1、【 ;百万教育资源文库 】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷 ) 数学 (理科 )答案解析 一、选择题 1.【 答案 】 D 【 解析 】解决本题的关键是分母实数化， 225 6 i 5 i 6 i 6 5 iii? ? ? ? 【 提示 】 把 5 6ii? 的分子分母同时乘以 i ，得到2(5 6i)ii?，利用虚数单位的性质，得 25i 6i1? ，由此能求出结果 【 考点 】 复数 2.【 答案 】 C 【 解析 】在全集 U 中去掉含 M 的元素即得 ? ?3,5,6UM ? 【 提示 】 给出全集和子集，根据集合的基本运算求解子集的补集 【 考点 】 集合的基本运
2、算 3.【 答案 】 A 【 解析 】 ? ?2 , 4B C B A A C B A C A? ? ? ? ? ? ? 【 提示 】 由向量 (2,3)BA? ，向量 (4,7)CA? ，知 ( 2, 3)AB? ? ? ， ( 4, 7)AC? ? ，再由 BC AC AB?能求出结果 【 考点 】 向量的线性运算 ， 向量的坐标运算 4.【 答案 】 A 【 解析 】 1yx? ? 在区间 ? ?0,? 上为减函数， 12xy ?在区间 ? ?0,? 上也为减函数， 1yxx? 在区间(0,1) 上为减函数，在区间 (1, )? 上为增函数 【 提示 】 利用对数函数的图象和性质可判断
3、A 正确；利用幂函数的图象和性质可判断 B 错误；利用指数函数的图象和性质可判断 C 正确；利用 “ 对勾 ” 函数的图象和性质可判断 D 的单调性 【 考点 】 函数单调性的判断 5.【 答案 】 B 【解析】 画准约束条件所表示的平面区域，令 0z? 得 3yx? ，化目标函数为斜截式方程： 3y x z? ? ， 借助于 图像 可知：当 3x? ， 2y? 时， max 11z ? 【 ;百万教育资源文库 】 【 提示 】 先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值 【 考点 】 二元线性规划求目标函数的最值 6.【 答案 】 C 【 解析 】
4、此几何体的直观图是由一个圆柱和一个同底的圆锥构成，圆锥的高为 4， 体积 1+ 4 5 9 4 5 7 3V V V? ? ? ? ? ?圆 柱 圆 锥 【 提示 】 由题设知，组合体上部是一个母线长为 5，底面圆半径是 3 的圆锥，下部是一个高为 5，底面半径是 3 的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项 【 考点 】 由三视图求几何体的体积 7.【 答案 】 D 【 解析 】设个位数与十位数分别为 x ， y 则 21x y k? ? ? ， 1k? ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 所以 x ，y 分别为一奇 一 偶； 第一
5、类 x 为奇数， y 为偶数，共有 114520CC?个数； 第二类 x 为偶数， y 为奇数，共有 115525CC?个数； 两类共有 45 个数，其中个位数是 0，十位数是奇数的两位有 10 ， 30 ， 50 ， 70 ， 90 这 5 个数 ， 所以其个位数为 0 的概率为 51459? 【 提示 】 先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数 n ，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求 【 考点 】 排列与组合及其应用 8.【 答案 】 C 【 解析 】设 2| | cos|x ab ?， 2| | cos|y b a ?， x ， y?Z 因为
6、24cosxy ? ，所以 24cos ?Z ，所以 1cos 2? 或 22或 32或 1， 【 ;百万教育资源文库 】 因为 0,4? ?，所以 3cos2?，即 6? ， 则 3| |ab， 3| |ba ?Z， 因为 | | | | 0ab?，所以 |1|ab?，所以只能取 |3|ab ?， | | 1|3ab ?， 则 | | c o s 3 3322|aab b ? ? ? ? 【 提示 】 定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集合的知识求解 即可 【 考点 】 集合的含义，平面向量的数量积的运算 二、填空题 9.【 答案 】 12xx?【 解析 】
7、当 0x? 时，原不等式可化为 21xx? 解得 x 无解 ； 当 20x? ? ? 时，原不等式可化为 21xx? 解得 12x? ，所以 12 2x? ? ? ； 当 2x? 时，原不等式可化为 21xx? ? ? ? ， 解得 2x? 综上知 12x? ， 故原不等式的解集为 12xx? 【 提示 】 由题意，可先将不等式左边变形为分段函数的形式，然后再分三段解不等式，将每一段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集 【 考点 】含有绝对值不等式的解法 10.【 答案 】 20 【 解析 】 62 1xx?的展开式第 1r? 项为 2 6 1 2 31 6 61()rr r r rr
8、T C x C xx? ?， 令 12 3 3r?得 3r? ，所以 3x 的系数为 36 20C? 【 提示 】 由题意，可先给出二项式的通项，再由通项确定出 3x 是展开式中的第几项，从而得出其系数 【 考点 】 二项式定理，排列与组合及其应用 11.【 答案 】 21n? 【 解析 】设 等差数列 na 的公差为 d ，则 21 2 (1 ) 4dd? ? ? ?， 解得 2d? ，因为等差数列 na 递增，所以2d? ，故 21nan? 【 提示 】 由题意，设公差为 d ，代入 2324aa?，直接解出公式 d ，再由等差数列的通项公式求出通项即可【 ;百万教育资源文库 】 得到答案
9、 【 考点 】 等差数列的性质和通项公式 12.【 答案 】 21yx? 【 解析 】点 (1, 3) 在曲线 3 3y x x? ? ? 上， 231yx?，所以由导数的几何意义可得切线的斜率 ? ?12kf?，又点斜式方程可得：点 (1,3) 处的切线方程为 21yx? 【 提示 】 先求出导函数，然后将 1x? 代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可 【 考点 】 导数的几何意义，导数的运算，直线的方程 13.【 答案 】 8 【 解析 】 根据算法可得， 8n? ， 2s? ， 4i? ， 2k? ； 4s? ， 6i? ， 3k? ； 8s? ， 8i? ，
