1、【 ;百万教育资源文库 】 2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学答案 解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 D 【解析】因为 z i 2 i(2i)1? ? ? ? ，所以复数 z 对应的点在第四象限 【提示】 化简可得复数 2z i 2 i( ) 1 22 i i i? ? ? ? ? ，由复数的几何意义可得答案 【考点】复数的四则运算及复数的几何意义 2.【答案】 A 【解析】当 0a? 时，方程化为 10? ，无解，集合 A 为空集，不符合题意； 当 0a? 时，由 2 40aa? ? ? ，解得 4a? 【提示】 当 a 为零时，方程不成立，不符合题意，当
2、a 不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可 【考点】集合的基本运算和性质 3.【答案】 C 【解析】由 二倍角的余弦公式可得 22 3 2 1c o s 1 2 s i n 1 2 12 3 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ?【提示】由 二倍角的余弦公式可得 2cos 1 2 sin 2? ? ， 代入已知化简即可 【考点】 二倍角的余弦 4.【答案】 C 【解析】从 AB， 各任取一个数有 ( 2 ,1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 3 ,1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 )， ， ， ，6个基本事件，满足两数之和等于 4的有 (2,2) ， (3
3、,1) ， 2个基本事件，所以 2163P? 【提示】 由分步计数原理可得总的方法种数为 2 3 6? ，由列举法可得符合条件的有 2 种，由古典概型的概率公式可得答案 【考点】随机事件的概率和古典概型 5.【答案】 D 【解析】 从随机数表第 1行的第 5列和第 6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为 65，不符合条件，第二个数为 72，不符合条件，第三个数为 08，符合条件，以下符合条件依次为： 08，【 ;百万教育资源文库 】 02， 14， 07， 01，故第 5个数为 01. 【提示】 从随机数表第 1行的第 5列和第 6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右
4、读，依次为 65，72， 08， 02， 63， 14， 07， 02， 43， 69， 97， 28， 01， 98， ，其中 08， 02， 14， 07， 01 符合条件，故可得结论 【考点】简单随机抽样 6.【答案】 A 【解析】由 21xxx? 可得21,1 ,x xxx? ? ?即231 0,1 0,xxxx? ? ? ?解得 1 0 101xx? ? ? ? ? 或或综合知 1.x? 【提示】先 由 分式不等式 21xxx? 求解 ，再 解不等式组 即可 【考点】分式不等式的解法和不等式组的解法 7.【答案】 B 【解析】根据程序框图， 2 2 2+1=5iS? ? ?， ，不满
5、足条件； 3 2 3+2=8iS? ? ?， ，不满足条件； 4 2 4+1=9iS? ? ?， ，此时输出 4i? ，所以填 9S? 【提示】 由 程序 框图给出的赋值 执行运算 ， 判断 输出 i 值 时的 S 值 【考点】循环结构程序框图 8.【答案】 A 【解析】由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体长方体的长、宽、高分别为 10、 4、 5，半圆柱底面圆半径为 3，高为 2，故组合体体积 211 0 4 5 3 2 = 2 0 0 + 9 2V ? ? ? ? ? ? ? 【提示】 根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成 根据所给出的数据可求
6、出体积 【考点】由几何体的三视图求体积 9.【答案】 C 【解析】如 下图： 由抛物线定义知 | | | |MF MH? ，所以 | | | | | | | |M F M H M H M N?： ： 由于 MHN FOA ，则 | | | | 1| | | | 2MH OFHN OA?，则 | | | | 1 5MH MN ?： ：， 【提示】由已知抛物线方程和已知点，建立直线与抛物线之间的位置关系，接着 运用 相似三角形的判定定理及性质，再求解线段长度的比例 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系 10.【答案】 B 【解析】如图 ： 圆半径为 1，设弧长
7、x所对的圆心角为 ? ，则 x? ， 如图所示， cos 12 t? ，即 cos 12x t? ，则 2 2 2c o s 2 c o s 1 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 (0 1 )2xy x t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故其图象为开口向上、在 0,1 上的一段抛物线 【提示】通过圆心角 ? 将弧长 x 与时间 t联系起来 【考点】弧长公式，倍角公式， 函数的图像 第 卷 二、填空题 11.【答案】 2 【解析】由 1yx?， 得 1yx? ? 【提示】 求出函数的导函数，求出 1x? 时的导数值，写出曲线 1( )y x a? ? ?R在点 (1,2
8、) 处的切线方程，把原点坐标代入即可解得 ? 的值 【考点】导数的几何意义 12.【答案】 6 【解析】每天植树的棵树构成以 2为首项， 2为公比的等比数列，其前 n项和 11 (1 ) 2 (1 2 ) 221 1 2n n nn aqS q ? ? ? ? ? 由 12 2 100n? ? 得 12 102n? ? 由于 672 64 2 128?， ，则 17n? 即 6n? 【提示】 由题意可得，第 n 天种树的棵数 na ， 是以 2为首项，以 2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出 n 天中种树的棵数满足 100nS? ，解不等式可求 【考点】等比数列的概念及其前 n项和公
9、式 13.【答案】 2a? 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】设 ( ) 3 sin 3 c o s 3f x x x?，由于 ( ) 3 s i n 3 c o s 3 2 s i n 36f x x x x? ? ? ?则 | ( ) | 2 s in 3 26f x x? ? ?要使 | ( )|f x a? 恒成立，则 2a? 【提示】构造 函数 ( ) 3 sin 3 c o s 3f x x x?， 利用正弦定理 的 特点 求出 ()fx的 值 域 ，从而可得出答案 【考点】 两角和与差的正弦函数 ， 正弦函数的定义域和值域 14.【答案】 (4,0) 【解析】因为圆的弦的垂直平
