1、【 ;百万教育资源文库 】 2014年普通高等学校招生全国统一考试（ 上海 卷） 数学 试卷 （ 文史类 ）答案 解析 一、填空题 1.【答案】 2 【解析】因为 21 2 c o s ( 2 ) c o s 4y x x? ? ? ?，所以 2T? 【提示】 由二倍角的余弦公式化简，可得其周期 . 【考点】 二倍角的余弦 ， 三角函数的周期性及其求法 2.【答案】 6 【解析】 解：复数 1 2iz? ，其中 i是虚数单位，则 1 1 5 1 6z z z zz? ? ? ? ? ?. 【提示】 把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可 . 【考点】 复数代数形式的乘除运算
2、. 3.【答案】 3 【解析】 解：常数 a?R ，函数 2( ) | 1 | | |f x x x a? ? ? ?，若 (2) 1f ? ， 21 | 2 1 | | 2 |a? ? ? ?， 4a? ，函数 2( ) | 1 | | 4 |f x x x? ? ? ?， 2(1) | 1 1 | | 1 4 | 3f ? ? ? ? ?，故答案为： 3. 【提示】 利用 2( ) | 1 | | |f x x x a? ? ? ?， (2) 1f ? ，求出 a，然后求解 (1)f 即可 . 【考点】 函数的值 . 4.【答案】 2x? 【解析】 解：由题意椭圆 22195xy?，故它的
3、右焦点坐标是 (2,0) ，又 2 2y px? 0p?()的焦点与椭圆22195xy?的右焦点重合，故 22p? 得 4p? ， 抛物线的准线方程为 22px? ? .故答案为： 2x? . 【提示】 由题设中的条件 2 2y px? 0p?()的焦点与椭圆 22195xy?的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出 p，再由抛物线的性质求出它的准线方程 . 【考点】 椭圆的简单性质 . 5.【答案】 70 【解析】 解： 高一、高二、高三分别有学生 1600名， 1200名， 800名， 若高三抽取 20名学生，设共需抽取的学生数为 x，则 201 6 0 0 1 2
4、 0 0 8 0 0 8 0 0x ? ，解得 90x? ，则高一、高二共需抽取的学生数为 90 20 70?，故答案为： 70. 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论 . 【考点】 分层抽样方法 . 6.【答案】 22 【解析】 解： 1xy? ， 1y x? 2 2 2 2222 = 2 2 2x y x xxx? ? ? ?，当且仅当 222x x?，故答案为： 22. 【提示】 由已知可得 1y x? ，代入要求的式子，由基本不等式可得 . 【考点】 基本不等式 . 7.【答案】 1arcsin3 【解析】 解：设圆锥母线与轴所成角为 ，
5、 圆锥的侧面积是底面积的 3 倍， 2 1 3rlrr?，即圆锥的母线是圆锥底面半径的 3倍，故圆锥的轴截面如下图所示： 则 1sin 13r?， 1arcsin3? ，故答案为： 1arcsin3 【提示】 由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，进而可得母线与轴所成角 . 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） . 8.【答案】 24 【解析】 解：由已知中的三视图，可知： 大长方体的长，宽，高分别为： 3， 4， 5，故大长方体的体积为： 60，切去两个小长方体后的几何体是一个以 主视图为底面，高为 3的柱体，
6、其底面面积为 4 5 2 2 2 2 12? ? ? ? ? ?，故切去两个小长方体后的几何体的体积为： 12 3 36? ，故切割掉的两个小长方体的体积之和为： 60 36 24?，故答案为： 24 【提示】 由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案 . 【考点】 由三视图求面积、体积 . 9.【答案】 ( 2,? 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 解： 0 (0)x f a?时 ， ， 由题意得： 1axx? ， 又 1122xxxx? ? ?， 2a? ，故答案为： (2?， . 【提示】 分别由 ? ?0fa? ， 1 2x x
7、?， 1axx? 综合得出 a的取值范围 . 【考点】 分段函数的应用 . 10.【答案】 512?【解析】 解： 无穷等比数列 na 的公比为 q， 1 3 4lim ( )nna a a a? ? ? ? 111(1 )lim 1nnaq a a qq? ? ? 1 111a a a qq? ? ? ， 2 10qq? ? ? ，解得 512q ? 或 512q ? （舍） . 故答案为： 512?. 【提示】 由已知条件推导出 11 1 11aa a a qq? ? ?，由此能求出 q的值 . 【考点】 极限及其运算 . 11.【答案】 (0,1) 【解析】 解： 2 13 2()f x
8、 x x?，若满足 ( ) 0fx? ，即 2 13 2xx? ， 76 01xx? ， 76yx? 是增函数， 76 1x?的解集为： (0,1) .故答案为： (0,1) . 【提示】 直接利用已知条件转化不等式求解即可 . 【考点】 指、对数不等式的解法 ， 其他不等式的解法 . 12.【答案】 73 【解析】 解： sin 3 cos 1xx?， 1 3 1sin cos2 2 2xx?即 1sin 32x?，可知 2 +36xk? ，或 52 +36xk? ， k?Z ，又 20 x? , ， 116x? ，或 2x? ， 11 76 2 3? 故答案为： 73 . 【提示】 由三角
9、函数公式可得 1sin 32x?，可知 2 +36xk? ，或 52 +36xk? ， k?Z ，结合20 x? , ，可得 x值，求和即可 . 【考点】 两角和与差的正弦函数 ， 正弦函数的图象 . 13.【答案】 115 【解析】 解：在 未来的连续 10天中随机选择 3天共有 310 120C ? 种情况，其中选择的 3天恰好为连续 3天的情况有 8种，分别是 (1,2,3) ， (234), ， (345), ， (456), ， (567), ， (678), ， (789), ， (8910), ， 【 ;百万教育资源文库 】 选择的 3天恰好为连续 3天的概率是 81120 15
