1、第十七章第十七章 一元二次方程一元二次方程 17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 一、教学目标一、教学目标 1掌握一元二次方程的根与系数的关系. 2会利用根与系数的关系解决有关的问题 二、教学重点及难点二、教学重点及难点 重点：根与系数的关系的推导、运用 难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系 三、教学用具三、教学用具 多媒体课件 四、相关资料四、相关资料 动画，知识卡片 五、教学过程五、教学过程 【情景引入】【情景引入】 解下列方程， 将得到的解填入下面的表格中， 你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有 什么联系？ (1)x22x0； (2)x23x40；
2、(3)x25x60. 方程 x1 x2 x1x2 x1 x2 x22x0 x23x40 x25x60 【探究新知】【探究新知】 根与系数关系： （1）关于 x 的方程 22 0(40)xpxqpqpq、 为常数，的两根 1 x， 2 x与系数 p，q 的关系是： 12 xxp ， 12 x xq。 2222 12 22 44(4)4 2244 bbacbbacbbacacc xx aaaaa 引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。 并思考： 如果一元二次方程二次项的系数不 为 1，根与系数之间又有怎样的关系呢？ （2）形如 2 0(0)axbxca的方程，如果 2 40bac，两根为 1
3、x， 2 x，引导学生 利用上面的结论猜想 1 x， 2 x与各项系数 a、b、c 之间有何关系。 然后教师归纳， 可以先将方程转化为二次项系数为 1 的一元二次方程， 再利用上面的结论来 研究，即：对于方程 2 0(0)axbxca 0a ， 2 0 bc xx aa 12 b xx a ， 12 c x x a 对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。 证明： 2 0(0)axbxca，当 2 40bac时根为： 2 4 2 bbac x a 设 2 1 4 2 bbac x a ， 2 2 4 2 bbac x a ，则 22 12 442 222 bbacbba
4、cbb xx aaaa 学生思考、归纳并回答下列问题： （1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？ （2）运用根与系数的关系要注意些什么？ 教师归纳总结： （1）对于 2 0(0)axbxca的方程，若 2 40bac，两根为 1 x， 2 x. 那么 12 b xx a ， 12 c xx a . （2）根与系数关系使用的前提是： 是一元二次方程，即0a . 方程为一般形式。即形如： 2 0axbxc. 判别式大于等于零，即 2 40bac. 【新知运用】【新知运用】 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值 例例 1 利用根与系数的关系，求方程 3x26x10 的两根之
5、和、两根之积 分分析：析：由一元二次方程根与系数的关系可求得 解：解：这里 a3，b6，c1. b24ac624 3 (1)3612480， 方程有两个不相等的实数根 设方程的两个实数根是 x1，x2， 那么 x1x22，x1 x21 3. 方法总结方法总结：如果方程 ax2bxc0(a0)，b24ac0，有两个实数根 x1，x2，那么 x1 x2b a，x1x2 c a. 【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根 例例 2 已知方程 5x2kx60 的一个根为 2，求它的另一个根及 k 的值 分分析：析：由方程 5x2kx60 可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出
6、方程 另一个根，然后根据两根之和求出 k 的值 解：解：设方程的另一个根是 x1，则 2x16 5， x13 5.又x12 k 5， 3 52 k 5，k7. 方法总结：方法总结：对于一元二次方程 ax2bxc0(a0，b24ac0)，当已知二次项系数和常数项 时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和 【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用 例例 3 已知 、 是关于 x 的一元二次方程 x2(2m3)xm20 的两个不相等的实数根，且 满足1 1 1，求 m 的值 分分析：析：利用韦达定理表示出 ，再由1 1 1 建立方程，求 m 的值 解：解：、
7、是方程的两个不相等的实数根， (2m3)，m2. 又1 1 （2m3） m2 1， 化简整理，得 m22m30. 解得 m3 或 m1. 当 m1 时，方程为 x2x10， 此时 1240，方程无解， m1 应舍去 当 m3 时，方程为 x29x90， 此时 924 90， 方程有两个不相等的实数根 综上所述，m3. 易错提醒：易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母 m 的值，但一定要代入判别式验算，字母 m 的 取值必须使判别式大于 0，这一点很容易被忽略 【随堂检测】【随堂检测】 1.已知方程 2 290 xkx的两根互为相反数，求k的值。 2.已知关于x的方程 2 30 xxm的一个根是
8、另一个根的2倍，求m的值。 3.备选题：关于x的方程 22 (21)+20 xkxk两实数根的平方和等于13，求k的值。 答案：1.k=0;2.m=2;3.k=2 六、课堂小结六、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1.对于 2 0(0)axbxca的方程，若 2 40bac，两根为 1 x， 2 x. 那么 12 b xx a ， 12 c xx a . 2.根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程，即0a . （2）方程为一般形式。即形如： 2 0axbxc. （3）判别式大于等于零，即 2 40bac. 设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的 重点知识。重点知识。 七、板书设计七、板书设计 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 1.对于 2 0(0)axbxca的方程，若 2 40bac，两根为 1 x， 2 x. 那么 12 b xx a ， 12 c xx a . 2.根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程，即0a . （2）方程为一般形式。即形如： 2 0axbxc. （3）判别式大于等于零，即 2 40bac.
