1、172一元二次方程的解法 3因式分解法 回顾与复习 我们已经学过了几种我们已经学过了几种解一元二次方程解一元二次方程的方法？的方法？ （1）直接开平方法：）直接开平方法： （2）配方法：）配方法： x2=a （a0） （x+h）2=k （k0） （3）公式法：）公式法： 2 2 4 .40 . 2 bbac xbac a 分解因式分解因式的方法有那些？的方法有那些？ （1）提取公因式法：）提取公因式法： （2）公式法：）公式法： （3）十字相乘法：）十字相乘法： 我思我思 我进步我进步 am+bm+cm=m（a+b+c） a2-b2=（a+b）（）（a-b），）， a2+2ab+b2=（a+b
2、）2 x2+（a+b）x+ab = 1 1 a b （x+a）（）（x+b） 请运用完全平方公式把下请运用完全平方公式把下 列各式分解因式：列各式分解因式： 2 2 2 22 2 22 144 269 3 441 4 96 1 5 4 6 4129 xx aa aa mmnn xx aabb 2 2x原式 2 3x原式 2 21a原式 2 3mn原式 2 1 2 x 原式 2 23ab原式 练习题：练习题： 1 1、下列各式中，能用完全平方公式、下列各式中，能用完全平方公式 分解的是（分解的是（ ）. . A A、a a2 2+b+b2 2+ab +ab B B、 、a a2 2+2ab+2a
3、b- -b b2 2 C C、a a2 2- -ab+2bab+2b2 2 D D、- -2ab+a2ab+a2 2+b+b2 2 2 2、下列各式中，不能用完全平方公、下列各式中，不能用完全平方公 式分解的是（式分解的是（ ）. . A A、x x2 2+y+y2 2- -2xy 2xy B B、 、x x2 2+4xy+4y+4xy+4y2 2 C C、a a2 2- -ab+bab+b2 2 D D、- -2ab+a2ab+a2 2+b+b2 2 D C 分解因式法分解因式法 当一元二次方程的当一元二次方程的一边是一边是0 0，而另一边易于分解，而另一边易于分解 成两个一次成两个一次因式
4、的乘积因式的乘积时，我们就可以用分解时，我们就可以用分解 因式的方法求解这种用分解因式解一元二次因式的方法求解这种用分解因式解一元二次 方程的方法称为方程的方法称为分解因式法分解因式法 我思我思 我进步我进步 提示：提示： 1 1用用分解因式法分解因式法的的条件条件是：方程左边易于分解，是：方程左边易于分解， 而右边等于零而右边等于零; ; 2 2关键关键是熟练掌握因式分解的知识是熟练掌握因式分解的知识; ; 3 3理论理论依旧是依旧是“如果两个因式的积等于零，那么如果两个因式的积等于零，那么 至少有一个因式等于零至少有一个因式等于零” 把一个多项式分解成几个把一个多项式分解成几个整式乘积整式
5、乘积的形式叫的形式叫 做做分解因式分解因式 例例1、解下列方程、解下列方程 )2(5)2(3) 1 (xxx 05) 13)(3( 2 x )2(5)2(3) 1 (xxx )2(5)2(3xxx 解：移项，得 )53(x 3 5 0 ) 2( x0 x+2=0或或3x5=0 x1=-2 ， x2= 提公因式法提公因式法 例2、(3x+1)25=0 解：原方程可变形为 (3x+1+ 5)(3x+1 5)=0 3x+1+ 5=0或3x+1 5 =0 x1= 15 3 ， x2= 15 3 公式法公式法 (1)(7)0 xx解解： 12 17.xx ， 1070 xx 或或 利用十字相乘法：利用十
6、字相乘法： x2+（a+b）x+ab=（x+a）（）（x+b） 1 1 1 7 （3）x2+6x-7=0. 解下列方程解下列方程 1、x23x10=0 2、（、（x+3）（）（x1）=5 解：原方程可变形为解：原方程可变形为 解：原方程可变形为解：原方程可变形为 （x5）（）（x+2）=0 x2+2x8=0 （x2）（）（x+4）=0 x5=0或或x+2=0 x2=0或或x+4=0 x1=5 ，x2=-2 x1=2 ，x2=-4 十字相乘法 分解因式法解一元二次方程的步骤是：分解因式法解一元二次方程的步骤是： 2 将方程将方程左边左边因式分解；因式分解； 3 根据根据“至少有一个因式为零至少有
7、一个因式为零”，转化为两，转化为两 个一元一次方程个一元一次方程 4 分别解分别解两个两个一元一次方程，它们的根就是一元一次方程，它们的根就是 原方程的根原方程的根 1化方程为化方程为一般形式一般形式； 快速回答：下列各方程的根分快速回答：下列各方程的根分 别是多少？别是多少？ 120 x x（）（） 0) 3)(2)(2(yy 12 02xx， 12 23yy ， 0) 12)(23)(3(xx 12 21 32 xx ， xx 2 )4( 12 01xx， 下面的解法正确吗？如果不正确，下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？错误在哪？ . 48 . 462 ; 835 63)2)(5(
