1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷 ) 理科 数学答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】 集合 | ( 1)( 2 ) 0A x x x? ? ? ?，集合 B=x|1 x 3， 集合 | 1 2A x x? ? ? ? ， A B=x| 1 x 3，故选： A 【提示】 求解不等式得出集合 | 1 2A x x? ? ? ?，根据集合的并集可求解答案 【考点】 并集及其运算 2.【答案】 C 【解析】 i 是虚数单位，则复数 3 2i i? ， 4i 2 1 2 1 ii i i? ? ? ?，故选 ： C 【提示】 通分得出 4
2、i2i? ，利用 i 的性质运算即可 【考点】 复数代数形式的乘除运算 3.【答案】 D 【解析】 解：模拟执行程序框图，可得 1k? ， 2k? 不满足条件 4k? ， 3k? 不满足条件 4k? ， 4k? 不满足条件 4k? ， 5k? 满足条件 4k? ， 5 1sin 62S ?，输出 S 的值为 12 故选： D 【提示】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 k 的值，当 5k? 时满足条件 4k? ，计算并输出 S的值为 12 【考点】 程序框图 4.【答案】 A 【解析】 解： c o s 2 s in 22y x x? ? ? ?，是奇函数，函数的周期为： ，满足题意，
3、所以 A 正确 s in 2 c o s 22y x x? ? ?，函数是偶函数，周期为： ，不满足题意，所以 B 不正确； 【 ;百万教育资源文库 】 s i n 2 c o s 2 2 s i n 2 4y x x x? ? ? ?，函数是非奇非偶函数，周期为 ，所以 C 不正确； s in c o s 2 s in 4y x x x? ? ? ?，函数是非奇非偶函数，周期为 2 ，所以 D 不正确； 故选： A 【提示】 求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可 【考点】 两角和与差的正弦函数 ， 三角函数的周期性及其求法 5.【答案】 D 【解析】 解：双曲线 22 13yx ? ?
4、 的右焦点（ 2， 0），渐近线方程为 3yx? ，过双曲线 22 13yx ? ? 的右焦点且与 x 轴垂直的直线， 2x? ，可得 23Ay ? ， 23By ? ， | | 4 3AB? 故选： D 【提示】 求出双曲线的渐近线方程，求出 AB 的方程，得到 AB 坐标，即可求解 |AB 【考点】 双曲线的简单性质 6.【答案】 B 【解析】 解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、 5 其中 1 个，末位数字为 0、 2、 4 中其中 1个； 分两种情况讨论： 首位数字为 5 时，末位数字有 3 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 34 2
5、4A ?种情况，此时有 3 24 72?个， 首位数字为 4 时，末位数字有 2 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 34 24A ?种情况，此时有 2 24 48?个，共有 72 48 120? 个 故选： B 【提示】 根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、 5 其中 1 个，末位数字为 0、 2、 4 中其中 1 个；进而对首位数字分 2 种情况讨论， 首位数字为 5 时， 首位数字为 4 时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案 【考点】 排列、组合及简单计数
6、问题 7.【答案】 C 【解析】 解： 四边形 ABCD 为平行四边形，点 M 、 N 满足 3BM MC? ， 2DN NC? ， 根据图形可得：【 ;百万教育资源文库 】 3344A M A B B C A B A D? ? ? ?， 2233A N A D D C A D A B? ? ? ?， NM AM AN?， 2()A M N M A M A M A N A M A M A N? ? ? ?， 2 2 2392 1 6A M A B A B A D A D? ? ?， 222 3 33 4 2A M A N A B A D A B A D? ? ?， | | 6AB? ， | |
7、 4AD? ， 2213 1 2 3 93 1 6A M N M A B A D? ? ? ? ? 故选； C 【提示】 根据图形得出 3344A M A B B C A B A D? ? ? ?， 2233A N A D D C A D A B? ? ? ?， 2()A M N M A M A M A N A M A M A N? ? ? ?，结合向量结合向量的数量积求解即可 【考点】 平面向量数量积的运算 8.【答案】 B 【解析】 解： A 、 B 都是不等于 1 的正数， 3 3 3ab?， 1ab?， log 3 log 3ab? ， 3311log logab? ，即 lg lg
8、0lg lgbaab? ? ， lg lg 0lgalgb 0ba? ? 或 lg lg 0lgalgb 0ba? ? 求解得出： 1ab?,10ab? ? ? 或 1b? ， 01a? 根据充分必要条件定义得出： “ 3 3 3ab?” 是 “ log 3 log 3ab? ” 的充分不必要条件，故选： B 【提示】 求解 3 3 3ab?，得出 1ab?， log 3 log 3ab? ， lg lg 0lgalgb 0ba? ?或 lg lg 0lgalgb 0ba? ?根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 9.【答案
9、】 B 【解析】 解： 函数 21( ) ( 2 ) ( 8 ) 1 ( 0 , 0 )2f x m x n x m n? ? ? ? ? ? ?在区间 1,22?上单调递减， 2m? ， 8n? 对称轴 82nx m? ? ， 20822mnm?即 22 12 0mmn? ? ? ?【 ;百万教育资源文库 】 208122mnm?即 22 18 0mnm? ? ? ?设 22 12 0xxy? ? ? ?, 22 18 0xyx? ? ? ?或 28xy? 设 ky x? ，2ky x?，当切点为 00()xy, ， k 取最大值 20 2kx? ?， 202kx? ， 002 12yx?
