1、高等数学 单元自测(一) )2()2()(xfxfxg 1、选择题（每小题4分，共16分） （1）. )(xf ，则 在 （ ）上有定义。 A （A）无意义； （B）0,2； （C）0,4； （D）2,4. 1，0 x 1 2，1 x 2 量的有（ ） （2）.下列变量在给定的变化过程中是无穷小 A、D （B） 0 sin x x x （A） 012 x x （C） x xx x 12 3 2 （D） 0 1 ) 1 cos3( 3 3 x x x x （3）.已知 x xcbxax1 1 1 3 ，则 a， B （B）a=0，b=1，c=为任意数； （C）a=0，b，c为任意数； （D）a，
2、0，b，c均为任意数。 （A）a=0，b=1，c=1； b，c之值一定为（ ） （4）. 数列 n x 有界是数列 有极限的（ ）条件. B （A）充分； （B）必要； （C）充要； （D）无关系. n x 2、填空题（每小题4分，共16分） （1）.已知 11 3 xfx ，并且当y=1时u=x， 1xf 则 1 3 x 析： 11 3 ttf 1 3 xfyu 11 3 xxf （3）.若 0 x 为f（x）的间断点，在 为第一类间断点。 0,0 00 xfxf 的条件下， 0 x 都存在 （4）.已知极限 8 3 lim 2 ax bbxx ax ，则 ，常数b= 常数a= 。 -4 1
3、6 6 -4 析： 由 0lim ax ax 03lim 2 bbxx ax 03 2 baba 从而 )(3 2 abab 左= ax ababxx ax 22 lim 82 ba （右） 由两式联立即得。 3、（7分）用极限的定义证明 6 1 9 3 lim 2 3 x x x . 证： 0 ，要使 6 1 9 3 2 x x 6 1 3 1 x 6 1 3 3 x x ，不妨设 1x 13 x735 x 取 30, 1min ，当 30 x 时， 恒有 6 1 xf . （1） 4、（16分）计算下列极限 解： xxx xtgx x 2 0 sincos sin11 lim xtgxx
4、xtgx x sin11 sin lim 3 0 原式 3 0 )cos1 ( lim 2 1 x xtgx x 3 2 0 2 1 lim 2 1 x xx x 4 1 （2） 解： 4 2 cos2lim n n n x 原式 4 2 cos11lim n n n x 4 2 cos1limn n x n 4 2 2 cos1 cos1 1 2 cos11lim n n x n x n n x 其中 4 2 2 2 1 limn n x n 2 2 x 即可得原式为 2 2 x e （3） 解： xe xe x x n cos5 sin2 lim 原式 x x n e x e x cos
5、5 sin 2 lim 5 2 （4） 解： x x x cosln 2cosln lim 0 原式 1cos1ln 12cos1ln lim 0 x x x 1cos 12cos lim 0 x x x 2 2 0 2 1 2 2 1 lim x x x 2 4 在点x=0处连续。 5、（12分）试确定常数a、b，使函数 解： )(xf x arctg ba x11 0 x 2 0 x xtgba xx 2 1sin1 3 2 0 x )(16 )0( 0 ba f )(2 )0( 0 ba f 2 )0( f 16 7 a 16 9 b xf 上连续，且 6、（9分）设 证： 在 ,(a
6、Axf x lim ， 其中A为有限数，试证 xf 在 ,(a 上有界。 7、（8分）设 xf 对a,b上任意的 证： 0 0 xf 21,x x 都有 2121 xxcxfxf ，其中c为常数，且 0bfaf ，试证在a,b上至少有一点 0 x ， 使 。 0 23 dcxbxax 有一个实根。 为常数dcba, 0 8、（9分）试证一元三次方程 证： ，1 1 x ， 9、（7分）设 证： 1 1 2 1 1 x x x 1 1 1 1 n n n x x x 求 n n x lim 。 0 2 1 12 xx ，设 1 kk xx 则 1 1 1 1 1 1 1 k k k k kk x