8、 18)2)(5( 21 xx xx xx xx xx 或原方程的解为 ，得由 ，得由 原方程化为解： 解方程 ( ) 思考题：思考题： 1、多项式：、多项式： （x+y）2-2（x2-y2）+（x-y）2 能用完全平方公式分解吗？能用完全平方公式分解吗？ 2、在括号内补上一项，使多项式、在括号内补上一项，使多项式 成为完全平方式：成为完全平方式： x4+4x2+（ ） 3、用因式分解法解下列方程：、用因式分解法解下列方程： 2 y2=3y （2a3）2=（a2）（）（3a4） x2+7x+12=0 （x5 ）（）（x+2）=18 1 x2-4=0; 2 （x+1）2-25=0 解：解： （x
9、+2）（）（x-2）=0， x+2=0，或，或x-2=0 x1=-2， x2=2 学习是件很愉快的事 淘金者 你能用你能用分解因式法分解因式法解下列方程吗？解下列方程吗？ 解：解： （x+1）+5（x+1）-5=0， x+6=0，或，或x-4=0 x1=-6， x2=4 这种解法是不是解这两个方程的最好方法？这种解法是不是解这两个方程的最好方法？ 你是否还有其它方法来解？你是否还有其它方法来解？ 例例3 解下列方程：解下列方程： （1）x（x-2）+x-2=0； 2 410 x 解解：移移项项，合合并并同同类类项项，得得： ， 210210.xx ，或或 21210.xx()()()() 12
10、 11 . 22 xx ； 例题欣赏例题欣赏 (2)20 x xx解解：， 2010.xx ，或或 210.xx 12 21.xx ， 22 13 2 522. 44 xxxx（） （1）5x2=4x； （2）x-2=x（x-2）；）； 2 1540 xx（）解解：， 0 540. x x ， 或或 540.xx 12 4 0. 5 xx； 例题欣赏例题欣赏 2220 xx x （ ）解解：， 20 10. x x ， 或或 210.xx 12 21.xx； 用分解因式法解方程：用分解因式法解方程： 12 24.xx ， 12-402 4213 21 .xxxxx .240.xx解解，或或:
11、10 动脑筋动脑筋 争先赛争先赛 1解下列方程：解下列方程： 2 .4213 210 xxx ， 214 -30 xx ， 210430.xx，或或 12 13 . 24 xx ， (1)0.x x解解： 2 (1)0 xx 2 (2)2 30 xx 1解下列方程解下列方程 2 (3)363xx 2 (4)41210 x 12 01.xx ， (2 3)0.x x解解： 12 02 3.xx， 2 2 210 (1)0. xx x 解解： 12 1.xx (211)(211)0.xx解解： 12 1111 . 22 xx ， (5)3 (21)42xxx 22 (6)(4)(52 )xx 2把
12、小圆形场地的半径增加把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，得到大圆形场地， 场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径 (21)(32)0.xx解解： 12 12 . 23 xx ， 4(5 2 ).xx 解解： 12 31.xx， 解：设小圆形场地的半径为解：设小圆形场地的半径为r 22 2 (5)2 10250 rr rr 10200 . 2 r 55 2.r 负负值值舍舍去去， 2 3(32 )(31) (3). 323 xxxxx 2 2(3)3 (32 )2 (31)xxxxx 解解：去去分分母母，得得 ， 2 2760 xx 去去括括号号，移移
13、项项，合合并并同同类类项项，得得 ， (2)(23)0 xx 20230 xx或或 12 3 2. 2 xx， 动脑筋动脑筋 解：设这个数为设这个数为x，根据题意，得，根据题意，得 x=0，或，或2x-7=0 2x2=7x 2x2-7x=0， x（2x-7） =0， 想一想想一想 先胜为快先胜为快 2一个数平方的一个数平方的2倍等于这个数的倍等于这个数的7倍，倍， 求这个数求这个数 12 7 0. 2 xx， 解下列方程解下列方程 先胜先胜 为快为快 12 17 1 . 45 xx ； 12 2 2 .1. 3 xx ； 12 31 3 . 22 xx ； 12 4 .39.xx； 1. 41
14、 (57)0 xx ； 2.3122x xx； 2 3.(23)4(23)xx； 22 4.2(3)9xx ； 解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法： 直接开平方法直接开平方法 配方法配方法 公式法公式法 因式分解法因式分解法 小小 结结： 1、方程右边化为、方程右边化为 2、将方程左边分解成两个、将方程左边分解成两个 的乘的乘 积积 3、至少、至少 因式为零，得到两个一元一因式为零，得到两个一元一 次方程次方程 4、两个、两个 就是原方程的解就是原方程的解 . 零零 一次因式一次因式 有一个有一个 一元一次方程的解一元一次方程的解 用因式分解法解一元二次方程的步骤：用因式分解法解一元二次方程的步骤：
