1、【 ;百万教育资源文库 】 2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学答案解析 数学 一、填空题 1.【答案】 1,2,4,6 【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合 A和集合 B的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是 1， 2， 4， 6，所以答案为 1,2,4,6 。 【提示】 由题意， A， B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可 。 【考点】 并集及其运算。 2.【答案】 15 【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为 50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为： 350 151
2、0?人，答案 15 。 【提示】 根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数。 【考点】 分层抽样方法。 3.【答案】 8 【解析】据题 1 1 7 i ( 1 1 7 i ) ( 1 2 i ) 2 5 1 5 ii 5 3 i1 2 i ( 1 2 i ) ( 1 2 i ) 5ab ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 53ab?， ，从而 8ab? 。 【提示】 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以 12i? ，再由进行计算即可得到 i 5 3iab? ? ? ，再由复数相等的充分条件即可得到 a， b的值，从而
3、得到所求的答案 【考点】 复数代数形式的乘除运算 ， 复数相等的充要条件。 4.【答案】 5 【解析】根据循环结构的流程图，当 1k? 时，此时 2 5 4 0kk? ? ? ；不满足条件，继续执行循环体，当 2k?时， 2 5 4 6kk? ? ? ；不满足条件，继续执行循环，当 3k? 时， 2 5 4 2kk? ? ? 不满足条件，然后依次出现同样的结果，当 5k? 时，此时 2 5 4 4kk? ? ? ，此时满足条件跳出循环，输出 k的值为 5。 【提示】 利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循 环，得到结果即可。 【考点】 循环结构 。 5.【答案】
4、(0, 6 【解析】根据题意得到 61 2log 0x?，同时， 0x? ，解得6 1log 2x?，解得 6x? ，又 0x? ，所以函数【 ;百万教育资源文库 】 的定义域为： (0, 6 。 【提示】 根据开偶次方被开方数要大于等于 0，真数要大于 0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果。 【考点】 对数函数的定义域。 6.【答案】 35 【解析】组成满足条件的数列为： 1 3 9 2 7 , 8 1 2 4 3 7 2 9 2 1 8 7 6 5 6 1 1 9 6 8 3? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ，从中随机取出一个数共有取法 10 种，其中小
5、于 8的取法共有 6种，因此取出的这个数小于 8的概率为 35。 【提示】 先由题意写出成等比数列的 10个数，然后找出小于 8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解 。 【考点】等比数列的性质，古典概型及其概率计算公式。 7.【答案】 36cm 【解析】如图所示，连结 AC 交 BD 于点 O ，因为平面 11ABCD BB D D? ，又因为 AC BD? ，所以，11AC BB D D?平 面 ，所以四棱锥 11A BBDD? 的高为 AO ，根据题意 3cmAB AD?，所以 322AO? ，又因为 3 2cmBD? ， 1 2cmAA? ，故矩形 11BBDD 的面积为 26 2
6、cm ，从而四棱锥 11A BBDD? 的体积31 3 26 2 6 c m32V ? ? ? ?。 【提示】 过 A作 AO BD? 于 O ，求出 AO ，然后求出几何体的体积即可。 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积。 8.【答案】 2 【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在 x轴上（否则不成立），因此 0m? ，由离心率公式得到2 4 5mmm? ，解得 2m? 。 【提示】 由双曲线方程得 2y 的分母 2 40m ? ，所以双曲线的焦点必在 x 轴上。因此 2 0am? ? ，可得OD 1A 1C 1B 1ACDB【 ;百万教育资源文库 】 22 4c m m? ? ? ，最后根据双曲
7、线的离心率为 5 ，可得 225ca? ，建立关于 m 的方程： 2 45m m m? ? ? ，解之得 2m? 。 【考点】 双曲线的简单性质。 9.【答案】 2 【解析】根据题意 AF BC DF?，所以 ( ) | | | | c o s 0 2 | | 2A B A F A B B C D F A B B C A B D F A B D F A B D F D F? ? ? ? ? ? ? ? ?， 从而得到 | | 1DF? ，又因为 A E A D D F B F B C C F? ? ? ?， ， 所以 2( + ) ( + ) | B C | + 0 + 0 + | | | C
8、 F | c o s 1 8 0 2A E B F A D D F B C C F D F? ? ? ?。 【提示】 根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于 0，得到结果。 【考点】 平面向量数量积的运算。 10.【答案】 10? 。 【解析】因为 1322ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，函数 ()fx的周期为 2，所以 1 3 122 2 2f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，根据 0111() 2 01xxaxfx bxx? ? ， ，
9、 ，得到 3 2 2ab? ? ， 又 (1) ( 1)ff?，得到 21 2ba ? ? ? ，即 20ab? ，结合上面的式子解得 24ab? ?， ，所以 3 10ab? ? 。 【提示】 由于 ()fx是定义在 R 上且周期为 2的函数， 由 ()fx的表达式可得 3 1 1 412 2 2 3bf f a f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 再由 (1) ( 1)ff?得 20ab? ， 解关于 ab， 的方程组可得到 ab， 的值，从而得到答案。 【考点】 函数的周期性 ， 分段函数的解析式求法及其图象的作法。 11.【答案】
10、17250 【解析】根据 4cos 65? ?， 2 1 6 7c o s 2 2 c o s 1 2 13 6 2 5 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 cos 2 03?，所以 2 7 2 4s in 2 13 2 5 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 1 7 2s i n 2 s i n 2 s i n 2 c o s c o s 2 s i n1 2 3 4 3 4 3 4 5 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
11、?。 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】用 二倍角公式 可 由 4cos 65? ?得 7co s 2 03 2 5? ? ?，再 求得 sin 2 3?。又 s i n 2 s i n 2 s i n 2 c o s c o s 2 s i n1 2 3 4 3 4 3 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即可求得 。 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 ， 两角和与差的余弦函数 ， 两角和与差的正弦函数 ， 二倍角的正弦。 12.【答案】 43 【解析】根据题意 22 8 15 0x y x?