7、 x x x xx k x 逐项递增 又 0 11 1 1 kk kk xx xx Axn n lim A A A 1 1 1 1 1 1 n n n x x x 1 1 1 2 n x 2 2 51 A 高等数学 单元自测(二) 一、填空（每小题4分，共16分） 1.已知 ，则 aaaaaxaaxa xaaxaa xaa lnlnln 11 0aaaxy xaa axa dx dy 2.若 tx x x ttf 2 1 1lim ，则 dtte t 21 2 析： tdf tx x x ttf 2 1 1lim t te2 即易得答案。 3.设 tfx 则 ， ，其中f二阶可导且 0 t f
8、 1 3 t ey 2 2 dx yd tf tfetfe tt 3 33 39 析： x、y同时对t求导后可得： tf e dx dy t 3 3 再对上式求导易得答案。 4.已知曲线 2 axy 与曲线 ，且 公切线方程为 。 析： 由题可得式子： 0 0 2 1 ax x 2 00 axy 00 lnxy 联立解得： ex 02 1 0 y ex k 11 0 即易得公切线方程。 xyln 则a= e2 1 ex e y 1 2 1 1 y 二、选择题（每小题4分，共16分） 1.设 xxy 1 1 ，则 D （A）2； （B）e； （C） （D） （ ） ； 2ln 2 1 4ln1
9、. 是（ ）。 满足 2.若函数 B xfy 2 1 0 x f ，则当 0 x 时， 0 | xx dy （A） 与 x 等价的无穷小； （B） 比 x 低阶的无穷小； （C） 与 x 同阶的无穷小； （D） 比 x 高阶的无穷小。 3.设 xxxxf 22 3 ，则使 C （B）1； （C）2； （D）3。 （A）0； 阶数n为（ ） 0 n f 存在的最高 析： 由题，有： xf 32 3xx 32 3xx 0 x 0 x 由上式易得结果。 4. 设a是实数，函数 xf 则 A 1 1 cos 1 1 xx a 0 1x xf 在x=1处可导时，必有（ ）。 （B） 11a； （A） 1
10、a； （C） 10 a； （D） 1a。 1x 三、解下列各题（每小题7分，共42分） 22 2 22 ln 22 axx a ax x y ，求 解： y 应用求导公式解得： 1.设 。 22 axy 2 .设 解： 3 2 3 521 1 xx x y ，求 dy 。 52ln 3 1 1ln21ln 3 1 lnxxxy 523 1 1 2 13 1 xxx yy dx xxx ydy 523 1 1 2 13 1 3 .设 解： xyy 由 t 当 0sincosxxttxeex tt xtxetcos tty 2 cossin 0 x dx dy 0 x 所确定，求 。 时： 1y
11、题中两式对t求导，可得： e x t 1 tttycossin2cos 1 t y e dx dy x 0 代值并解得： 4 .设 解： xyy 由 当 03cosyyxyxy 13sinyxxy 0 y 0 x 所确定，求 。 时： 1y 题中式子对x求导，可得： 2 0 x y 02cossin 2 yyxyxyyxyxy 上式再次对x求导： 4 0 x y 5 .设 解： 1 12 arctan1 23 2 xx x xxxf 1 f ，求 。 1arctan2 1 1 lim1 1 x fxf f x 1 1 1 12 arctan1 lim 23 2 1 x xx x xx x 1
12、12 arctan1lim 23 1 xx x x x 4 2 6 .设 解： 65 1 2 xx xf xf n ，求 。 3 1 2 1 xx xf 11 3 1 2 1 !1 nn n n xx nxf 相切的直线方程。 四、（8分）过点（2，0），求与曲线 解： 3 2xxy 00,y x 0 2 00 32xxxyy 2 0 32 0 xyk xx 设切点 则 3 000 2xxy 又 2 32xy 即得切线 （2，0）在切线上 0 2 00 232xxy 联立，解得： 1 0 y1 0 x 代值入得： 02 yx 1 lim 1 12 xn xn n e baxex xf 五、（1
