1、第 1 页（共 19 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 3 (2)(3)zii，则复数z的实部与虚部之和为( ) A12 B11 C10 D6 2 （5 分）已知集合 |0Ax x，| 22BxZx ，那么(AB ) A0，1 B |02xx C 1，0 D0，1，2 3 （5 分）宋代诗词大师欧阳修的卖油翁中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写： “ （翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿
2、 ”如果铜 钱是直径为5cm的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进 入孔中的概率是( ) A 2 5 B 4 25 C 25 D 16 25 4 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若 曲线C经过点(1,4)P，则其焦点到准线的距离为( ) A 1 8 B 1 4 C4 D8 5 （5 分）已知函数 2 2 ( ) 2 x f xlnx e ，则曲线( )yf x在点(e，f（e）)处的切线方程为( ) A 21 2 yx e B 11 2 yx e C 27 2 yx e D 15 2 yx e 6 （5 分）已知 3
3、 log5a ， 2 5 5b ， 5 log 2c 的大小关系是( ) Aacb Babc Cbac Dcba 7 （5 分）函数 2 ( )cossin1f xxx的图象大致为( ) A 第 2 页（共 19 页） B C D 8 （5 分）已知向量(4, 2)a ，( ,2)bm，若ab，则(m ) A1 B1 C4 D4 9 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程 22 40 xyx若直线(1)yxk上存 在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是( ) A4 B3 C2 D4 10 （5 分）函数( )sin(0)g xx的图象向左平移 5 个单位长度得
4、到函数( )f x，( )f x在 0，2 上有且只有 5 个零点，则的取值范围是( ) A 8 12 ( ,) 55 B 8 12 ,) 55 C 12 29 (,) 5 10 D 12 29 ,) 5 10 11 （5 分）如图是一个几何体的三视图（单位：)cm，若它的体积是 3 2cm，则(a ) A1 B2 C3 D2 12 （5 分）已知( )yf x是定义在R上的奇函数，当(,0)x 时不等式( )( )0f xxfx总 成立若记 0.20.2 2(2 )af，(log 3) (log 3)bf ，( 3) ( 3)cf ，则a，b，c从大到小排 第 3 页（共 19 页） 列的顺
5、序为( ) Aa，b，c Ba，c，b Cc，b，a Dc，a，b 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数x，y满足 5 0 22 0 0 xy xy y ，则目标函数2zxy的最大值为 14 （5 分）若 202022020 0122020 (32)xaa xa xax，则 1352019 aaaa被 12 整除 的余数为 15（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知2bc， 1 cos 4 A ， 2 6ABAB BC ，则边长a的值为 16（5 分） 在三棱锥PABC中，PA平
6、面ABC，2 2AB ，3BC ，4PA， 4 ABC ， 则该三棱锥的外接球体积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17（12 分） 某研究机构对高一学生的记忆力x和判断力y进行了统计分析， 得出如下数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 （1）画出如表数据的散点图； （2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ybxa； （3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为 11 的同学的判断力 参考公式： 11 222 11 ()() ( )() nn iiii ii nn ii ii x y
7、nxyxxyy b xn xxx ， a ybx 第 4 页（共 19 页） 18 （12 分）已知公差不为零的等差数列 n a前 5 项的和为 35，且 1 a， 2 a， 6 a成等比数列， 数列 n b满足2 n a n b （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n b的前n项和 n S 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( ,0)Fc和 2( ,0) F c，离 心率是 1 2 ，直线l过点(0,)Pc交椭圆于A，B两点，当直线l过点 2 F时， 1 F AB的周长为 8 （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线l绕
