1、【 ;百万教育资源文库 】 2012年 普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）答案解析 一 、选择题 1.【答案】 D 【解析】求 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2| 3 2 0 | 1 2 0 1 , 2A x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?RR， ，易知 ? ? ? ?| 0 5 1 , 2 , 3 , 4B x x x? ? ? ? ?N，。因为 A C B?，所以根据子集的定义，集合 C 必须含有元素 1， 2，且可能含有元素 3， 4，原题即求集合 ? ?3,4 的子集个数，即有 224? 个。故选 D。 【提示】本题在求集合
2、个数时，也可采用列举法。列出集合 C 的所有可能情况，再数个数即可。来年要注意集合的交集运算，考查频度极高。 【考点】 子集的概念，不等式，解一元二次方程。 2.【答案】 B 【解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间 10,40) 内的頻数为 2 3 4 9? ? ? ，样本总数为2 3 4 5 4 2 2 0? ? ? ? ? ?，故样本数据落在区间 10,40) 内频率为 9 0.4520? 。故选 B。 【提示】 对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率。来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考
3、查。 【考点】 频率分布表的应用，频率的计算。 3.【答案】 D 【解析】由 ( ) cos 2 0f x x x?，得 0x? 或 cos2 0x? ；其中，由 cos2 0x? ，得 2 ( )2x k k? ? ?Z，故 ()24kxk? ? ? Z。又因为 0,2x? ，所以 4x? ， 34 ， 54 74 。所以零点的个数为 1 4 5?个。故选 D。 【提示】判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法。对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是 R ，则零点将会有无数个；来年需注意数形结合法求解函数的零点个数，所在的区间等问题。 【考点】 函数的零点
4、，分类讨论的数学思想。 4.【答案】 B 【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方 不是有理数”。故选 B。 【提示】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写【 ;百万教育资源文库 】 方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是”。 【考点】 特称命题的否定。 5.【答案】 A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点 P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线 OP 垂直即可。又已知点 (1,1)P ，则 1OPk ? ，故所求直线的斜率为 1?
5、 。又所求直线过点 (1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为 1 ( 1)yx? ? ? ，即 20xy? ? ? 。故选 A。 【提示】本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线 OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程。来年需注意直线与圆相切的相关问题。 【考点】 直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想。 6.【答案】 B 【解析】 排除法： 当 1x? 时， ( 2 ) (1 2 ) (1 ) 1y f x f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故可排除 A， C 项；当 2x? 时，( 2 ) ( 2 2 ) ( 0 ) 0y f
6、 x f f? ? ? ? ? ? ? ? ?，故可排除 D项；所以由排除法知选 B。 【提示】有些函数图象题，从完整的性质并不好去判断，可以利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解，既可以节约考试时间，又事半功倍。来年需注意含有 xe 的指数型函数或含有 lnx 的对数型函数的图象的识别。 【考点】 函数的图象的识别。 7.【答案】 C 【解析】设数列 ?na 的公比为 q。对于， 2 2112()()nnf a a qf a a?，是常数，故符合条件；对于，1 11() 2 2() 2 n nnna aananfafa? ? ? ?，不是常数，故不符合条件；对于
7、， 111|()() |nnnnaf a a qf a aa ? ? ?，是常数，故符合条件；对于，11( ) ln | |( ) ln | |nnf a af a a?，不是常数，故不符合条件。由“保等比数列函数”的定义知应选 C。 【提示】对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键。来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等。 【考点】 等比数列的 新应用，函数的概念。 8.【答案】 D 【解析】因为 a， b， c为连续的三个正整数，且 A B C? ，可得 abc? ，所以 2ac? ， 1bc?；又因为已知 3 20 cosb a A? ，所以 3cos 20
8、bA a? 。由余弦定理可得 2 2 2cos 2b c aA bc? ，则由可得【 ;百万教育资源文库 】 2 2 2320 2b b c aa bc? ，联立，得 27 13 60 0cc? ? ?，解得 4c? 或 157c? （舍去），则 6a? ， 5b? 。故由正弦定理可得， s i n : s i n : s i n : : 6 : 5 : 4A B C a b c?。故应选 D。 【提示】本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长。来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用。 【考点】 正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用。
