1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (福建卷 ) 数学 (理工农 医类 )答案 解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 D 【解析】由 1 2iz? ，得 12zi? ，故复数 z 对应的点 (1, )2? 在第四象限 【提示】 求出复数 z，复数 z 的对应点的坐标，即可得到选项 【考点】复平面 2.【答案】 A 【解析】若 3a? ，则 1,3AB? ，故 3a? 是 AB? 的充分条件； 而若 AB? ，则 a 不一定为 3，当 2a? 时，也有 AB? 故 3a? 不是 AB? 的必要条件故选 A 【提示】 先有 3a? 成立判断是否能推出 AB?
2、 成立，反之判断 “ AB? ” 成立是否能推出 3a? 成立；利用充要条件的题意得到结论 【考点】充分、必要条件 3.【答案】 C 【解析】双曲线 224 1x y? 的顶点为 ()2,0? ，渐近线方程为 12yx? ， 即 20xy?和 20xy?故其顶点到渐近线的距离 | 2 | 2 2 551 4 5d ? ? ? 【提示】 由对称性可取双曲线 224 1x y? 的顶点 ()2,0? ，渐近线 12yx? ，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离 【考点】双曲线的简单几何性质 4.【答案】 B 【解析】由频率分布直方图 4060 分的频率为 0 .0 0 5 0 .0 1
3、 5 1 0) 0.( 2? ? ?，故估计不少于 60 分的学生人数为600 1 0().2 480? ? 【提示】 根据频率分布直方图，成绩不低于 60 分的频率，然后根据频数 ? 频率 ?总数可求出所求 【考点】频率分布直方图 5.【答案】 B 【解析】 0a? 时，方程变为 20xb? ，则 b 为 1? ， 0， 1， 2 都有解； 0a? 时，若方程 2 20ax x b? 有实数解，则 22 4 0ab? ?，即 1ab? 【 ;百万教育资源文库 】 当 1a? 时， b 可取 1? ， 0， 1， 2 当 1a? 时， b 可取 1? ， 0， 1 当 2a? 时， b 可取
4、1? ， 0， 故满足条件的有序对 (),ab 的个数为 4 4 3 2 13? ? ? ? 【提示】 由于关于 x 的方程 2 20ax x b? 有实数根，所以分两种情况：（ ）当 0a? 时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于 0，由此即可求出 a 的取值范围；（ ）当 0a? 时，方程为 20xb? ，此时一定有解 【考点】实系数一元二次方程 6.【答案】 A 【解析】 当 10k? 时，执行程序框图如下： 01Si?， ； 12Si?， ； 1 2 3Si? ? ?， ； 21 2 2 4Si? ? ? ?， ； 281 2 2 2 1 0Si? ? ? ? ?，； 291
5、 2 2 2 1 1? ? ? ? ?， 【提示】 从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能 【考点】循环结构程序框图，等比数列的通项 7.【答案】 C 【解析】 1 ( 4 ) 2 2 0A C B D ? ? ? ? ? ?， AC BD 又 | 2| | 1 2 5AC ? ? ?， 224 2 1 6 4 2 5BD ? ? ? ? ? ? ?， | 5| |A B C D A C B DS ?四 边 形 【提示】 通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可 【考点】向量的数量积运算 8.【答案】 D 【解析】选项
6、A，由极大值的定义知错误； 对于选项 B，函数 ()fx与 ()fx? 的图象关于 y 轴对称， 0x? 应是 ()fx? 的极大值点，故不正确； 对于 C 选项，函数 ()fx与 ()fx? 图象关于 x 轴对称， 0x 应是 ()fx? 的极小值点，故不正确； 而对于选项 D，函数 ()fx与 ()fx?的图象关于原点成中心对称，故正确 【提示】给出函数 ()fx的极值点 0x 0( 0)x? ，判断 ()fx? 及 ()fx?的极值点 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】函数单调性的综合应用 9.【答案】 C 【解析】 na 是等比数列， 1mn mmn maa ? ?= ( 1)mn
7、m m n m mqq? ? ? ? ? ， 1nncc? = 121 1 1 2 1m n m n m n mm n m n m n ma a aa a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =()mmq = 2q 【提示】由等比数列 na 的 m 项组成的数列 nb ， nc ，判断它 们的性质 【考点】等差、等比数列的性质，通项与求和 10.【答案】 D 【解析】由题意（ ）可知， S 为函数 ()y fx? 的定义域， T 为函数 ()y fx? 的值域 由（ ）可知，函数 ()y fx? 在定义域内单调递增，对于 A，可构造函数 1yx?， *x?N ， y?N ，满足条件；
8、 对于 B，构造函数 8 , 1,51 , 1 3 ,2xyxx? ? ? ? ? ? ? ? ?满足条件； 对于 C，构造函数 tan 22yx?， 1()0,x? ，满足条件； 对于 D，无法构造函数其定义域为 Z ， 值域为 Q 且递增的函数，故选 D 【提示】 利用题目给出的 “ 保序同构 ” 的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即 B 是函数的值域，且函数为定义域上的增函数排除掉是“ 保序同构 ” 的，即可得到要选择的答案 【考点】函数的图象与性质 第 卷 二 、 填空题 11.【答案】 23 【解析】由 3 1 0a?