8、点P运动时，试求 | | PA PB 的取值范围 20 （12 分）如图，在棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为平行四边形，60ABC， 2AD ， 1 4ABAA，F是AD的中点，且 1 C在底面上的投影E恰为CD的中点 （1）求证：AD 平面 1 C EF； （2）若点M满足 111 C MC D，试求的值，使二面角MEFC为135 21 （12 分）已知函数 (21) ( )() 1 ax f xlnxaR x 有两个极值点 1 x和 2 x （）求实数a的取值范围； （）把 22 21 12 xx xx 表示为关于a的函数g（a） ，求g（a）的值域 四解答题（共四解答
9、题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ,( 2sin x y 为参数） 以 坐 标 原 点O为 极 点 ，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ，l的 极 坐 标 方 程 为 sincos4 （）求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程； （）求曲线C上点到l距离的最大值及该点坐标 第 5 页（共 19 页） 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数( )2|1|1|f xxx （1）求不等式( ) 4f x 的解集 （2）记函数( )f x的最小值为
10、t，若a，b，c为正实数，且abct，求的 222 abc最 小值 第 6 页（共 19 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（9） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 3 (2)(3)zii，则复数z的实部与虚部之和为( ) A12 B11 C10 D6 【解答】解： 3 (2)(3)(2)(3)55ziiiii ， 则实部与虚部之和5510 故选：C 2 （5 分）已知集合 |0Ax x，| 22BxZx ，那么(AB ) A
11、0，1 B |02xx C 1，0 D0，1，2 【解答】解： |0Ax x， 1B ，0，1， 0AB，1 故选：A 3 （5 分）宋代诗词大师欧阳修的卖油翁中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写： “ （翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿 ”如果铜 钱是直径为5cm的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进 入孔中的概率是( ) A 2 5 B 4 25 C 25 D 16 25 【解答】解：由题 2 525 ( ) 24 S 圆 ，4S 正方形 ， 所以 16 25 S P S 正方形 圆 故选：D 4 （5 分）在平面直角坐标
12、系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若 曲线C经过点(1,4)P，则其焦点到准线的距离为( ) A 1 8 B 1 4 C4 D8 【解答】解：设抛物线方程： 2 2ypx，代入(1,4)P得8p ，其焦点到准线的距离为 8 故选：D 第 7 页（共 19 页） 5 （5 分）已知函数 2 2 ( ) 2 x f xlnx e ，则曲线( )yf x在点(e，f（e）)处的切线方程为( ) A 21 2 yx e B 11 2 yx e C 27 2 yx e D 15 2 yx e 【解答】解：依题意 2 1 ( ) x fx xe ，故 2 12 ( ) e f e e
13、ee ； 而 2 2 3 ( ) 22 e f elne e ， 故所求切线方程为 32 () 2 yxe e ， 即 21 2 yx e ， 故选：A 6 （5 分）已知 3 log5a ， 2 5 5b ， 5 log 2c 的大小关系是( ) Aacb Babc Cbac Dcba 【解答】解： 333 1 3531 2 logloglog， 1 1 2 a， 2 0 5 551，1b， 555 1 0125 2 logloglog， 1 0 2 c， bac， 故选：C 7 （5 分）函数 2 ( )cossin1f xxx的图象大致为( ) A B 第 8 页（共 19 页） C D
14、 【解答】解： 222 ()cossin1cos()sin () 1cossin1( )fxxxxxxxf x ， ( )f x为偶函数，排除选项A和C； 又 2 (0)cos0sin 0 1 1 0 10f ， 排除选项D， 故选：B 8 （5 分）已知向量(4, 2)a ，( ,2)bm，若ab，则(m ) A1 B1 C4 D4 【解答】解：根据题意，向量(4, 2)a ，( ,2)bm， 若ab，则440a bm，解可得1m ， 故选：B 9 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程 22 40 xyx若直线(1)yxk上存 在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k