10、 4k? ； 所以输出 8s? 【 提示 】 由已知中的程序框图及已知中输入 8，可得：进入循环的条件为 8i? ，即 2i? ， 4， 6 模拟程序的运行结果，即可得到输出的 s 值 【 考点 】循环结构的程序框图 14.【 答案 】 (1,1) 【 解析 】 曲线 1C 的普通方程为 2 ( 0, 0)y x y x? ? ?，曲线 2C 的普通方程为 222xy?，联立 222+2yxxy? ? ? 解得 11xy?，所以曲线 1C 与 2C 的交点坐标为 (1,1) 【 提示 】 把曲线 1C 与 2C 的参数方程分别化为普通方程，解出对应的方程组的解，即得曲线 1C 与 2C 的交点
11、坐标 【 考点 】 曲线与方程，参数方程与普通方程的互化 15.【 答案 】 3 【 解析 】连结 OA 得 60AOP?，所以 2OP? ， 1PC? ， 2 ( 2 ) 1 3 3P A P C P C? ? ? ? ? ? ?， 所以 3PA? 【 提示 】 连接 OA ，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到 60AOP?， 因为直线 PA 与圆 O 相切于点 A ，且 OA 是半径，得到 PAO 是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题中数据可得 tan 60 3PA OA? 【 考点 】同弧所对的圆周角与圆心角的关系，切线的有关性质 三、解答题 【 ;百万教育
12、资源文库 】 16.【 答案 】（ ） 15（ ） 1385? 【 解析 】（ ） 210T ? ? ， 1 05? ? ? ； （ ）由（ ）得 1( ) 2 cos( )56f x x ?， 6 5 1 55 2 c o s 5 2 c o s 2 s i n5 3 5 3 6 2f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3sin 5?， 4cos 5? ， 1 6 5 1 55 2 c o s 5 2 c o s1 7 6 5 6 6f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、? ? ?， 8cos 17?， 15sin 17? ， 4 8 3 1 5 1 3c o s ( ) c o s c o s s i n s i n 5 1 7 5 1 7 8 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【 提示 】 （ ）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式 2 110 5?， 解出参数 的值； （ ）由题设条件，可先对 565 35f ? ? ? ?，与 5 165 6 17f ? ?进行化简，求出 ? 与 ? 两角的函数值，再由作弦的和角公式求出 cos( )? 的值 【 考点 】同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦 17.【 答案 】
14、（ ） 0.018 （ ） 12 【 解析 】（ ）图中 x 所在组为 80,90 即第五组 ， 1 1 0 ( 0 . 0 5 4 0 . 0 1 3 0 . 0 0 6 ) 1 0 . 8 2 0 . 1 8xf ? ? ? ? ? ? ? ?， 0.018x? ； （ ）成绩不低于 80 分的学生所占的频率为 1 0 ( 0 .0 1 8 0 .0 0 6 ) 0 .2 4f ? ? ?， 所以成绩不低于 80 分的学生有： 50 50 0.24 12f ? ? ? 人， 成绩不低于 90 分的学生人数为： 50 10 0.006=3? ， 所以为 ? 的取值为 0， 1， 2， 【 ;
15、百万教育资源文库 】 29212 6(0 11CP C? ? ? ?）， 1193212 9( 1) 22CCP C? ? ? ?， 23212 1( 2) 22CP C? ? ? ?， 所以为 ? 的分布列为 ： ? 0 1 2 P 1222922122所以为 ? 的数学期望为 0 1 2 1 9 2 1 1 1 1() 2 2 2 2 2E ? ? ? ? ? ? ? ? 【 提示 】 （ ）根据所以概率的和为 1，即所求矩形的面积和为 1，建立等式关系，可求出所求； （ ）不低于 8（ 0 分）的学生有 12 人， 9（ 0 分）以上的学生有 3 人，则随机变量 ? 的可能取值有 0，
16、1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望 【 考点 】 分布列与期望 18.【 答案 】（ ）因为 PA? 平面 ABCD ， BD? 平面 ABCD ， BD PA?， 又因为 PC? 平面 BDE ， BD? 平面 BDE ， BD PC?， 而 PA PC P? ， 所以： BD? 平面 PAC ； （ ）方法一 ： 设 AC BD O? ，连结 OE ， 因为 PC? 平面 BDE ， OE ， BE? 平面 BDE ， 所以 PC? OE ， PC? BE ， 所以 BEO? 是二面角 B PC A?所成的平面角 ， 因为 BD? 平面 PAC ， AC?
17、 平面 BDE ， 所以 BD AC? ， 因为底面 ABCD 是矩形 ， 所以底面 ABCD 是正方形 ， 所以 2AD AB?， 2BO? ， 由 1PA? ， 22AC? ， 3PC? ， 求得 23OE?， 【 ;百万教育资源文库 】 因为 BD? 平面 PAC ， OE? 平面 BDE ， 所以 BD OE? ， 所以在 Rt BOE 中，232ta n 3BOBEO OE? ? ? ?， 所以二面角 B PC A?的正切值为 3 ； 方法二：如图所示，以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz? ， 因为 BD? 平面 PAC ， AC? 平面 BDE ， 所以 BD AC? ， 因为底面 ABCD 是矩形 ， 所以底面
