1、一元二次方程教学重难点设计一元二次方程教学重难点设计 一、 教一、 教 学 内学 内 容容 本节通过对两个实际问题的分析、观察，归纳出一元二次方程及相关概念，从而体会到 学习方程的意义和作用。 二、 教二、 教 学 目学 目 标标 1.了解一元二次方程的概念 2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化为一般形式 3.经历抽象一元二次方程的概念的过程， 进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数 学模型 三、 教三、 教 学 重学 重 难点难点 重点：一元二次方程的意义及一般形式 难点：探求实际问题中的等量关系建立方程模型 四、 教四、 教 学 策学 策 略 选略 选 择 与择 与 设计设
2、计 通过对两个学生较熟悉的实际问题所列的方程的观察，并类比一元一次方程， 自然导出一元二次方程及相关的一些概念，设计过程中，不过于强调形式化的定义，也 不要求学生死记硬背，只要能辨认一些概念即可，本节内容难度不大，教学中应该多关 注学生学习的主动性及合作交流意识。 五、 学五、 学 习 者习 者 特 征特 征 分析分析 绝大部分学生对书本中的小结都是持肯定的态度的， 也就是说每一章的小结或多 或少都会对学生有一定的帮助，但是我们应该怎样去看待这个小结，我们可以看到有 32.58%的学生觉得书本中总结得还可以，有 44.19%的学生觉得总结得不够，有 10.49% 的学生觉得很难把这些总结转化为
3、自己的知识，还有 12.73%的同学就是没什么感觉， 这也就意味着我们老师要在学完每一章或是每一个知识点之后帮学生总结归纳相关的 知识，使之形成一个系统的知识结构，便于学生对知识的理解和掌握 六、 教六、 教 学 环学 环 境 及境 及 工具工具 教学方法 （学法） “引导探索法” （自主探究，合作学习， 采用小组合作的方法， 教具准备 课件、三角板 用多媒体辅助教学，增强课堂的学习效率和趣味性，提高学生的学习积极性 七、七、 教 学教 学 过过 程程 教学教学 步骤步骤 教师活动 学生活动 设计意图 回顾回顾 教师问： 1、你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 2、 什么是一元一次方程？它
4、的一般形式是怎样的？ 一般形式：ax+b=0 (a0) 3、 我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的 一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实 际问题的步骤吗? 1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答。 学生回答： 含有 未知数的等式 叫做方程。 含有一个未知 数， 并且未知数 最高次数是一 的方程叫做一 元一次方程。 回顾已知知识， 引申新概念。 活 动活 动 一 ：一 ： 创 设创 设 情情 境境 设 疑设 疑 感感 知知 问题 1：某地为增加农民收入，需要调整农作物种 植结构，计划 2014 年无公害蔬菜的产量比 2012 年 翻一翻，要实现这一目标，2013 年和 20
5、14 年无公 害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 思考： 1、根据以往的经验， 你想用什么知识来解决这个实 际问题？ 师：如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长 率是 x,2012 年的产量为 a， 那么 2013 年无公害蔬菜 产量为 - ，2014 年无公害蔬菜产量为 - 2、把以上方程整理得:- - 问题： 在一块宽 20。 你能根据题意，列出方程吗？m、长 32m 的矩形空 地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横 向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样 的六块， 建成小花坛。 如图要使花坛的总面积为 570 m2 ，问小路的宽应为多少？ 1. 思考与交流 生： 设无公害蔬
6、 菜产量的年平 均 增 长 率 是 x,2012 年的产 量为 a a(1+x)+a(1+x)x= a(1+x)(1+x) 得，x2+2x-1=0 2. 设小路的宽 是 xm，那么横 向小路的面 32x m2. 32x20-(32x+2x2 0 x)+2x2=570 整理得 X2-36x+35=0 这里给出两个 实际问题是学 生所熟悉的， 目 的是激发学生 的学习兴趣， 学 生是不难想到 用方程来解决 的。通过 得出 的方程都是一 元二次方程， 与 以前所学的方 程不同， 从而引 出课题。 直观理解， 寻求 等量 2 x 思考:1、若设小路的宽是 xm，那么横向小路的面 _m2，纵向小路的面积
