1、【 ;百万教育资源文库 】 2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（文科）答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 2 2 2 0 1 B x x x x A B? ? ? ? ? ? ?， ， 【 提示】用图象法求集合交集 【考点】集合的基本运算 2.【答案】 B 【解析】 1 1 1 1 1 2iii 1 2 2 2 2 2zz? ? ? ? ? ? ? ? ? ，【提示】利用 2i1? 对复数进行化简，然后再求模 【考点】复数代数形式的四则运算 3.【参考答案】 A 【试题解析】 ? ?34AB?， ，则与其同方向的单位向量 34,55ABeAB ? ?
2、?【提示】同方向的单位向量求法，向量除以模长即可 【考点】向量的坐标运算，单位向量的求解 4.【答案】 D 【解析】根据等差数列的性质判定 . 0d? ， ? 1nnaa? ? ， ? 1p 是真命题， （步骤 1） 1nn? ，但是 na 的符号不知道， ? 2p 是假命题 . （步骤 2） 同理 3p 是假命题 . 1 3 ( 1 ) 3 4 0nna n d a n d d? ? ? ? ? ? ?， ? 4p 是真命题 . （步骤 3） 【提示】根据等差数列的性质判定 【考点】等差数列的性质 5.【答案】 B 【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于 60分的频率是 0 .0 0 5
3、 0 .0 1 2 0 0 .3? ? ?()，所以该班的学生人数是 【提示】通过频率分布直方图及某一频数，根据频数计算公式求总体频数 【考点】频率分布直方图 【 ;百万教育资源文库 】 6.【答案】 A 【解析】根据正弦定理与和角公式求解 .由正弦定理可得 sin sin cosA B C ? 1s in s in c o s s in2C B A B?，（步骤 1） 又 sin 0B? ， ?sin cosAC? 1sin cos 2CA? ， ? 1sin ( ) sin 2A C B? ? ?（步骤 2） ab? ， ? =6B? （步骤 3） 【提示】可根据 sin 0B? 约去等式
4、两边 sinB ，再根据两角和的正弦公式即可 【考点】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式 7.【答案】 D 【解析】 2 2 2 2( ) ( ) l n ( 1 9 3 ) l n ( 1 9 3 ) 2 l n ( 1 9 9 ) 2f x f x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln1 2 2? ? ? 由上式关系知 1( l g 2 ) ( l g ) ( l g 2 ) ( l g 2 ) 22f f f f? ? ? ? ?. 【提示】通过 ( ) ( ) 2f x f x? ? ?可知 1(lg 2) (lg ) 22ff? 【考点】对数函
5、数的化简与求值 . 8.【答案】 A 【解析】运行一次后，2110 2 1 3S ? ? ?， 4i? ；运行两次后，21 1 23 4 1 5S ? ? ?， 6i? ；运行三次后，22 1 3= + = 85 6 1 7Si? ，运行四次后，23 1 47 8 1 9S ? ? ?， 10,10 8i?，停止循环，输出 S 【提示】按照循环结构的程序框图一步步求解 9.【答案】 C 【解析】根据直角三角形的直角的位置求解 .若以 O 为直角顶点，则 B 在 x 轴上，则 a 必为 0 ，此时 ,OB重合，不符合题意；若 2A? ，则 3 0ba?，若 2B? ，根据斜率关系可知 32 1a
6、ba a? ? ，所以 3( ) 1a a b? ? ，即 3 1 0baa? ? ? .以上两种情况皆有可能，故只有 C 满足条件 . 【提示】根据直角三角形的直角的位置求解 【考点】直线的位置关系 10.【答案】 C 【解析】根据球的内接三棱柱的性质求解 . 直三棱柱中 13 4 1 2A B A C A A? ? ?， ， ，AB C? ， ? 5BC? ，且 BC 为过底面 ABC 是截面圆的直径，取 BC 中点 D ，则 OD 底面 ABC ，则 O 在侧面 11BCCB内，矩形 11BCCB 的对角线长即为球直径， 222 12 5 13R ? ? ?，即 132R? 【 ;百万教