13、0分）设 解： 确定常 ， 由 数a,b，使 处处可导。 xf xf 2 x1x 2 1ba 1x bax1x 1ba 10101fff 由 11 ff 2a 1b 2a 六、（8分）设对任意x和y，函数 xf 和 证： xgxf xg 满足 yfxgygxfyxf ， 00 f 处都可导，且 0 x 1. 在点 证明：对任意 2. ,x xf 和 xg ， 10 g ， 10 f ， 00 g 可微且 。 x xfxxf xf x 0 lim x xfxfxgxgxf x 0 lim 接六 x fxfxgxgxf x 01 lim 0 x xfxfxgxgxf x 0 lim x fxfxg
14、gxgxf x 00 lim 0 00fxggxf xg 证毕。 高等数学 单元自测(三) 一、求下列极限 1. 1 1 lim 1 0 x x x e ex 原式= 解： x ee x x x 1ln 1 0 lim x e x x x 1 lim 11ln 1 0 x x x x 11ln 1 lim 0 2 0 1ln lim x xx x 2 e 2. 1 1 ln 1 lim 1 xx x 解： 原式= xx xx x ln1 ln1 lim 1 x x x x x1 ln 1 1 lim 1 2 2 111 1 lim xx x x 2 1 3. xxx x ln3lim 解： 原
15、式= xx x x 3 ln3 lim xx x x 2 1 32 1 1 lim3 0 4. 2 1 sinlim n n n n 解： 原式= 2 1 0 sin lim t t t t 2 1 1 sin lim n n n n t t t t e sin ln 1 lim 2 0 6 1 e 二、设常数k0，试确定函数 k e x xxf ln 解： 0 11 ex xf ex 在 , 0 内零点的个数。 是其唯一驻点。 xf x lim ， xf x0 lim 若 0ef ，存在唯一零点x=e； 0ef ，存在两个零点在x=e的两侧； 0ef ，无零点。 三、设函数 解： 对于函数
16、xf 在 , 00 f 1.确定a的值,使 xg x xf 上二阶连续，且 a 0 x 0 x 在 , 上连续。 xg 2.证明对上述确定的a值， 在 , 上连续。 x g 1. ag0 ， x xf xf xx00 limlim xf x 0 lim 0 f 0fa 时 0g 处处连续。 x gxg g x 0 lim0 0 2. 接三 x f x xf x 0 lim 0 接上式 x fxf x 2 0 lim 0 2 0 0 lim x f xxf x 2 0 f xg 2 x xfxxf 0 2 1 f 0 x 0 x ， 又 2 00 limlim x xfxxf xg xx 0 2
17、 1 f 题中结论得证 四、设 解： 2 82 x xx xf xf ，求 的增减区间、 凹凸区间、极值、拐点、渐近线，并描绘曲线 xfy 的图形。 2 2 1610 x xx xf 3 1652 x x xf 4 2454 x x xf + 0 - - - - 拐 极大 - - - 0 + - x x f x f xf 0 , 0 5 16 , 0 5 16 5 24 , 5 16 5 24 , 5 24 接四 16 9 5 16 f x y 极大值 拐点 18 7 , 5 24 特殊点 0 , 20 , 8 xf x0 lim 1lim xf x 垂直渐进线 0 x 水平渐进线 1y 五、
18、当 证： 2 0 21 xx 1 2 1 2 tan tan x x x x x x xf tan 时，证明不等式： （法一） 2 2 tansec x xxx xf xxxxgtansec2 0tansec2 2 xxxxg xg 单调递增 00 gxg 0 x f xf 单调递增 12 xfxf 接五 x x xf tan （法二） 在 六、设 解： 求 （1） n xnxxf1 10 x （2） （n为正整数） xf 在 M n lim 1 2 11)( nn xxnxnxf nxxxn n 11 1 1 1 n x 上的最大值M； . （1） 0)( x f 令 是其唯一驻点。 且 )