9、得 13a? ，由几何概型知 131 213P ? 【提示】利用几何概型求解事件概率 【考点】几何概型 12.【答案】 12 【解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径 2222 2 2 2 1 2r ? ? ? ?，所以【 ;百万教育资源文库 】 3r? ，故该球的表面积为 24 4 3 1 2Sr ?球 【提示】 由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为 2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可 【考点】由三视图求几何体的表面积 13.【答案】 3 【解析】 AD AC ， 2DAC? 22sin3BAC? ， 22sin23BAD? ? ?， 2os 2
10、3c BAD? 由余弦定理得 2 22 2 2 22 c o s 3 2 3 2( 3 2 ) 3 2 33B D A B A D A B A D B A D? ? ? ? ? ? ? ? ? 3BD? 【提示】 利用 诱导公式化简 sin BAC? ， 求出 cos BAD? ， 利用余弦定理即可求出 BD 的长 【考点】诱导公式，余弦定理 14.【答案】 31? 【解析】由直线 3( )y x c?知其倾斜角为 60? ，由题意知 12 60MFF? ? ? ，则 2 1 1 230 90M F F F M F? ? ? ? ? ?， 故 1|MF c? ， 2|MF c? 又 1 2|
11、| 2MF MF a?， ( 3 )12ca?，即 2 3131e ? ? ? 【提示】 由直线 3( )y x c?知其倾斜角为 60? ， 又直线与椭圆的一个交点 ， 利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系 可得 【考点】直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单几何性质 15.【答案】 113 112nn? ? ?【解析】由 0 1 2 2 1C C C C ( )nnn n n nnxx xx? ? ? ? ? ， 两边同时积分得： 1 1 1 10 1 2 22 2 2 20 0 0 01 nnn n n nC d x C x d x C x d x C x d x? ? ? ? ? ? ?12
12、0 (1 )nx dx?， 2 3 10 1 21 1 1 1 1 1 12 2 2 3 2 1 2nnn n n nC C C Cn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【 ;百万教育资源文库 】 1 112101 1 1 1 1 31 1 11 1 2 1 1 2nnnxn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】 根据二项式定理得 0 1 2 2 1C C C C ( )nnn n n nnxx xx? ? ? ? ? ，两边同时积分整理后，整理即可得到结论 【考点】微积
13、分基本定理求定积分，二项式定理 三 、 解答题 16.【答案】（） 1115 （） 选择方案甲 【解析】 解法一 ：（ ）由已知得小明中奖的概率为 23 ，小红中奖的概率为 25 ，且两人中奖与否互不影响 记 “ 这 2 人的累计得分 3X? ” 的事件为 A，则事件 A 的对立事件为 “ 5X? ” ， 因为 2 2 435) 15(5PX ? ，所以 111( ) 1 ( 5 ) 5P A P X? ? ? ?，即这 2 人的累计得分 3X? 的概率为 1115 （ ）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 1X ，都选择方案乙抽奖中奖次数为 2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期
14、望为 1(2 )EX，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 2(3 )EX 由已知可得，1 2 2, 3XB?，2 2 2, 5XB?，所以1 24( ) 2 33EX ? ?，2 24( ) 2 55EX ? ?， 从而118( ) ( ) 322E X E X?，22 12( ) ( ) 533E X E X? 因为 12(2 )3E X E X? ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大 解法二： （） 由已知得，小明中奖的概率为 23 ，小红中奖的概率为 25 ，且两人中奖与否互不影响 记 “ 这 2 人的累计得分 3X? ” 的事件为 A， 则事件 A 包含有 “ 0X
15、? ” ， “ 2X? ” ， “ 3X? ” 三个两两互斥的事件， 因为 2 2 1( ) 1 13 5 50PX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 2( ) 132 55PX ? ? ? ?， 2 2 2( ) 13 5 13 5PX ? ? ? ?， 所以 0 11( ) ( ) ( 23) ( ) 15P A P X P X P X? ?， 即这 2 人的累计得分 3X? 的概率为 1115 （） 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分 1X ，都选择方案乙所获得的累计得分为 2X ，则 1X ， 2X的分布列如下： 1X 0 2 4 P 19 49
16、49 【 ;百万教育资源文库 】 2X 0 3 6 P 925 1225 425 所以1 1 4 4 802() 49 9 9 3EX ? ? ? ? ? ?，2 9 1 2 4 1 20 3 62 5 2 5 2 5 5()EX ? ? ? ? 因为 12( ) ( )E X E X? ， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大 【提示】利用求解对立事件的概率及离散型随机变量的分布，求解概率及期望 【考点】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望 17.【答案】 函数 ()fx的定义域为 (0, )? ， 1() afx x? （ ）当 2a? 时， ( ) 2lnf x x
17、x? ， 2( ) 1 ( 0)f x xx? ? ? ?， 因而 (1) 1f ? ， (1) 1f? ? ， 所以曲线 ()y fx? 在点 ()1, (1)Af 处的切线方程为 1 ( 1)yx? ? ? ，即 20xy? ? ? （ ）由 ( ) 1 a x afx xx? ? ? ? ， 0x? 知： 当 0a? 时， ( ) 0fx? ? ，函数 ()fx为 (0, )? 上的增函数，函数 ()fx无极值； 当 0a? 时，由 ( ) 0fx? ? ，解得 xa? 又当 ,()0xa? 时， ( ) 0fx? ? ；当 ,()xa? ? 时， ( ) 0fx? ? ，从而函数 ()fx在 xa? 处取得极小值，且极小值为 ( ) lnf A a a a? ，无极大值 综上，当 0a? 时，函数 ()fx无极值； 当 0a? 时，函数 ()fx在
