ? .故答案为： 11 2a? ? ? . 【提示】 利用绝对值的几何意义，确定 | 2 1| | 2 |xx? ? ? 的最小值，然后让 2 1 22aa?小于等于它的最小值即可 求得 答案 . 【考点】 绝对值不等式的解法 三 、解答题 17.【答案】（） 2? 6? （） 3 3 1 5c o s28? ?【解析】（） 因 ()fx的 图像 上相邻两个最高点的距离为 ，所以 ()fx的最小正周期 T? ，从而 2 2T?. 又因 ()fx的图像关于直线 3x? 对称，所以 2232k? ? ?， 0, 1, 2,k ? ? ? .因 22? ?
16、 ? 得 0k? ，所以 2 2 3 6? ? ? ? . （）由（）得 33 s in 22 2 6 4f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以由 263? 得 0 62? ? ? ， 所以 22 1 1 5c o s 1 s i n 16 6 4 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 因此 3 c o s s i n s i n2 6 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s i n c o s c o s s i n6 6 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 3 1 5
17、1 3 1 54 2 4 2 8? ? ? ? ?. 【提示】（） 由题意可得函数 ()fx的最小正周期为 .求得 2? .再根据 图像 关于直线 3x? 对称，结合 22? ? ? 可得 ? 的值 . （） 根据 6? 的范围求得 cos 6?的值，再根据 3 c o s s i n s i n2 6 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，利用两角和的正弦公式计算求得结果 . 【考点】三角函数的性质，三角恒等变换 【 ;百万教育资源文库 】 18.【答案】（）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 334339 584CCP C?. （） X 的所有可能值为 1， 2， 3，且 2 1 34 5 439 17( 1 ) ,42C C CPX C ? ? ?1 1 1 2 1 33 4 2 3 6 339 43( 2 ) 84C C C C C CPX C? ? ?， 212739 1( 3) 12CCPX C? ? ?. 故 X 的分布列为： X 1 2 3 P 1742 4384 112 从而 1 7 4 3 1 4 7( ) 1 2 34 2 8 4 1 2 2 8EX ? ? ? ? ? ? ?. 【提示】（） 先 算 出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件