7、育资源文库 】 【提示】根据球的内接三棱柱的性质求解 . 【考点】球内接三棱柱，球截面的性质 . 11.【答案】 B 【解析】利用余弦定理确定 AF ，进而判定 ABF 的形状，利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率 .在ABF 中， 2 2 2 22 4= 2 c o s 1 0 8 2 1 0 8 3 65A F A B B F A B B F A B F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 6AF? （步骤 1） 由 2 2 2AB AF BF?可知， ABF 是直角三角形， OF 为斜边 AB 的中线 52ABc OF? ? ? （步骤 2） 设椭圆的另一焦点为 1F ， 点 O
8、 平分 AB ，且平分 1FF ， ?四边形 1AFBF 为平行四边形， ?由椭圆的性质可知 1 14 2A F A F a? ? ? 7a?， 则 57ce a? （步骤 3） 【提示】利用余弦定理确定 AF ，进而判定 ABF 的形状，利 用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率 . 【考点】余弦定理，简单几何，椭圆的性质 12.【答案】 C 【解析】根据二次函数图象的特征解决 .由 ( ) ( )f x g x? ， 得 2( ) 4xa? （步骤 1） ?当 2xa?和 2xa?时，两函数值相等 . ()fx图象为开口向上的抛物线， ()gx图象为开口向下的抛物线，两图象在 2xa?和 2
9、xa?处相交，则： 1()Hx?( )( 2 )( )( 2 2 )( )( 2 )f x x ag x a x af x x a? ? ? ?，2( ) ( 2 ) ,( ) ( ) ( 2 2 )( ) ( 2 ) ,g x x aH x f x a x ag x x a? ? ? ? ?（步骤 2） ? 1 m i n 2 m a x( ) ( 2 ) 4 4 ( ) ( 2 ) 4 1 2 ,A H x f a a B H x g a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? 16.AB? ? （步骤 3） 【提示】根据二次函数图象的特征解决 . 【考点】二次函数与对应一元
10、二次方程的关系，利用图象确定最值 第 卷 二、填空题 13.【答案】 16 16? 【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为 2，高为 4，故体积为 16 ；正四棱柱底面边长为 2，高为 4，故体积为 16，故题中几何体的体积为 16 16.? 【提示】根据三视图画出立体图求解 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】由三视图求几何体的体积 14.【答案】 63 【解析】 13aa， 是方程 2 5 4 0xx? ? ? 的两个根，且数列 ?na 是递增的等比数列 ? 131 4 2a a q? ? ?， ， ， 66 12 63.12S ?【提示】先求等比数列
11、中两项值，即方程的两根，再由数列为递增数列求出数列的前 n 项和 【考点】等比数列及其性质，等比数列的前 n项和 15.【答案】 44 【解析】由双曲线方程知， 4, 3, 5,b a c? ? ? 则虚轴长为 8 ，则 16PQ? .由左焦点 ? ?50F?， ，且 ? ?5,0A 恰为右焦点，知线段 PQ 过双曲线的右焦点，则都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知22P F P A a Q F Q A a? ? ? ?， ，两 式 相 加 得 ， ( ) 4P F Q F P A Q A a? ? ? ?则4 4 3 1 6 2 8P F Q F a P Q? ? ? ? ? ?，故 PQ
12、F 的周长为 28 16 44? . 【提示】根据双曲线方程、点 A 坐标、 PQ 与虚轴长之间的关系即可求出三角形周长 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单几何性质 16.【答案】 10 【解析】设 5个班级中参加的人数分别为 1 2 3 4 5x x x x x， ， ， ， ， 则由题意知 2 2 2 2 21 2 3 4 51 2 3 4 57 , ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) 2 0 ,5x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?五个整数的平方和为 20 ，则必为 0 1 1 9 9=20? ? ? ? ，由 7
