1、【 ;百万教育资源文库 】 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 （四川卷） 理科数学答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 C 【解析】由题可知， A Z 2, 1, 0,1, 2? ? ? ，则 AZ中元素的个数为 5，故 选 C 【提示】 由 A 与 Z ，求出两集合的交集，即可做出判断 【考点】 交集及其运算 2.【答案】 A 【解析】由题可知 ， 含 4x 的项为 2 4 2 46C x i 15x? ， 选 A 【提示】 利用二项展开式的通项公式即可得到答案 【考点】 二项式系数的性质 3.【答案】 D 【解析】由题可知， y s in 2 x s in 2 x36? ?
2、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则只需把 y sin2x? 的图像向右平移 6 个单位 ， 选 D 【提示】 由条件根据函数 y Asin( x )? ? ?的图象变换规律，可得结论 【考点】 y Asin( x )? ? ?的图象变换规律 4.【答案】 D 【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1， 3， 5 分为两步：先从 1， 3， 5， 三个数中选一个作为个位数有 13C ，再将剩下的 4 个数字排列得到 44A ，则满足条件的五位数有 1434CA 72? 选 D 【提示】 用 1、 2、 3、 4、 5 组成无重复数字的五位奇数，可以看作是 填 5 个空，要
3、求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从 3 个奇数中任选 1 个填入，其它 4 个数在 4 个位置上全排列即可 【考点】 排列、组合 的实际运用 5.【答案】 B 【解析】设 x 年后该公司全年投入的研发资金为 200 万元由题可知， x130(1 12% ) 200?， 解得1 . 1 22 0 0 l g 2 l g 1 . 3x l o g 3 . 8 01 3 0 l g 1 . 1 2? ? ?，因资金需超过 200 万，则 x 取 4，即 2019 年 ， 选 B 【提示】 设第 x 年开始超过 200 万元，可得 x130(1 12% ) 200?，两边取对数即可得出 【 ;
4、百万教育资源文库 】 【考点】 等比数列的通项公式 6.【答案】 B 【解析】初始值 n3? ， x2? ，程序运行过程如下所示 v1? i2? ， v 1 2 2 4? ? ? ? i1? ， v 4 2 1 9? ? ? ? i0? ， v 9 2 0 18? ? ? ? i1? 跳出循环，输出 v 18? ， 选 B 【提示】 由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i ， v 的值，当 i1? 时，不满足条件 i0? ，跳出循环，输出 v 的值为 18 【考点】 程序框图 7.【答案】 A 【解析】如图， 22( x 1) ( y 1) 2 ,? ? ? ? 表示圆心为 (1,
5、1) ，半径为 2 的圆内区域所有点（包括边界）； y x 1y 1 xy1?, 表示 ABC 内部区域所有点（包括边界）实数 x ， y 满足 则必然满足 ，反之不成立则p 是 q 的必要不充分条件故选 A 【提示】 画出 p ， q 表示的平面区域，进而根据充要条件的 定义，可得答案 【考点】简单 线性规划的应用，必要条件，充分条件 ， 充要条件 8.【答案】 C 【解析】如图，由题可知 pF ,02?，设 P 点坐标为 200y ,y2p?显然，当 0y0? 时， OMk0? ； 0y0? 时， OMk0? ，要求 OMk 最大值，不妨设 0y0? 则 200yy1 1 1 2 pO M
6、 O F F M O F F P O F (O P O F ) O P O F ,3 3 3 3 6 p 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【 ;百万教育资源文库 】 0OM 2000y2 2 23ky 2py 2p 22py6 p 3? ? ? ?，当且仅当 220y 2p? 等号成立 ， 故选 C 第 8 题图 【提示】 由题意可得 pF ,02?，设 200yp ,y2p?，要求 OMk 的最大值，设 0y0? ，运用向量的加减运算可得200yy1 2 pO M O P O F ,3 3 6 p 3 3? ? ? ?，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值 【考点】
7、 抛物线的简单性质 9.【答案】 A 【解析】 方法一：设 1 1 1P(x,y) , 2 2 2 1 2P (x , y ) , (x x )?，易知 1x1? ， 2x1? ，1l 11k x? ，2l 21k x? ， 12xx 1?则直线 1l : 11xy 1 lnxx? ? ? ， 2l : 221y x lnx 1x? ? ?，与 y 轴的交点为 1(0,1 lnx )? ， 2(0,lnx 1)? 设 2a x 1?，则交点横坐标为 21a a?，与 y 轴的交点为 (0,lna 1)? ， (0,lna 1)? ， 则 P A B 1 2 2S2 112aaaa? ? ? ?
8、，故 PABS (0,1)? 方法二：特殊值法，若 12x x 1?，可算出 PABS1? ? ， x1? ，故 PABS1? ，排除 B， C；令1 1x 2?， 2x2? ，算出 PABS1? ， 故选 A 【提示】 设出点 1P ， 2P 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线 1l 与 2l 的斜率，由两直线垂直求得 1P ，2P 的横坐标的乘积为 1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得 A ， B 两点的纵坐标，得到 AB ，联立两直线方程求得 P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得 PAB 的面积的取值范围 【考点】 平面向量数量积的运算 10.【答案】 B 【
9、 ;百万教育资源文库 】 【解析】由题意， DA DB DC?，所以 D 到 A ， B ， C 三点的距离相等， D 是 ABC 的外心 ， D A D B D B D C D C D A 2? ? ? ? D A D B D B D C D B ( D A D C ) D B C A 0? ? ? ? ? ?， 所以 DB AC? ，同理可得， DA BC? ， DC AB? 从而 D 是 ABC 的垂心； ABC? 的外心与垂心重合，因此 ABC 是正三角形，且 D 是 ABC 的中心； 1D A D B D A D B c o s A D B D A D B 2 D A 2 32? ?