15、的值可以是( ) A4 B3 C2 D4 【解答】解：由 22 40 xyx，得 22 (2)4xy， 圆心(2,0)C，半径2r ， 过点P所作的圆的两条切线相互垂直，P，C及两切点构成正方形，则| 2 2PC ， 又P在直线(1)yxk上，圆心到直线的距离 2 |20| 2 2 1 d kk k 解得：2 22 2刱 ? 结合选项可得，实数k的值可以是 2 第 9 页（共 19 页） 故选：C 10 （5 分）函数( )sin(0)g xx的图象向左平移 5 个单位长度得到函数( )f x，( )f x在 0，2 上有且只有 5 个零点，则的取值范围是( ) A 8 12 ( ,) 55
16、B 8 12 ,) 55 C 12 29 (,) 5 10 D 12 29 ,) 5 10 【解答】解：依题意得( )()sin ()sin() 555 f xg xxx ， 2 T ， 如图所示： 因为 55224 52525 A xT ， 229 33 555 B xT ， 所以 2429 2 55 ，解得12 29 510 ， 故选：D 11 （5 分）如图是一个几何体的三视图（单位：)cm，若它的体积是 3 2cm，则(a ) A1 B2 C3 D2 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是长方体的一部分，是四棱锥， 由题意可知，几何体的体积为： 2 1 22 3 a，解得3a 故
17、选：C 第 10 页（共 19 页） 12 （5 分）已知( )yf x是定义在R上的奇函数，当(,0)x 时不等式( )( )0f xxfx总 成立若记 0.20.2 2(2 )af，(log 3) (log 3)bf ，( 3) ( 3)cf ，则a，b，c从大到小排 列的顺序为( ) Aa，b，c Ba，c，b Cc，b，a Dc，a，b 【解答】解：当(,0)x 时不等式( )( )0f xxfx总成立， ( )0 xf x， 令( )( )F xxf x， ( )yf x是定义在R上的奇函数， ()()( )( )Fxxfxxf xF x 函数( )F x在(,0)上单调递减 函数(
18、 )F x在(0,)上单调递增 0.2 0log 3 123 ， 0.20.2 2(2 )af，(log 3) (log 3)bf ， ( 3) ( 3)3cff （3） ， bac 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数x，y满足 5 0 22 0 0 xy xy y ，则目标函数2zxy的最大值为 9 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 第 11 页（共 19 页） 由 50 220 xy xy ，解得(1,4)B， 由2zxy，得 22 xz y 表示斜率为 1 2 ，纵截距为 2 z 的
19、一组平行直线， 平移直线 22 xz y ，当直线经过点(1,4)B时， 此时直线 22 xz y 截距最大，z最大，此时9z 故答案为：9 14 （5 分）若 202022020 0122020 (32)xaa xa xax，则 1352019 aaaa被 12 整除 的余数为 0 【解答】解：由 202022020 0122020 (32)xaa xa xax， 令1x ，可得 2020 0123420192020 5aaaaaaa， 令1x ，可得 0123420192020 1aaaaaaa， 两式相减除以 2，可得 20201010 1352019 51251 22 aaaa ， 因
20、为 101010100 1010 25(24 1)24C 10101 101024 C 10091009 101024 C 110100 10101010 2424CC 10091 1010 2424C 10081009 1010 241C 所以 1010 0 1010 251 1224 2 C 10091 1010 1224C 100810090 10101010 1212(24CC 10091 101024 C 10081009 1010) C， 所以 1010 251 2 能被 12 整除， 所以 1352019 aaaa被 12 整除的余数为 0 故答案为：0 第 12 页（共 19
21、页） 15（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知2bc， 1 cos 4 A ， 2 6ABAB BC ，则边长a的值为 8 【解答】解： 21 ()cos6 4 ABAB BCABABBCAB ACbcAbc ， 24bc， 由 24 2 bc bc 解得 6 4 b c 或 4 6 b c （舍去） ， 222 1 2cos3616264()64 4 abcbcA ， 8a 故答案为：8 16（5 分） 在三棱锥PABC中，PA平面ABC，2 2AB ，3BC ，4PA， 4 ABC ， 则该三棱锥的外接球体积为 13 26 3 【解答】解：如图， 在AB