12、 ? ? ?将此化成标准形式为： ? ?2 241xy? ? ? ，得到该圆的圆心为 (4,0)M ，半径为 1 ， 若直线 2y kx?上至少存 在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，只需要圆心(4,0)M 到直线 2y kx?的距离 11d?即可，所以有 2| 4 2 | 21kd k ? ，化简得 (3 4) 0kk?解得 40 3k? ，所以k的最大值是 43。 【提示】 由于圆 C 的方程为 22( 4) 1xy? ? ? ，由题意可知，只需 22( 4) 1xy? ? ? 与直线 2y kx?有公共点即可 。 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 ， 直线与圆
13、的位置关系 。 13.【答案】 9 【解析】根据函数 2( ) 0f x x ax b? ? ? ?，得到 2 40ab?，又因为关于 x的不等式 ()f x c? ，可化为：2 0x ax b c? ? ? ?，它的解集为 ( , 6)mm? ，设函数 2()f x x ax b c? ? ? ?图象与 x轴的交点的横坐标分别为12xx， ，则 21| | 6 6x x m m? ? ? ? ?，从而 221( ) 36xx?，即 21 2 1 2( ) 4 36x x x x? ? ?，又因为 1 2 1 2x x b c x x a? ? ? ? ?， ，代入得到 9c? 。 【提示】
14、根据函数的值域求出 a与 b的关系，然后根据不等式的解集可得 (x)fc? 的两个根为 m ， 6m? ，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可。 【考点】 一元二次不等式的应用 14.【答案】 e,7 【解析】 4c a b 0? ? ? ， 14ca?。 453 caca? ， 2ca?。 从而 2 4 1 7ba ? ? ? ? ，特别当 7ba? 时，第二个不等式成立。等号成立当且仅当 : : 1:7:2abc? 。 又 lnln a c ccb? ， 0 lnbacc? ， 从而lnbcbcba? ，设函数 ( ) ( 1)lnxf x xx?。 2ln 1() (ln )xfx
15、x? ?， 当 0ex? 时， ( ) 0fx? ? ，当 ex? 时， ( ) 0fx? ? ，当 ex? 时 ( ) 0fx? ? 。 ?当 ex? 时， ()fx取到极小值，也是最小值。 e( ) (e) eln em inf x f? ? ? ?。 【 ;百万教育资源文库 】 等号当且仅当 eba? 时 成立。代入第一个不等式知： 2 e 3ba? ? ? ，不等式成立，从而 e可以取得。等号成立当且仅当 : : 1:e:2abc? 。从而 ba的取值范围是 e,7 双闭区间。 【提示】由 题意可求得 1 24 ca?，而 5 3 4 1c b ca a a? ? ? ?，于是可得 7
16、ba? ；由 lnln a c ccb? 可得0 lnbacc? ， 从而 lnbcbcba? ，设函数 ( ) ( 1)lnxf x xx?，利用其导数可求得 ()fx的极小值，也就是 ba的最小值，于是问题解决。 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 ， 不等式的综合 。 二、解答题 15.【答案】（ 1）证明 ： 3AB AC BA BC? | | | | c o s 3 | | | | c o sA B A C A B A B C B? | | c o s 3| | c o sA C A B C B? 由正弦定理得： | | | |sin sinAC BCBA? sin c o
17、s 3 sin c o sB A A B? tan 3tanBA? （ 2） 解： 5cos 5C? ，且 0 C? 25sin 5C? tan 2C? tan( ) 2AB? ? 又 tan 3tanBA? 2t a n t a n t a n 3 t a n 4 t a n2 1 t a n t a n 1 t a n t a n 1 3 t a nA B A A AA B A B A? ? ? ? ? ? tan 1A? 或 13? tan 3tanBA? A， B必为锐角，否则 A， B同时为钝角，这与三角形的内角和小于 180? 矛盾 tan 0A? tan 1A? 4A? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 （ 1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以 c 化简后，再利用正弦定理变形，根据 cos cos 0AB? ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到 tan 3tanBA? 。 （ 2）由 C 为三角形的内角，及 cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 tanC 的值，由 tanC 的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出 tan( )AB? 的值，利用两角和与