10、 ? ? ? ? ? ? ? 所以正三角形 ABC 的边长为 23； 我们以 A 为原点建立直角坐标系， B ， C ， D 三点坐标分别为 B(3, 3)? ， C(3, 3) ， ? ?D2,0 由 AP 1? ，设 P 点的坐标为 (cos ,sin )?，其中 0,2)? ，而 PM MC? ，即 M 是 PC 的中点，可以写出 M的坐标为 3 c o s 3 s inM,22? ? ? ?则 222 3 7 1 2 s inc o s 3 3 3 s in 3 7 1 2 4 96BM2 2 4 4 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当 23? 时， 2BM 取得最大值
11、 494 故选 B 第 10 题图 【提示】 由 DA DB DC?，可得 D 为 ABC 的外心，又 D A D B D B D C D C D A 2? ? ? ?，可得 D 为ABC 的垂心，则 D 为 ABC 的中心，即 ABC 为正三角形运用向量的数量积定义可得 ABC 的边长，以 A 为坐标原点， AD 所在直线为 X 轴建立直角坐标系 XOY ，求得 B ， C 的坐标，再 设 P 点的坐标为(cos ,sin )?， 0,2)? ，由中点坐标公式可得 M 的坐标，运用两点的距离公式可得 BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值 【 ;百万教育资
12、源文库 】 【考点】 向量的定义和性质，模的最值 第 卷 二、填空题 11.【答案】 22【解析】由题可知， 22 2c o s s in c o s8 8 4 2? ? ?（二倍角公式） 【提示】 把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值 【考点】 二倍角的余弦 12.【答案】 32 【解析】由题可知，在一次试验中，试验成功（即至少有一枚硬币正面向上）的概率为 1 1 3P1 2 2 4? ? ? ? 2 次独立试验成功次数 X 满足二项分布 3X B 2,4?，则 33E(X) 2 42? ? ? 【提示】 由对立事件概率计算公式求出这次试验
13、成功的概率 ， 从而得到在 2 次试验中成功次数 3X B 2,4?，由此能求出在 2 次试验中成功次数 X 的均值 E(X) 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 13.【答案】 33【解析】由题可知， 三棱锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形，由正视图可得如下俯视图，且三棱锥高为 h1? ，则体积 1 1 1 3V S h 2 3 1 13 3 2 3? ? ? ? ? ? ?【提示】 由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为 23，高为 1，棱锥的高为 1，进【 ;百万教育资源文库 】 而得到答案 【考点】由 三视图求面积 ， 体积 14.【答案】 2? 【解析】首先， ?
14、fx是周期为 2 的函数，所以 f(x) f(x 2)?； 而 ?fx是奇函数，所以 f(x) f( x)? ? ，所以： f(1) f( 1)? ， ? ? ? ?f 1 f 1? ? ，即 ?f 1 0? 又 5 1 1f f f2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1012?时， 121f 4 22?故 5f22? ?， 从而 5f f (1) 22? ? ? ?【提示】 根据 ?fx是周期为 2 的奇函数即可得到 5 1 1f f f2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，利用当 0
15、 x?时， xf(x) 4? ，求出 5f22? ?，再求出 f(1) ，即可求得答案 【考点】 函数奇偶性的性质 15.【答案】 【解析】 设 A 的坐标 (x,y) ，伴随点2 2 2 2yxA,x y x y? ?， A? 的伴随点 横坐标为222 2 2 2xxy xyxx y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，同理可得纵坐标为 y? 故 A ( x, y)? ? ? 错误； 设单位圆上的点 P 的坐标为 (cos ,sin )?，则 P 的伴随点的坐标为 P ( s i n , c o s ) c o s , s i n22? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
16、? ? ? ? ? ? ? ?，所以 P? 也在单位圆上， 即： P? 点是 P 点延顺时针方向旋转 2 正确； 设曲线 C 上点 A 的坐标 (x,y) ，其关于 x 轴对称的点 1A (x, y)?也在曲线 C 上 ， 所以点 A 的伴随点2 2 2 2yxA,x y x y? ?，点 1A 的伴随点1 2 2 2 2yxA,x y x y? ? ?， A? 与 1A? 关于 y 轴对称 正确； 反例：例如 y1? 这条直线，则 A (0,1)? ， B (1,1)? ， C (2,1)? ，而这三个点的伴随点分别是 A (1,0)? ，【 ;百万教育资源文库 】 11B,22?， 12C
17、,55?，而这三个点不在同一直线上 ， 下面给出严格证明： 设点 P(x,y) 在直线 l ： Ax By C 0? ? ? ， P 点的伴随点为 00P (x ,y )? ，则0 220 22yxxyxyxy? ? ? ?，解得0220002200yxxyxyxy? ? ? ? 带入直线方程可知： 002 2 2 20 0 0 0yxA B C 0x y x y? ? ? ?，化简得： 220 0 0 0A y B x C ( x y ) 0? ? ? ? ?，当 C0? 时，2200C(x y )? 是一个常数， P? 的轨迹是一条直线； 当 C0? 时， 2200C(x y )? 不是一个常数， P? 的轨迹不是一条直线 所以，直线 “ 伴随曲线 ” 不一定是一条直线 错误 【提示】 利用新定义，对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论