22、C中，由2 2AB ，3BC ，4PA， 4 ABC ， 得 22 2 2cos8922 235 2 ACABBCAB BCABC ， 设ABC的外心为G，由 5 210 sin2 2 AC GA ABC ，得 10 2 GA ， 设三棱锥PABC外接球的球心为O，连接OA，则 22 1513 ()4 222 OAPAGA 三棱锥的外接球体积为 3 41313 26 () 323 V 故答案为：13 26 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 13 页（共 19 页） 17（12 分） 某研究机构对高一学生的记忆力x和判断力y进
23、行了统计分析， 得出如下数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 （1）画出如表数据的散点图； （2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ybxa； （3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为 11 的同学的判断力 参考公式： 11 222 11 ()() ( )() nn iiii ii nn ii ii x ynxyxxyy b xn xxx ， a ybx 【解答】解： （1）散点图如图： （2） 因为 4 1 628 3105126158 ii i x y ， 6810122356 9,4 44 xy ， 4 22222 1 681012344
24、 i i x ， 所以 2 15849414 0.7 3444920 b ，40.792.3aybx ， 故线性回归方程为0.72.3yx （3）由（2）中线性回归方程可知，当11x 时，0.7 112.35.4y ， 所以预测记忆力为 11 的同学的判断力约为 5.4 第 14 页（共 19 页） 18 （12 分）已知公差不为零的等差数列 n a前 5 项的和为 35，且 1 a， 2 a， 6 a成等比数列， 数列 n b满足2 n a n b （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n b的前n项和 n S 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 由题意， 1 2
25、111 54 535 2 ()(5 ) d a ada ad ，解得 1 1 3 a d 13(1)32 n ann ； （2） 32 22 n an n b ， 31 1 2 n n b ， 31 31 32 2 28 2 n n n n b b ，又 1 2b ， 数列 n b是以 2 为首项，以 8 为公比的等比数列， 则数列 n b的前n项和 31 2(1 8 )22 1 877 nn n S 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( ,0)Fc和 2( ,0) F c，离 心率是 1 2 ，直线l过点(0,)Pc交椭圆于A，B两
26、点，当直线l过点 2 F时， 1 F AB的周长为 8 （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线l绕点P运动时，试求 | | PA PB 的取值范围 【解答】 解：（1） 1 F AB的周长为 111212 | | 48AFBFABAFAFBFBFa， 2a， （2 分） 又 1 2 c e a ，1c ， 22 3bac， 椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy （5 分） （2）设A，B两点坐标分别为 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y， 当直线AB与y轴重合时，A点与上顶点重合时， | 23 | PA PB ， 当直线AB与y轴重合时，A点与下顶点重合时， | 23 | PA
27、 PB ， （6 分） 当直线AB斜率为 0 时， | 1 | PA PB ， 第 15 页（共 19 页） 当直线AB斜率存在且不为 0 时，不妨设直线AB方程为1yxk， 联立 22 3412xy，得 22 (34)880 xx kk， 则有 12 2 8 34 xx k k ， 12 2 8 34 xx k k （8 分） 设 1 2 | | xPA PBx ，则 12 xx ，代入得 22 2 8 34 xx k k 2 2 2 8 34 x k 22 2 2 22222 2 2 2 8 34131 34 (1) 8 (1)(1)8242 () 34 x x k k k kk k ，
28、（10 分） 即 2 1 (1)2 ，解得2323， 综上，23,23（12 分） 20 （12 分）如图，在棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为平行四边形，60ABC， 2AD ， 1 4ABAA，F是AD的中点，且 1 C在底面上的投影E恰为CD的中点 （1）求证：AD 平面 1 C EF； （2）若点M满足 111 C MC D，试求的值，使二面角MEFC为135 【解答】解： （1）证明：分别连结FE， 1 FC 在FED中，1DF ，2DE ，60ADC， 于是 22 2cos603EFDFDEDE DF ， 222 DFEFDE，因此90EFD，即EFAD， 1 C