19、(x f 由正变负， 1 1 n x 为唯一极大值点。 接六 n nn nn n M 1 1 1 1 limlim （2） n nn n n fM 1 1 1 11 1 1 e 七、设在含 证： 0 x 的某区间I上, xgxf , xgxfxF 22 1 22 xgxf xfxg , 00 f , 10 g , 证明: Ix 则 xgxgxfxfxF22 xfxgxgxf22 0 cxF 1100 22 Fc 1 22 xgxf 八、设 证： xf 在 e , 1 , xxfxFln , 01 f ,试证明方程 x xf 1 内至少有一个实根。 e , 1 0F x e , 1 上连续,在
20、内可导,且 1ef 在 e , 1 在 e , 1 上连续,在 e , 1 可导 且 01ln11 fF 0ln eefeF 使 x xf 1 即 是 的实根。 九、试比较 解： e 与 e 的大小。 lnee e 即 需要比较 e lne e 的大小 与 令 xexxfln0 x x e xf1 ex 是唯一驻点 0 1 2 ex e xf ex ef 是最小值 0efxfe ， 0efflne e e 十、设 解： 在 ba, 上连续，在 试证 ax afxf xg xa xfba, 内 x f 单增， 在 ba, 内单调增加。 2 ax afxfaxxf xg 2 ax axfaxxf
21、fxf ax 1 0ax x f 0fxf 由 所以原式大于零，即易得。 十一、设 解： 在 ba, 上连续，在 数，且 0af ca 1 xfba, 内有二阶导 1 f ac afcf 即 ， 0bf ，又 0cfbca 则至少存在一点，使 0 f 在 ca,bc, 、 上用中值定理，有： 2 f cb cfbf bc 2 0 1 ac cf f 0 2 cb cf f 接十一 又 x f 在 21, 上用中值定理 12 12 ff f 21 0 2 f ， 0 1 f ， 0 12 0 f 高等数学 单元自测(四) 一、填空（每小题4分，共20分） 1. 的全体原函数为 xsin1 1 C
22、xtgxsec 2.若 du uuu u RdxxxR 222 2 22 1 1 1 1 , 1 cos,sin 则 u tgx 3. dxxxf n Cxfxf xdxxfxf x 4. 设 xf ，则 xxln dxxf xcx 有原函数 5. 设 1xef x ，且 01 fxxln ，则 xf 二、写出下列函数的凑微分形式（10分） 例. dxbaxf baxdbaxf a n 1 1. dxxbaxf nn1 baxdbaxf an nn 1 dxabaf xx 2. badbaf a xx ln 1 3. dx x x xf ln xdxflnln 4. xdxbxaf 2 sec
23、tan batgxdbatgxf a 1 5. a x arctgd a x f a arctan 1 dx xaa x f 22 1 arctan 三. 计算不定积分（50分） dx x 1 1 41. 解： 11 1 2 1 22 x ax dx x 原式 dx x xx 1 11 2 1 4 22 Carctgx x x 2 1 1 1 ln 4 1 2 . 解： dxxx 25 cossin xdxxdxcoscos1sin 2 25 xdxxcoscos2cos1 4 1 53 cos 5 1 cos 3 2 cosCxxx dxxxdx 2cos1 2 1 cos 2 2 4sin
24、 4 1 2 1 Cxx 3 . 解： 3 3 21 3 1 dxx 3 2 1 3 8181 24 1 xax Cx 2 3 3 81 3 2 . 24 1 原式 Cx 2 3 3 81 36 1 dxxx 32 81 4 . 解： 522 1 24 2 xx dx 原式 52 24 xx xdx 522 1 2 tt dt 41 1 2 1 2 t td C t arctg 2 1 4 1 C x arctg 2 1 4 1 2 5 . 2 tx 解： xt dxx 2 sin tdtt 2 sin2 dt t t 2 2cos1 2 dtttt 2cos tdt tt t2sin 2 1
25、 2 2sin 2 1 2 原式 4 1 2 2sin 2 1 2 tt t Ct 2cos Cxx xx 2cos 4 1 2sin 22 tdtdx2 设 则 6. 解： dx e ee ee x xx xx 1 . 1ln 原式 dx e e x x 1ln dx e ee e e x xx x x 1 11ln Ce xe e x x x 1ln 1ln 7. 解： txsin dx xx xx 22 2 1 arcsin1 dt tt ttt cossin cos1sin 2 2 dtttt 2 csc 原式 ctgttdt 2 2 1 ctgtdttctgtt 2 2 1 Cttc