7、是 m2, 两者重叠的面积是 - -m2.由于花坛的总面 积是-m2. 2、你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得：- 活 动活 动 二 ：二 ： 直 观直 观 演演 练练 构 建构 建 新新 知知 想一想： 还有其它的列法吗？试说明原因。 32-2x 师：思考是否有更简便的解法？ 师：观察并回答下列问题 1、请观察下面两个方程并回答问题： x2+2x-1=0 x2-36x+35=0 （1）它们是一元一次方程吗？ （2）与一元一次方程有何异同？ （3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 仔细观察，你会发现什么规律？写出你的结论 特点：1、等号两边都是整式 2、只含有一个未知数 3、未知
8、数的最高次数是 2 4、通过与一元一次方程的对比，你能给这类方 程取个合理的名字吗？ 一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程都 可以化为 a x 2 + b x + c = 0 的形式,我们把 a x 2 + b x + c = 0(a,b,c 为常数，a0）称为一元二次方程的一 般形式。 想一想： 为什么要限制 a0，b,c 可以为零吗？ 3. 一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0(a,b,c 为常数，a 0） 介绍：一次项及系数、二次项及系数、常数项 特别强调: 二次项系数不能为 0 生： 第二种解法： 方 程 可 得 : (20-x)(32-2x)=5 70 整理得 X
9、2-36x+35=0 1. 交流、讨论 回顾一元一次 方程的有关知 识（注意说明 “一元”“一次” 的意义） 2.提问：请说出 2x2-33x+58=0, X2+2x-1=0 的一 次项及系数、 二 次项及系数、 常 数项 1. 类比一元一 次方程可以使 学生对概念的 理解更深刻， 但 需要强调“一 元” “二次”的 真正含义 2.加深对一次 项及系数， 二次 项及系数和常 数项的理解 3 2 0 2 0 活 动活 动 三 ：三 ： 迁 移迁 移 学学 习习 强 化强 化 认认 识识 动 手动 手 操操 作作 引 导引 导 探探 索索 做一做： 思考： 方程 （2a4） x2 2bx+a=0,
10、 在什么条件下此方程 为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次 方程？ 解：当 a2 时是一元二次方程；当 a2，b0 时 是一元一次方程； 议一议： 通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二 次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪 些？ （1）在确定一元二次方程的二次项系数、 一次项系 数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行。 （2）二次项系数、 一次项系数以及常数项都要连同 它前面的符号。 （3）二次项系数 a0 实践与操作：相信你能行 当 m何值时，方程 42 (1)2750 m mxmx 是关于的一元二次方程？ 牛刀小试 检验新知 若 2 230 a ba b xx 若
11、 是关于的一元二次方程,求 ab 的值。 3.当 m- 时,方程(m1)2(2m1) +m=0 是 关 于 的 一 元 一 次 方 程, 当m -时,上述方程才是关于的一元二次方程 2. 反馈学生对 一些概念理解 程度 活 动活 动 四 ：四 ： 练 习练 习 巩巩 固固 拓 展拓 展 延延 伸伸 联 系联 系 实实 际际 引 向引 向 课课 外外 例题： 将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一元二 次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系 数及常数项 解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3 移项，合并同类项得 3x2-7x+1=0 所以得到一元二次方程的一般形式为： 3
12、x2-7x+1=0 其中二次项系数为 3， 一次项系数为-7， 常数项为 1。 （1）必答题 生： 1. 一位学生上 讲台板演， 其他 学生合作或独 立完成 2. 合作交流 3. 让学生进一 步认识、 体会一 元二次方程标 准形式 1.做一做，指出下列一元二次方程和系数 a,b,c 分别 是多少？ （1）5x2=6x-8 (2) 1/2-2x2=0 (3) X(x-1)=0 (4) (4-x)(x-3)=0 2.判断下列方程是不是一元二次方程？ （1） 3x2-2y=0 (2) 2xy=7 (3) x2-3x+1=x2+5 (4) ax2-5x+2=0 (教师应该对比一元二次方程标准形式讲解)