13、1x?可得 8x? 或 6x? ，由上可知参加的人数分别为 4， 6， 7， 8， 10，故样本数据中的最大值为 10. 【提示】根据样本平均数、样本方差样本组数，即可求样本数据中的最大值 . 【考点】用样本数字特征估计总体数字特征 三、解答题 17.【答案】（ 1） 222 2 2 2 2( 3 s i n ) s i n 4 s i n , c o s s i n 1 ,a x x x b x x? ? ? ? ? ? ? 24sin 1.x? （步骤 1） 又 x 0,2?， ? 1sin ,2x? ? 6x? . （步骤 2） （ 2） ( ) 3 sinf x x?ab ， 2 3
14、1 1 1c o s s i n s i n 2 c o s 2 s i n ( 2 )2 2 2 6 2x x x x x? ? ? ? ? ? ? ，【 ;百万教育资源文库 】 ?当 3x? 0,2?时， sin(2 )6x? 取最 大值 1. （步骤 3） ? ()fx的最大值为 32 （步骤 4） 【提示】根据两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，即可求出 x 的值，函数的最大值 . 【考点】向量模的求法，平面向量数量积运算，两角差的正弦，正弦函数的性质 . 18.【答案】（ 1） AB 是圆 O 的直径， ?AC BC ， （步骤 1） PA 平面 ABC ， BC ? 平面
15、 ABC ， ?PA BC （步骤 2） 又 PA AC A? ， PA ? 平面 PAC ， AC ? 平面 PAC ， ?BC 平面 PAC .（步骤 3） （ 2）连接 OG 并延长交 AC 于点 M ，连接 ,QMQO ， G 为 AOC 的重心， ?M 为 AC 中点 . （步骤 4） Q 为 PA 中点， ?QM PC ， （步骤 5） 又 O 为 AB 中点， ?OM BC . （步骤 6） QM MO M? ， QM ? 平面 QMO ， MO ? 平面 QMO ， BC PC C? ， BC ? 平面 PBC ， PC ? 平面 PBC ， ?平面 QMO 平面 PBC .（
16、步骤 7） QG ? 平面 QMO ， ?QG 平面 PBC . 【提示】 由线线垂直证明线面垂直，借助做辅助线，可由面面平行证明线面平行 【考点】线面垂直与线面平行的判定 19.【答案】（ 1）将 4道甲类题依次编号为 1， 2， 3， 4； 2道乙类题依次编号为 5， 6.（步骤 1） 任取 2道题，基本事件为： 12， ， 13， ， 14， ， 15， ， 16， ， 23 ， ， 24， ， 2,5 ， 26， ， 34， ， 35， ，3,6 ， 4,5 ， 4,6 ， 5,6 共 15个，而且这些基本事件的出现是等可能的 . （步骤 2） 用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则
17、A 包含的基本事件有 12， ， 13， ， 14， ， 23 ， ， 24， ， 34， 共 6个， ? ()PA= 62=155 . （步骤 3） （ 2）基本事件同（ 1）用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有 15， ， 16， ， 2,5 ，26， ， 35， ， 3,6 ， 4,5 ， 5,6 共 8个， ? ()PB = 815 .（步骤 4） 【提示】根据列举法求各种概率 20.【答案】（ 1） 抛物线 21:4C x y? 上任意一点 (, )xy 的切线斜率为 2xy? ，且切线 MA 的斜率为 12? ， ?A 点坐标为 114?， ， （步骤 1） ?切线 MA 的方程为 11( 1)24yx? ? ? (步骤 2) 点 M 0(1 2, )y? 在切线 MA 及抛物线 2C 上， 【 ;百万教育资源文库 】 ?0 1 1 3 2 2( 2 2 ) .2 4 4y ? ? ? ? ? ? 20 (1 2 ) 3 2 2 .22y pp? ? ? ? （步骤 3） 由得 2p? （步骤 4） （ 2）设 22121 2 1 2( ) ( ) , ( ) ,44xxN