9、9.【答案】 A 【解析】 1abc? 时， 1 1 1 a b c a b c a b c a b b c c aa b c a b c? ? ? ? ? ? ? ?， 而 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2a b c a b b c c a a b b c c a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（当且仅当 abc? ，且 1abc? ，即abc? 时等号成立），故 1 1 1 a b b c c a a b cabc? ? ? ? ? ? ? ?；但当取 2abc? ? ? ，显然有1 1 1 abcabc? ? ? ? ?，但 1abc? ，即由 1 1 1 abca
10、bc? ? ? ? ?不可以推得 1abc? ；综上， 1abc? 是1 1 1 abcabc? ? ? ? ?的充分不必要条件，应选 A。 10.【答案】 C 【解析】如下图所示，设 OA 的中点为 1O ， OB 的中点为 2O ，半圆 1O 与半圆 2O 的交点分别为 O ， F ，则四边形 12OOFO 是正方形。不妨设扇形的半径为 2，记两块白色区域的面积分别为 1S ， 2S ， 两块阴影部分的面积分别为 3S ， 4S 。 则 21 2 3 4 1 2 4O A BS S S S S? ? ? ? ? ? ?扇 形， 而 213 11 1 22SS? ? ? ?， 223 11
11、1 22SS? ? ? ?， 即 1 2 3+2 S S S?， 由，得 34=SS。 又由图象观察可知，12214 O O F OO A B O F B O A FS S S S S? ? ? ? 正 方 形扇 形 扇 形 扇 形2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 11 14 4 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 【 ;百万教育资源文库 】 故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率： 34 42 221 O A B O A BSS SP ? ? ? ? ? ?扇 形 扇 形。故选 C。 【提示】本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则
12、图形的面积化为规则图形的面积来求解。来年需注意几何概型在实际生活中的应用。 【考点】 古典概型的应用以及观察推理的能力。 二 、填空题 11.【答案】 6 【解析】 设抽取的女运动员的人数为 a，则根据分层抽样的特性，有 842 56a ? ，解得 6a? 。 故抽取的女运动员为 6人。 【提示】本题实际是承接 2012奥运会为题材，充分展示数学知识在生活中的应用。分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比。 来年需注意系统抽样的考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查。 【考点】分层抽样的应用。 12.【答案】 3 【解析】因为 3i i1ib ab? ? ，所以 3 i ( i )
13、(1 i ) ( ) ib a b a b b a? ? ? ? ? ? ? ?。又因为 a， b都为实数，故由 复数的相等的充要条件得 3abb a b? ?， 解得 03ab?，所以 3ab? 。 【提示】本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些。 来年需注意 复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查。 【考点】复数的相等即相关运算。 13.【答案】（ 1） 3 10 10,10 10?（ 2） 255? 【解析】（ 1） 由 (1,0)a? ， (1,1)b? ，得 2 (3,1)ab? 。设与 2ab? 同向的单位向量为 ( , )c x y? ，
14、则 22130xyyx? ? ?，且 ,0xy? ，解得3 10101010xy? ? ?， 故 3 10 1010 10c ?，。 【 ;百万教育资源文库 】 即与 2ab? 同向的单位向量的坐标为 3 10 10,10 10?。 （ 2 ）由 (1,0)a? ， (1,1)b? ，得 3 ( 2,1)ba? ? ? 。设向量 3ba? 与向量 a的夹角为 ? ，则( 3 ) ( 2 , 1 ) ( 1 , 0 ) 2 5c o s 5| 3 | | | 51b a ab a a? ? ? ? ? ?。 【提示】与某向量同向的单位向量一般只有 1 个，但与某向量共线的单位向量一般有 2 个，
15、它包含同向与反向两种。不要把两个概念弄混淆了。 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查。 【考点】单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等。 14.【答案】 2 【解析】作出不等式组 1133xyxyxy? ?，所表示的可行域 (如下图的 ABM 及其内部 ），目标函数 23z x y?在ABM 的三个端点 (2,3)A ， (0,1)B ， (1,0)M 处取的值分别为 13， 3， 2，比较可得 目标函数 23z x y?的最小值为 2. 【提示】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个
16、端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值。 来年需注意线性规划在生活中的实际应用。 【考点】线性规划求解最值的应用。 15.【答案】 12 【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为 2，高为 1）与中间一个圆柱（底面圆半径为 1，高为 4）组合而成，故该几何体的体积是 22 2 1 2 1 4 1 2 V ? ? ? ? ? ? ? ?。 【提示】学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法。 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积。 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】圆柱的三视图的识别，圆柱的体积。 16.【答案】 9 【解析】 由程序框图可知： 第一次 ： 1a? ， 0s? ， 1n? ， 1s s a? ? ? ， 23aa? ? ? ，满足判断条件 3?n? ； 第二次 2n? ， 4a? ， 5a? ，满足判断条件 3?n? 第三次： 3n? ， 9s? ， 7a? ，此时不满足判断条件 3?n? ，故终止运行，输出 s