29、在底面上的投影E恰为CD的中点， 1 C E平面ABCD，又AD 平面ABCD， 1 C EAD，又EFAD， 1 EFC EE，EF， 1 C E 平面 1 C EF， AD平面 1 C EF （2）连结EA，EB，在平行四边形ABCD中， 2ADDEECBC，60EDA，120BCE， 第 16 页（共 19 页） 30CEB，60DEA，故90AEB，即EAEB， 分别以EA，EB， 1 EC的方向为x，y，z，轴的正方向建立空间直角坐标系Exyz，如 图所示： 则(0E，0，0)， 1(0,0,2 3) C，( 1, 3,0)C ， (1,3,0)D， 1(2, 2 3,2 3) D，
30、 33 ( ,0) 22 F， 33 ( ,0) 22 EF ， 111 (2, 2 3,0)(2 ,2 3 ,0)C MC D， 11 (2 , 2 3 ,2 3)EMECC M， 易得平面CEF的一个法向量为(0,0,1)m ， 设( , , )nx y z为平面MEF的一个法向量， 则 0 0 n EF n EM ，所以 30 22 32 30 xy xyz ， 令3x ，得( 3,3,2 )n， 二面角MEFC为135，|cos,| |cos135 |m n ， 即 |2 | | |2 m n mn ， 2 |2 |2 2 124 ，即 2 3， 又二面角MEFC的大小为钝角，3 21
31、 （12 分）已知函数 (21) ( )() 1 ax f xlnxaR x 有两个极值点 1 x和 2 x （）求实数a的取值范围； 第 17 页（共 19 页） （）把 22 21 12 xx xx 表示为关于a的函数g（a） ，求g（a）的值域 【解答】解： （）易知( )f x的定义域为(0,)， 2 2 (23 )1 ( ) (1) xa x fx x x ， 设 2 ( )(23 )1h xxa x，其中 2 912aa， 当0时，即 4 3 a 或0a 此时( )0h x 有两个根，则有 12 12 32 1 xxa x x ， 1 x， 2 x同号， ( )f x的定义域为(0
32、,)， 1 0 x， 2 0 x ， 12 320 xxa， 2 3 a ， 4 3 a ， 1,212 (32) () 2 a xxx ， ( )f x在 1 (0,)x上单调递增，在 1 (x， 2) x上单调递减，在 2 (x，)上单调递增 综上可知，( )f x有两个极值点， 实数a的取值范围为 4 ( ,) 3 （）由（）知，当 4 3 a 时，( )f x有两个不同的极值点 1 x， 2 x，且 12 12 32 1 xxa x x ， 则 22 33223221 12121212 12 4 ()()3(32)(32)32754272() 3 xx xxxxxxx xaaaaaa
33、xx 设 32 4 ( )2754272() 3 g aaaaa， 则 g （a） 22 811082727(341)27(31)(1)0aaaaaa， g（a）在 4 ( ,) 3 上是单调递增的， 4 ( )( )2 3 g ag， g（a）(2,)， 即g（a）的值域为(2,) 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ,( 2sin x y 为参数） 以 第 18 页（共 19 页） 坐 标 原 点O为 极 点 ，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极
34、坐 标 系 ，l的 极 坐 标 方 程 为 sincos4 （）求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程； （）求曲线C上点到l距离的最大值及该点坐标 【解答】解： （）由 3cos ,( 2sin x y 为参数） ，消去参数，得 22 1 32 xy ， 将cosx，siny代入sincos4， 得直线l的直角坐标方程为40 xy； （）设曲线C上点的坐标为( 3cos，2sin )， 曲线C上的点到直线l的距离 |3cos2sin4|5cos()4| 22 d ， 其中 15 cos 5 ， 10 sin 5 当cos()1 时，d取得最大值为 4 210 2 ，此时2k，kZ， 2k，kZ
35、， 3 5 3cos3cos(2)3cos 5 xk ， 2 5 2sin2sin(2)2sin 5 yk 曲线C上点到l距离的最大值为 4 210 2 ，此时该点坐标为 3 52 5 (,) 55 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数( )2|1|1|f xxx （1）求不等式( ) 4f x 的解集 （2）记函数( )f x的最小值为t，若a，b，c为正实数，且abct，求的 222 abc最 小值 【解答】解： （1） 31,1 ( )2|1|1|3, 11 31,1 xx f xxxxx xx 剟， ( ) 4f x ， 31 4 1 x x 或 3 4 11 x x 剟 或 31 4 1 x x ， 5 3 x或1x 或1x ， 第 19 页（共 19 页） 不等式的解集为 5 (, 1,) 3 ； （2）由（1）知( )minf xf（1）2， 函数( )f x的最小值为t，2abct ， 2222 24 33 ( ) 333 abc abc ， 当且仅当 2 3 abc时取等号， 222 abc的最小值为 4 3