26、tgttsinln 2 1 2 Cx xx x xarx ln 11 .sinarcsin 2 1 2 2 设 8. 解： dx x xx xxx lnsin lncos xdxlncos xdxxxlnsinlncos Cxxxlnsinlncos 2 1 dx x xx xxxxx lncos lnsinlncos xdxlncos 原式 9. 解： dx x xxx e x 2 3 sin cos sincos . dx x x exdxxe x x 2 sin cos sin cos sin xdxexdxxe x x sincos sin sin x xdesin dxexe x x
27、 sin sin dx x x e x 2 sin cos sin x de x cos 1 sin dxe x e x x sin cos sin 原式 Cxexe x x sec sin sin 原式 10. 解： dxx2, 1max dxx2, 1max 1 2 x 1x 1x dxxxF 2 , 1max 1 Cx 2 3 3 1 Cx 3 3 3 1 Cx 1x 1x 1x 101FF xF 连续 12 1 3 1 CC 12 3 2 CC 3 2 13 CC Cx Cx 3 2 3 1 3 xF 1x 1x 接10 dx x xxn xx n n 11 1 ln 1 ln 1 1
28、 （其中n为自然数， 四、（8分）设 xdxxI n a n ln .ln3 5 xdxx 1 ln 1 1 xdxI n n ，并计算 1 1 1 ln 1 1 n n I n xxI 证： dxxx n xx nn 121 ln 1 ln 1 1 为大于0的常数），证明： Cxxx x I 36 1 ln 6 1 ln 2 1 ln 6 23 6 3 dxxI 2 0 35， Cx 1 1 1 接四 1 1 ln 1 1 1 n I n xx n 时 五、解下列各题（12分） 解： 1 .一物体由静止开始作直线运动，在t秒末的 （1）在3秒时物体离开出发的距离时多少？ smt/3 2 2
29、3ttv Ctdttts 32 3 （2）需要多少时间走完343m? 由 0, 00cs 3 tts （1） （2） 343 3 t 秒7t ，问 速度是 ms/23 解： xfy xfy 2xaxxf dxxfxf Caxax 23 3 1 设 dxaxax 2 2 ，Cf0 0a 0 x2x xf xf Caf 3 4 2 的导函数 的图象是一条 交于 ，若 为0，求 和 二次抛物线，开口向着y轴的正向，且与x轴 的极大值为4，极小值 2 .函数 022 af 02 f 04 3 4 a 3a ，aaxxf22 02 f ，00 f . 020 af . 40 f 且 即 4C 接2 1
30、2 2 1 CxFdxxFxf 六、（附加题10分）设 xxFxf2sin 2 0 x xf 0 xF xf 0 xF dxxxdx4cos1 2 1 2sin 2 解： 2 4sin 8 1 2 1 Cxx CxxxF 4sin 8 1 2 1 2 2 Cxx4sin 4 1 00 F 0C 的原函数 且 ，当 时有 求 ， 0 xF xFxf xxxF4sin 4 1 xx x 4sin4 4cos1 x xx 4cos1 4sin 4 1 2 1 接六 高等数学 单元自测(五) 一、填空（每小题4分，共20分） 1. 222222 4 1 24 1 14 1 lim nnnn n 1 0
31、 2 4x dx 6 析： 原式 1 0 2 arcsin x 6 2. x tdtty 0 arctan1 的极小值点为 析： 0 x ， 0 极小值为 。 0 xxyarctan1 由 得驻点 1x 2 1 1 arctan x x xy 010 y 01 y 3.若 xf 在 aa, a a dxxfxfx 上连续，则 0 4.当 0 x 时 ， 则 析： 对式子两边同时求导可得： 22 322xxxxf 2 2 3 1 整理得： 代值即得答案 xf 连续，且 2f xxdttf x 1 2 1 2 2 32 2 x xf 5.设 xf ， 则 析： 设 1 0 dxxfA 1x 连续，