10、分线必过圆心且圆经过点 (0,0) 和 (4,0) ，所以设圆心为 (2, )m 又因为圆与直线 1y? 相切，所以 22( 4 2 ) ( 0 ) | 1 |mm? ? ? ? ? 所以 224 2 1m m m? ? ? ?，解得 3,2m? 所以圆的方程为 22 3 2 5( 2 )24xy? ? ? ? 【提示】 设出圆的圆心坐标，利用 圆与 直线相切，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程 【考点】 圆的标准方程 ， 圆与直线的位置关系及圆的弦的性质 15.【答案】 4 【解析】取 CD 的中点 H ，连接 EH FH、 在正四面体 CDEF 中，由于 CD EH CD HF?，
11、，所以 CD? 平面 EFH ，所以 AB? 面 EFH ，则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则 EF 也与之平行，与其余四个平面相交 【提示】 判断 EF 与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线 EF 相交的平面个数 【考点】线面垂直的判定 ,线面平行的判定 三、解答题 16.【答案】（） 2 ( 2 1 ) 2 0 ( 2 ) ( 1 ) 0n n n na n a n a n a? ? ? ? ? ? ?由 得由于 na 是正项数列，则 2nan? （）由（）知 2nan? ，故 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 2 1n nb n a n
12、n n n? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 1 11 . . . 12 2 2 3 1 2 1 2 2nT n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n 【提示】（） 通过分解因式，利用正项数列 na ，直接求数列 na 的通项公式 na ； （） 利用数列的通项公式化简 1 1 1 1( 1 ) 2 1n nb n a n n? ? ?，利用裂项法直接求数列 nb 的前 n 项和 nT 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】数列的通项公式和数列的前 n 项和的求法 17.【答案】（）由已知得 2s i n s i n s i n
13、 s i n 1 2 s i n 1A B B C B? ? ? ?故 2s in s in s in s in 2 s inA B B C B? 因为 sinB 不为 0 ，所以 sin sin 2sinA C B? 再由正弦定理得 2a c b? ，所以 a b c， ， 成等差数列 （）由余弦定理知 2 2 2 2 co sc a b ac C? ? ? ，得 2 2 2 2 ( 2 ) 2 c o s 3b a a b a c? ? ? ?化简得 35ab? 【提示】（）根据 条件利用 二倍角 公式可得 2s in s in s in s in 2 s inA B B C B?，再 由
14、正弦定理可得 2a c b? ，由此可得 a b c， ， 成等差数列 （） 若 23C? ，由 余弦定理 可得 2 2 2 2 co sc a b ac C? ? ? ，化简可得 35ab? 【考点】正弦定理，余弦定理 18.【答案】（）根据 题意得： X 的所有可能取值为 2? ， 1? ， 0， 1 （） 数量积为 2? 的有 25OAOA ，共 1种，数量积为 1? 的有 15OAOA ， 16OAOA ， 24OAOA ， 26OAOA ，34OAOA ， 35OAOA 共 6 种，数量积为 0 的有 13OAOA ， 14OA OA ， 36OAOA ， 46OAOA 共 4 种，
15、数量积为 1 的有 12OAOA ， 23OAOA ， 45OAOA ， 56OAOA 共 4 种，故所有的可能共 15 种，所以小波去下棋的概率1 715P?，去唱歌的概率2 415P?，故不去唱歌的概率为：2 4 1 1111 5 1 5PP? ? ? ? ?【提示】（） 由题意可得： X的所有可能取值为 2? ， 1? ， 0， 1 （） 列举分别可得数量积为 2? ， 1? ， 0， 1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案 【考点】 平面向量数量积的运算；古典概型及其概率计算公式 19.【答案】（） 证明：如图 ， 过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F ， 则 2 1 2B
16、F A D E F A B D E F C? ? ? ? ? ?， ， 在 36R t B F E B E R t B F C B C? 中 ， ， 中 ， 在 2 2 29B C E B E B C E C? ? ? ?中 ， 因 为 ，故 BE BC? 由 1BB? 平面 ABCD ，得 1BE BB? ，所以 BE? 平面 11BBCC （） 三棱锥 1 1 1E ABC? 的体积1 1 111 23 A B CV AA S? r 【 ;百万教育资源文库 】 在 1 1 1Rt ADC? 中 221 1 1 1 1 1 2A C A D D C? ? ? 3 ， 同理， 2211 2E
17、C E C C C? ? ? 3， 2 2 211 3E A A D E D A A? ? ? ? 2 由余弦定理的1 1 1 125c o s s i n33A C E A C E? ? ? ? ?，因此11 1 1 1 1 11 s i n 52A C ES A C E C A C E? ? ? ? ? ? 3 设点 1B 到平面 11EAC 的距离为 d ，则三棱锥 1 1 1B EAC? 的体积 1 1 11 1 05 5 235A B CV d S d d d? ， 从 而 ， 【提示】（） 过点 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F 点 ，算出 BF EF FC、 、 的长，从而 利用 直角三角形勾股定理算出 BE BC、 的长，由勾股定理的逆定理得 BE BC? ，结合 1BE BB? ， 利用线面垂直的判定定理，可证出 BE? 平面 11BBCC （） 根据 题意 ，可 算出 三棱锥 1 1 1E ABC? 的体积 根据线面垂直的性质和勾股定理， 分别 算出 11AC 1EC