10、， 200002 2xyxx?，可得 0 3x? ， 0 6y? ， 32x? k 的最大值为 3 6 18? 2012kx?， 1 02000 12xyxx?， 002 18 0yx?，解得： 0 9x? ，0 92y? 0 2x? 不符合题意 2m? ， 8n? ， 16k mn? 综合得出： 3m? ， 6n? 时 k 最大值 18k mn?，故选； B 【提示】 根据二次函数的单调性得出 2m? ， 8n? 对称轴 82nx m? ? ， 20822mnm? 208122mnm? 构造函数 22 12 0xxy? ? ? ?或 22 18 0xyx? ? ? ?或 28xy?运用导数，
11、结合线性规划求解最大值 【考点】 二次函数的性质 【 ;百万教育资源文库 】 10.【答案】 D 【解析】 解：设 11()Ax y, ， 22()Bx y, ， 00()Mx y, ，则斜率存在时，设斜率为 k ，则 2114yx? ， 2224yx? ，利用点差法可得 0 2ky? ，因为直线与圆相切，所以 0015yxk? ，所以 0 3x? ，即 M 的轨迹是直线 3x? ，代入抛物线方程可得 23y? ，所以交点与圆心 (50), 的距离为 4，所以 24r? 时，直线 l 有 2 条； 斜率不存在时，直线 l 有 2 条； 所以直线 l 恰有 4 条， 24r? ，故选： D 【提
12、示】 先确定 M 的轨迹是直线 3x? ，代入抛物线方程可得 23y? ，所以交点与圆心 (50), 的距离 为 4，即可得出结论 【考点】 抛物线的简单性质 ， 直线与圆的位置关系 第 卷 二、填空题 11.【答案】 40? 【解析】 解：根据所给的二项式写出展开式的通项， 515(2 ) ( 1)r r rrT C x ? ?； 要求 2x 的项的系数， 52r? ， 3r? ， 2x 的项的系数是 2 3 35()2 1 40C ? 故答案为： 40? 【提示】 根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 1r? 项，整理成最简形式，令 x 的指数为 2求得 r ，再代入系数求出结
13、果 【考点】 二项式定理的应用 12.【答案】 62【解析】 解： 6s i n 1 5 s i n 7 5 s i n 1 5 c o s 1 5 2 ( s i n 1 5 c o s 4 5 c o s 1 5 s i n 4 5 ) 2 s i n 6 02? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为： 62 【提示】 利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可 【考点】 两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值 13.【答案】 24 【解析】 解：由题意可得， 0x? 时， 192y? ； 22x? 时， 48y? 代入函数 ekx by ? ，可得 e
14、 192b? ， 22e 48kb? ? ， 【 ;百万教育资源文库 】 即有 11 1e 2k? ， e 192b? ，则当 33x? 时， 33 1e 1 9 2 2 48kby ? ? ? ? 故答案为： 24 【提示】 由题意可得， 0x? 时， 192y? ； 22x? 时， 48y? 代入函数 ekx by ? ，解方程，可得 k ， b ，再由 33x? ，代入即可得到结论 【考点】 函数与方程的综合运用 14.【答案】 25 【解析】 解：根据已知条件， AB ， AD ， AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为 x ， y ， z 轴，建立如图所示空间直接坐标系，设 2AB?
15、 ，则： (000)A , ， (100)E, ， (210)F , ； M 在线段 PQ 上，设 (0, ,2)My， 02y?； ( 1, ,2)EM y? ， (2,1,0)AF? ； 22c o s | c o s , 55yE M A F y? ? ?； 22244cos = 5(y 5)yy? ?，设 22445(y 5)yyt ? ?，整理得： 2(5 1) 4 2 5 4 0t y y t? ? ? ? ? ，将该式看成关于 y 的方程； （ 1）若 15t? ，则 14y? ，不符合 02y?，即这种情况不存在； （ 2）若 15t? ， 便是关于 y 的一元二次方程，该方程
16、有解； 1 6 4 ( 5 1 ) ( 2 5 4 ) 0tt? ? ? ? ? ； 解得 40 25t? ； t 的最大值为 425 ； 2cos? 的最大值为 425 ， cos? 最大值为 25 故答案为： 25 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 首先以 AB ， AD ， AQ 三直线为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为 2， (0 2)My, ，从而可求出向量 EM ， AF 的坐标，由 co s co s ,EM AF? ? 得到 22244cos 5( 5)yyy? ? ?，可设 22445( 5)yyt y? ?，可整理成关于 y 的方程，根据方
17、程有解即可求出 t 的最大值，从而求 出 cos? 的最大值 【考点】 异面直线及其所成的角 15.【答案】 【解析】 解：对于 ，由于 21? ，由指数函数的单调性可得 ()fx在 R 上递增，即有 0m? ，则 正确； 对于 ，由二次函数的单调性可得 ()gx在 , 2a?递减，在 2a?,递减，则 0n? 不恒成立，则 错误； 对于 ，由 mn? ，可得 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x? ? ?，考查函数 2( ) 2xh x x ax? ? ?， ( ) 2 2 ln 2xh x x a? ? ? ? ，当 a? ， ()hx? 小于 0， ()hx 单调递减，则 错误； 对于 ，由 mn? ，可得 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()f x f x g x g x? ? ? ?，考查函数 2( 2h x x a? ? ?，( ) 2 2 ln 2xh x x a? ? ? ? ，对于任意的 a ， ()hx? 不恒大于 0
