1、第十七章第十七章 一元二次方程一元二次方程 17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 一、教学目标一、教学目标 1理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二 次方程根的情况. 2通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思 想，提高观察、分析、归纳的能力 二、二、教学重点教学重点及难点及难点 重点：用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等. 难点： 弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况； 突破难点的关键在于结合平方 根的性质理解求根公式. 三、教学用具三、教学用具 多媒体课件 四、相关
2、资料四、相关资料 微课 五、五、教学过程教学过程 【情景【情景引入引入】 1.先用公式法解下列方程： (1)x2+44x (2)x2+2x3 (3)x2x20 然后回答下列问题：你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？ (待学生做完后，教师点评.(1)x1 = x2 = 2 ；(2)x1 = 1 ，x2 = -3 ；(3)无实数根.) 2.发现问题 观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？ (学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中(1)有两个相等的实数根，(2)有两个不 相等的实数根，(3)没有实数根) 3.提出问题 教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提
3、出下列问题： 一般的，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相 等的实数根？它何时没有实数根？(板书课题，出示学习目标) 【探究新知】【探究新知】 1.一元二次方程的根的判别式 活动活动 1：学生自学，初步感悟：学生自学，初步感悟 请学生带着下面的问题，自学第 44 页例题，并注意分类讨论的思想方法的使用. 一般的，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)， 它何时有两个相等的实数根？ 何时有两个不相等的实数根？ 何时没有实数根？ 为什么说方程根的情况是由 b2-4ac 决定的？ 教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备. 活动活动
4、2：合作交流，深入探究：合作交流，深入探究 请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进 行交流，关键让学生讲清每个结论的理由. 活动活动 3：师生合作，归纳提升：师生合作，归纳提升 由上面的讨论可见，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的情况由 b2-4ac 来决定.因此，我 们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式.通常用符号“”(希腊字母) 来表示，读做“得尔塔”，即 =b2-4ac. 2.一元二次方程的根的判别方法 思考：你能说出一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的情况具体有哪几种，又是如何
5、判别的 吗？ 学生思考，师生共同得出： 结论 1 一般的，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 当 0 时，有两个不相等的实数根； 当 0 时，有两个相等的实数根； 当 0 时，没有实数根. 这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式的值，就可以由 它的符号直接判别方程根的情况. 活动活动 4：应用迁移，发展能力：应用迁移，发展能力 例：不解方程，判别下列方程的根的情况 (1)3x2x1=3x (2)5(x21)=7x (3)x24x=4 本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第(1)小题的解法，教师板书，以进一 步明确思路，强调解题方法及格
6、式. 请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤： 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 =b2-4ac 是针对一般形式而言的， 所以， 不解 方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为： 一化(将一元二次方程化为一般形式)； 二算(确定 a、b、c 的值，算出 的值)； 三判断(根据结论 1 判别方程根的情况). (2)、(3)小题由学生完成，教师巡视.待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题 结果，教师及时点评. 【新知运用】【新知运用】 【类型一】 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 例例 1 已知一元二次方程 x2x1，下列判断正确的
7、是( ) A该方程有两个相等的实数根 B该方程有两个不相等的实数根 C该方程无实数根 D该方程根的情况不确定 解析：解析：原方程变形为 x2x10.b24ac141(1)50，该方程有两个不 相等的实数根故选 B. 方法总结：方法总结： 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 时，要先把方程转化为一般形式 ax2bxc0(a0)当 b24ac0 时，方程有两个不相 等的实数根；当 b24ac0 时，方程有两个相等的实数根；当 b24ac0 时，方程无实数 根 【类型二】 根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围 例例 2 若关于 x 的一元二次方程 kx22
8、x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk0，同时要求二次项系数 不为 0，即 （2）24 k （1）0， k0， 解得 k1 且 k0.故选 B. 易错提醒：易错提醒：利用 b24ac 判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于 0 这 一条件，本题容易误选 A. 【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合 例例 3 已知 a，b，c 分别是ABC 的三边长，求证：关于 x 的方程 b2x2(b2c2a2)xc20 没有实数根 解析：解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式 c，acb，bca. 证明：证明
9、：b 为三角形一边的长，b0，b20，b2x2(b2c2a2)xc20 是关于 x 的 一元二次方程(b2c2a2)24b2c2(b2c2a22bc)(b2c2a22bc)(bc)2 a2(bc)2a2(bca)(bca)(bca)(bca)(abc)(bc)a(ab)cb (ac)a，b，c 是三角形三条边的长，a0，b0，c0，且 abc0，abc，b ca，acb.(bc)a0，(ab)c0，b(ac)0，(abc)(bc)a(ab) cb(ac)0，即 0， 解得 m1 4. m 为非负整数，m0. 而当 m0 时，原方程 m2x2(2m1)x10 是一元一次方程，只有一个实数根，与假
10、 设矛盾 不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根 易错提醒：易错提醒：在求出 m0 后，常常会草率地认为 m0 就是满足条件的非负整数，而忽略了 二次项系数不为 0 的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面 【随堂检测】【随堂检测】 1一元二次方程 x2x20 的根的情况是(A) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 2对于任意实数 k，关于 x 的方程 x22(k1)xk22k10 的根的情况是(C) A有两个相等的实数根 B没有实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 3 若关于x的方程x2(1m)xm 2 4 0有两个不相等的实数根
11、， 则m的最大整数值为_0_. 4若一元二次方程 x22xm0 总有实数 根，则 m 应满足_m1_ 六、六、课堂小结课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ (1)一元二次方程根的判别式的意义； (2)由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况： 当 0 时，有两个不相等的实数根； 当 0 时，有两个相等的实数根； 当 0 时，没有实数根. 设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的 重点知识。重点知识。 七、板书设计七、板书设计 17.3 一元二次方程根的判别式 (1)b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式.通常用符号“”(希腊字母)来 表示，即 =b2-4ac. (2)由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况： 当 0 时，有两个不相等的实数根； 当 0 时，有两个相等的实数根； 当 0 时，没有实数根.