13、 （2）抢答题 1一元二次方程 2 26xx的二次项系数、一次 项系数及常数之和为 2已知1x是方程 2 60 xax的一个根，则 a （3）个人魅力题 拓广探索，游刃有余 如右图所示，相框长为 10cm，宽为 6cm，内有 宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为 32cm2， 则相框的边缘宽为多少厘米？我们可以这样 来解： （1）若设相框的边缘宽为cmx，可得方程 （一般形式）； （2）分析并确定x的取值范围； （3）完成表格： x 0 1 2 3 （1）中 2 axbxc （4）根据上表判断相框的边框宽是多少厘米？ （1）（2） 不 是， 因为含有 两个未知数； （2）不是， 因为是一
14、元 一次方程； （4）当 a=/0 时， 是一元二 次方程 达标测评是为 了加深学生对 所学知识的理 解运用， 在问题 的选择上以基 础题为主、 疑难 点突出， 使学生 思维得到拓展、 能力得以提升。 （4）课堂练习 认认真真，书写快乐 1把方程 2 (21)(1)(1)xxxx化成一般形 式是 2关于x的方程 2 (1)230mxmx 是一元二 次方程，则m的取值范围是 3 已 知 2 36xx的 值 为9， 则 代 数 式 2 392xx的值为 仔仔细细，记录自信 4下列关于x的方程： 2 0axbxc； 2 4 30 x x ； 25 40 xx； 2 3xx 中，一元二次方程的个数是（
15、 ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5已知2是关于x的方程 2 3 20 2 xa的一个解， 则21a的值是（ ） A3 B4 C5 D6 巩固、 梳理所学 知识， 对学生进 行鼓励， 并进行 思想教育 小 结小 结 与 思与 思 考：考： 师： 你说我说，点清收获 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的 整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化 为 a x 2 + b x + c = 0 的形式,我们把 (a,b,c 为常数， a0） 称为一元二次方程的一般形式。 回顾本章节课 学习
16、内容， 梳理 知识， 使知识系 统化 八 、八 、 教 学教 学 评 价评 价 设设 计计 对于这节课，当时那位教师并没有照本宣科，完全按照自己的理解来解题，而是尽可能 的向学生展示了对学生进行引导，让学生自己动手、动脑，主动探索知识，让学生改变 一传统教学中的“模仿型”学习，而转向了“创造型”学习。多鼓励学生，不可因为错 误而批评学生，这样学生才会放开手脚，大胆的尝试各种解决方法 九 、九 、 板 书板 书 设设 计计 一元二次方程 一、知识回顾 二、情景引入，问题一： 问题二 三、概念：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 次的方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的标准形式 ax2+
17、bx+c=0 (a,b,c 为常数，a0) 及各项的系数 四、例题 五、练习题 六、总结 十 、十 、 分 层分 层 作作 业业 必做题： 课本练习 3，5 , 6 选做题： 1、有两个连续整数，它们的平方和为 25，求这两个数 2、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小 2，十位上的数字与个位上的 数字之和的 3 倍刚好等于这个两位数求这个两位数 3、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是 6，如果把它的个位数字 与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于 1008，求调换位 置后得到的两位数 4、用一块长 80cm，宽 60cm 的薄钢片，在四个角上截
18、去四个相同的边长为 xcm 的小正 方形，然后做成底面积为 1500cm2的无盖的长方形盒子，求 X 的值 5、在长为 32m，宽为 20m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不 等的六块作实验田，要使试验田面积为 570m2，道路的宽应为多少？ 十一、十一、 教 学教 学 设 计设 计 说说 明明 本节课，引入是一个课时教学设计的重要组成部分，引入是否科学、恰当，直接关系着 教学能否成功，课堂气氛是否活跃。这节课采用创设问题情境，所以我从学生身边的生 活入手引入出发，以 实际实例，引导学生自主探索、合作交流为主线，让学生经历数 学知 识的形成与应用过程，加深对所学知识的理解，从而 突破重难点。整节课是一个 动脑猜想、动眼观察、动 手操作、实践验证、巩固应用的动态生成过程，充分 发挥了 学生的主观能动性，学生真正成为了学习的主人。
