1、第十七章第十七章 一元二次方程一元二次方程 17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 学习目标学习目标 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系掌握一元二次方程的根与系数的关系. . 2.会利用根与系数的关系解决有关的问题会利用根与系数的关系解决有关的问题 情境导入情境导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解 的和与积和原来的方程有什么联系？的和与积和原来的方程有什么联系？ (1)x22x0； (2)x23x40； (3)x25x60. 方程 x1 x2 x1x2 x1 x2 x22x0 x
2、23x40 x25x60 探究新知探究新知 通过刚才表格的填写我们大约可以总结出以下规律：通过刚才表格的填写我们大约可以总结出以下规律： 关于关于x的方程的方程 的两根的两根x1，x2与系与系 数数p，q的关系是：的关系是： ， . 22 0(40)xpxqpqpq、 为常数， 12 xxp 12 x xq 探究新知探究新知 形如形如 的方程，如果的方程，如果 ，两根为，两根为x1，x2， 引导学生利用上面的结论猜想引导学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数与各项系数a、b、c之间有之间有 何关系。何关系。 2 0(0)axbxca 2 40bac 对于方程对于方程 ， ， 2 0(0)a
3、xbxca 0a 2 0 bc xx aa 12 b xx a 12 c x x a 探究新知探究新知 对于这个结论我们又应该如何证明呢？对于这个结论我们又应该如何证明呢？ 证明证明： ，当，当 时根为时根为： , ,设设 ， ，则，则 2 0(0)axbxca 2 40bac 2 4 2 bbac x a 2 1 4 2 bbac x a 2 2 4 2 bbac x a 2222 12 22 44(4)4 2244 bbacbbacbbacacc xx aaaaa 22 12 442 222 bbacbbacbb xx aaaa 探究新知探究新知 请请思考、归纳并回答下列问题：思考、归纳并
4、回答下列问题： （1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？ （2）运用根与系数的关系要注意些什么？）运用根与系数的关系要注意些什么？ （1）对于方程对于方程ax2+bx+c=0(a0) ,若若b2-4ac0 两根为两根为x1，x2，那么那么 ， 12 b xx a 12 c x x a 探究新知探究新知 （2）根与系数关系使用的前提是根与系数关系使用的前提是： 是一元二次方程是一元二次方程，即，即a0 . 方程为一般形式方程为一般形式。即形如：。即形如：ax2+bx+c=0. 判别式大于等于零判别式大于等于零，即，即b2
5、-4ac0. 例例1 利用根与系数的关系，求方程利用根与系数的关系，求方程3x26x10的两根之和、两的两根之和、两 根之积根之积 新知运用新知运用 分分析析：由一元二次方程根与系数的关系可求得：由一元二次方程根与系数的关系可求得 解：这里解：这里a3，b6，c1. b24ac6243(1)3612480， 方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根 设方程的两个实数根是设方程的两个实数根是x1，x2， 那么那么x1x22，x1 x2 . 3 1 例例2 已知方程已知方程5x2kx60的一个根为的一个根为2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值的值 新知运用新知运用 分分析析：由方程
6、：由方程5x2kx60可知二次项系数和常数项，所以可根可知二次项系数和常数项，所以可根 据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值的值 解：设方程的另一个根是解：设方程的另一个根是x1，则，则2x1 - ， x1- .又又x12 - ， - 2 - ，k7. 5 6 5 3 5 k 5 3 5 k 例例3 已知已知、是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x2(2m3)xm20的两的两 个不相等的实数根，且满足个不相等的实数根，且满足 1，求，求m的值的值 新知运用新知运用 分分析析：利用韦达定理表示出：利用韦达定理表示出，再由，再
7、由 1建立方程建立方程 ，求，求m的值的值 1 1 1 1 新知运用新知运用 解：解：、是方程的两个不相等的实数根是方程的两个不相等的实数根， (2m3)，m2. 又又 ， 化简整理，得化简整理，得m22m30. 解得解得m3或或m1. 当当m1时，方程为时，方程为x2x10， 此时此时1240，方程无解，方程无解，m1应舍去应舍去 当当m3时，方程为时，方程为x29x90， 此时此时92490，方程有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数根 综上所述，综上所述，m3. 随堂检测随堂检测 1.已知方程已知方程 的两根互为相反数，求的两根互为相反数，求k的值。的值。 2 290 xkx 2.
8、已知关于已知关于x的方程的方程 的一个根是另一个根的的一个根是另一个根的2倍，求倍，求m的值。的值。 3.备选题：关于备选题：关于x的方程的方程 两实数根的平方和等于两实数根的平方和等于13，求求k 的值的值 2 30 xxm 22 (21)+20 xkxk k=0 m=2 k=2 通过本节课的学习，你有哪些收获？通过本节课的学习，你有哪些收获？ 课堂小结课堂小结 1.对于方程对于方程ax2+bx+c=0(a0) ,若若b2-4ac0 两根为两根为x1，x2，那么那么 ， . 2.根与系数关系使用的前提是：根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程，即是一元二次方程，即a0 . （2）方程为一般形式。即形如：方程为一般形式。即形如：ax2+bx+c=0. （3）判别式大于等于零，即判别式大于等于零，即b2-4ac0. 12 b xx a 12 c x x a 再见再见