32、且 xf 1 0 2dxxfxxf A2 2 1 1 0 2dxAxA 2 1 A （ ） 二、选择题（每小题4分，共16分） 1.广义积分 0 dxxe x A （A）1； （B）-1； （C）e； （D）发散。 析： 原式 0 0 dxexe xx 0 x e 2 2 43 cossin dxxxN 则有（ ）。 ， 2.设 D 2 2 4 2 cos 1 sin xdx x x M ， 2 2 432 cossin dxxxxP （A）NPM; （B）MPN; （C）NMP; （D）PM0） 。求球 体的重心位置。 建立坐标系如图所示： x y z 0 p （ 0 p 为原点） 则，球面
33、方程： Rzzyx2 222 由对称性 0 yx 是球表面 接五 R dvzyxk dvzyxkz z 4 5 222 222 而 dvzyxz 222 6 0 7 6 3 8 sincos 6 2 2 2 Rd R dvzyx 222 cos2 0 5 00 cossin4 22 R drrdd 5 cos2 0 4 00 15 32 sin4 22 Rdrrdd R 重心 R 4 5 , 0 , 0 六、（10分）设一由 解： 均匀薄板，其密度 xyln tx 转的转动惯量 ，x轴及 ex 1 ，求此薄板绕 tI ，并问t为何值时， tI 最小？ e 1 D dxdytxtI 2 )( x
34、e dytxdx ln 0 2 1 e xdxtx 1 2 ln e e dx x tx x tx 1 3 1 3 3 ln 3 所围 旋 接六 或 9 1 9 2 12 2 1 2 3 etet e ey dxtxdytI 21 0 1 0 3 3 3 1 dytete y 令 0 t I 1 4 1 2 et 2 23 1 16 1 9 2 9 1 mineetI = 七、（7分）设 证： )(xf 在闭区间 ba, 上连续，证明： b a b a dxxfabdxxf)()( 2 2 b a b a b a b a dyyfdxxfdxxf)()()( 2 D dxdyyfxf)()(
35、D dxdyxf)(2 2 b a DD dxdyyfdxdyxf )()( 22 b a 接七 D dxdyyfxf)()(2 b a b a dyyfdxxf)()(2 2 )(2 b a dxxf 2 )( b a dxxf D dxdyxf)( 2 b a b a dydxxf)( 2 b a dxxfab)( 2 高等数学 单元自测(十) L xdy eydxsin xy11 2 1 1 0 2sinsindxexdxex xx 2 1 1 0 2coscos xx exex 1cos221 2 ee BABAL I0cos D x dxdyye y y x dxeydy 21 0
36、cos 一、计算 ，其中L是由A（0，0） 沿曲线 到B（2，0）。 B A y x 0 1 2 解： L： 10 x x y= 21 x 2-x 原式 法2： L dyyxxyxdxyx)ln(5 2222 111 22 yx x Q 22 5 yx y x P 22 yx y D dxdy y P x Q I)( D dxdy5 5 二、计算曲面积分 C为圆周 ，取逆时针方向。 ，其中 解： y x 0 L yx ydxxdy 22 4 1R 22 4yx y P 22 4yx x Q 三、计算曲面积分 ，其中L是以点 （1，0）为中心，R为半径 的圆周，方向 取逆时针方向。 解： x Q
37、 yx xy y P 2 22 22 4 4 y x 0 接三 txcos 2 22 4yx ydxxdy L dt 2 02 2 2 1 tysin 20t 0 LL LLLL （1） 若R1，作 L ： 由格林公式 无交点，其所围图形面积为2。 L2 L1 B A x 0 y 四、计算曲线积分 BMA dyxydxyxy sin)(cos)( )2 ,(A BMA )4 ,3(B AB 1 LBMA xy y P cos)( xy x Q cos)( ，其中 为连接点 与点 的任意曲线段， 且该曲线与线段 解： （1） 若 接四-1 1 L BABAL1 AB D xyddxdy y P