10、? ，故答案为： 115 . 【提示】 要求在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率，须先求在 10天中随机选择 3天的情况，再求选择的 3天恰好为连续 3天的情况，即可得到答案 . 【考点】 古典概型及其概率计算公式 . 14.【答案】 2,3 【解析】 解：曲线 C： 24xy? ? ，是以原点为圆心， 2为半径的圆，并且 20Px ?, ，对于点 ( ,0)Am ，存在 C上的点 P和 l上的 Q使得 0AP AQ?，说明 A是 PQ的中点， Q的横坐标 6x? ， 6 2,32xpm ?.故答案为： 2,3 . 【提示】 通过曲线
11、方程判断曲线特征，通过 0AP AQ?，说明 A 是 PQ 的中点，结合 x 的范围，求出 m的范围即可 . 【考点】 直线与圆的位置关系 . 二、选择题 15.【答案】 B 【解析】 解：当 5a? ， 0b? 时，满足 4ab? ，但 2a? 且 2b? 不成立，即充分性不成立， 若 2a? 且 2b? ，则必有 4ab? ，即必要性成立，故 “ 4ab? ” 是 “ 2a? 且 2b? ” 的必要不充分条件，故选： B. 【提示】 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定 . 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 . 16.【答案】 D 【解析】 解：根据集合相等的
12、条件可知，若 22 a b a b?,，则 22aabb? ? 或 22abba? ? ，由 得 01aabb? 或或， 0ab? ， 0a? 且 0b? ，即 1a? ， 1b? ，此时集合 1, 不满足条件 . 由 得，若 2ba? ， 2ab? ，则两式相减得 22a b b a? ? ? ，即 ( )(a b) (a b)ab? ? ? ? ?， 互异的复数 a， b， 0ab? ，即 1ab? ? ，故选： D. 【提示】 根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论 . 【考点】 集合的相等 . 17.【答案】 C 【解析】 解：如图建立平面直角坐标系，则 (00)A, ， (0
13、2)B, ， 1 1(0)P, ， 2(10)P, ， 3(11)P, ， 4 2(1)P, ， 5 0(2)P , ，6 1(2)P , ， 7 2(2)P , ， (0,2)AB? ， (0,1)AP? ， 2 (0,1)AP? ， 3 (1,1)AP? ， 4 (1,2)AP? ， 5 (2,0)AP? ， 6 (2,1)AP? ， 7 (2,2)AP? ，【 ;百万教育资源文库 】 2ABAP? ， 2 2ABAP? ， 3 2ABAP? ， 4 4ABAP? ， 5 2ABAP? ， 6 2ABAP? ， 7 4ABAP? ， ( 1, 2,., 7)iAB AP i ? 的不同值的
14、个数为 3，故选 C. 【提示】 建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案 . 【考点】 平面向量数量积的运算 . 18.【答案】 B 【解析】 解： 11( , )Pab 与 2 1 1( , )Pa b 是直线 1y kx?（ k 为常数）上两个不同的点，直线 1y kx?的斜率存在， 2121bbk aa? ? ，即 12aa? ，并且 111b ka?， 221b ka?， 2 1 1 1 2 21 12 122 ka b a b a a a ak a a aa? ? ? ? ? ? ， 112211a x aa x a yy? ? ? ? ， 21bb? -
15、得： 1 2 2 1 2 1)(a b a b x b b?，即 2 2 1)(a a x b b?-. 方程组有唯一解 . 【提示】 判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出 1a ， 1b ， 2P ， 2a ， 2b 的关系，然后求解方程组的解即可 . 【考点】 一次函数的性质与图象 . 三、解答题 19.【答案】 223【解析】 依题意： 1 2 3PPP 是边长为 4的正三角形，折叠后是棱长为 2的 正四面体 ()y f x? （如图） . 设顶点 AB、 在底面 C 内的投影为 CD，连接 D ， 则 B 为 ABC 的重心， ?和 底面 CD . 3 2 3,33BO AB?2
16、84 3PO BO? ? ?， 1 2 2 .33P A B C A B CV S P O? ? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 利用侧面展开图三点共线，判断 1 2 3PPP 是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积 . 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 . 20.【答案】（ 1） ( , 1) (1 )x? ? ? ? ?， （ 2） 0a? 时， ()fx是偶函数， 1a? 时， ()fx是奇函数 【解析】 解： （ 1） 4a? ， 24() xxf x y? 442 1x yy? ? ， 2 44log 21yx y? ?， 调换 x， y的位置可得 12
17、 44( ) lo g 21xy f x x? ? ?， ( , 1) (1 )x? ? ? ? ?，. （ 2）若 ()fx为偶函数，则 ( ) ( )f x f x?对任意 x均成立， 22xxaa?，整理可得 (2 2 ) 0xxa ? ? . 22xx? 不恒为 0， 0a? ，此时 ( ) 1fx? ， x?R ，满足条件； 若 ()fx为奇函数，则 ( ) ( )f x f x?对任意 x均成立， 22xxaa?，整理可得 2 10a ? ? ， 1a? ， 0a? ， 1a? ，此时 21( ) 021xxf x x? ? ， ，满足条件； 综上所述， 0a? 时， ()fx是偶函数， 1a? 时， ()fx是奇函数 . 【提示】 （ 1）根据反函数的定义，即可求出 （ 2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出 a的值，若为奇函数，求出 a的值，
