1、第17章 一元二次方程一元二次方程17.4 一元二次方程的根与系数的关系1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）学习目标学习目标复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？224(40)2bbacxbaca 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0)b2-4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2
2、,那么 x1+x2=-7,x1 x2=6.（2）2x2-3x-2=0.解：这里 a=2,b=-3,c=-2.=b2-4ac=(-3)2 4 2 (-2)=25 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=,x1 x2=-1.32例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.x1 x2=2x2=即 x2=由于x1+x2=2+=得：k=7.答：方程的另一个根是 ，k的值为-7.,5k3.53()5356,5变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两
3、个根分别是x1、x2，其中x1=1.x1+x2=1+x2=6，即：x2=5.由于x1x2=15=得：m=15.答：方程的另一个根是5，m的值为15.,3m例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231,.22xxxx 解：根据根与系数的关系可知：22212112212,xxxx xx2221212122xxxxx x231132;224 121212113123.22xxxxx x 设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:(1)x1+x2=,(2)x1x2=,(3),(4).411412221)(xx2221xx练一练例4：设x1，x2是方程 x2-2
4、(k-1)x+k2=0 的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得=4(k-1)2-4k2 0 即-8k+4 0,由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1),x1 x2=k 2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由 x12+x22=4，得 2k2-8k+4=4,解得 k1=0,k2=4.经检验，k2=4 不合题意，舍去.k=0.1.2ku 总结常见的求值:12111.xx1212;xxx x124.(1)(1)xx1212()1;x xxx12213.xxxx221212xxx x2121212()2;xx
5、x xx x125.xx212()xx21212()4.xxx x2221212122.()2;xxxxx x 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则：p=,q=.1-232-3随堂练习随堂练习3.已知方程 3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中：3-19+m=0.解得 m=16,设另一个根为x1,则：1 x1=x1=16.3ca16.34.已知x1,x2是
6、方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系 (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7.12,xxk1 21.2kx x1()1 4,2kk （2）k=-7,则：124.x x 127,x x22212121 2()()474(4)65.xxxxxx 5.设x1,x2是方程3x2+4x 3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2).2112xxxx解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1 x2+
7、x1+x2+1=（2）12124,1.3bcxxxxaa 44(-1)1.33 22212122112121212234.9xxx xxxxxxxx xx x 6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得12,2kxx121,2xx2141,22k 23,2k2 3.k 7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足 x1-x2=1，求m的值.解：(1)方程有实数根m的取值范围为m0(2)方程有实数根x1,x2，解得m=8.经检验m=8是原方程的解2222424244880bacmmmmmmm m0，121222,.mxxxxm22121212(-)=(+)-4=1,x xxxx x22241.mm 根与系数的关系（韦达定理）内 容如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么应 用222121212()2xxxxx x22121212()()4xxxxx x12121211xxxxxx12bxxa 12cx xag课堂小结课堂小结