38、x Q sin)()( AB dyydx ）（262 2 2 6 B A D xydx x dxdysin)( 1 ) 1( 3 则 11 1 sin)(cos)( LLL dyydxxdyyxdxy 21 II B A xydIsin)( 1 )4,3( )2,( sin)( xy 0 1 2L dyydxI BABAL1 dx x dxdy D ) 1 1( 3 22426 2 21 6 1 II L BABALL 22 2 64 法2： （2） 接四-2 该曲线段关于极轴的转动惯量。 ) 2 0( r 2 1 1 )( Lx dsyI 2 )( 2 0 2 2 22 1 1 1 sin
39、d 2 0 2 2 2cos1 d 22 0 2 0 2 2cos 2 1 2 dd 848 1 3 五、已知曲线L的极坐标方程为 ， ，试求 L上任意一点处的线密度为 解： 3sin21 ,cos2 2223 yxxyxyxyF 2 2yx )0 , 0(O ) 1 , 2 (A F dyyxxydxxyxy L )3sin21 ()cos2( 2223 BOABBOABL D dxdyxyxyxyxy)6cos2()cos26( 22 0 1 22 2 0) 4 3 21 ( dxdyyy D 1 0 322 ) 3 1 4 3 (yyy 2 4 1 六、设平面力场 ，求一 质点沿曲线L：
40、 从 运动到 场 力 所作的功。 解： W 0: 2 : yBO xAB y x o A B 32 2,3,3tztytx )2 , 3 , 3(A )0 , 0 , 0(O pds S dttt 1 0 22 )6()6(9 dttt 1 0 42 4413 1 0 2 )21 (3dtt ) 3 2 1 (3 5 七、求空间曲线 ，从 至 的弧长。 解： 解： dSzyx)( 222 ： azzyx2 222 az 2 4 aS azdS2 zdSa2Sza 2 2 42aaa 4 8 a 2222 )(aazyx 222 yxaaz 222 ayx dxdy yxa a dS 222 ：
41、 XY D 八、计算曲面积分 ，其中 为球 面 。 原式 法2： ： azdS2 21 2a dxdy yxa a yxaaa Dxy 222 222 )(2 )5( 222 dxdy yxa a a Dxy dxdy yxa a Dxy 222 3 1 4 dr ra r da a 022 2 0 3 4 4 8 a 接八 zdxdydzdx y x f x dydz y x f y )( 1 )( 1 )( y x f 222 Ryx zy 2 1 2 0z dxdydz z R y Q x P I)( dxdydz y x y f xy x f y 1)() 1 ( 1 )( 1 22
42、dxdydz 2 2 0 y Dxy dzdxdy ):( 222 RyxDXY Dxy dxdyy 2 2 R drd 0 23 2 0 sin2 4 2 R 九、计算 ，其中 具有一阶连续偏导数， 为柱面 ， 及平面 所围立体的表面外侧。 解： dxdyzxyzdzdxxzdydzx 2223 22 2yxz ： )21 ( z 00 I Dxy dxdyxdvzxzxzx 2222 )23( 1 0 23 2 0 cosdrrd 4 十、计算 ，其中 的上侧。 解： ： 0 1z 补 下侧 z x y 1 0 22 2yxz： x x z 2 y y z 2 1: 22 yxDXY dx
43、dyzxyyzxxzx)2()2( 2223 dxdyzxzyxzx22 22224 )(12)(12 2222224 yxyxyxx Dxy dxdyyxx)1 ( 222 法2： 原式 ， 接十 是曲面 zdxdyydzdxyzdyzx cos 2 22 1yxz 00 0)2cos2 dvyzx（ dvyzdvx2cos2 2 1 3 4 202 3 4 十一、计算曲面积分 其中 ， 的上侧。 解： 0z ： 0 补 下侧 原式 y x z o 0cos 2 yzdydzx面对称）关于yoz( 22 1zxy 右 dzdxzx 22 12 ydzdx rdrrd 1 0 2 0 12 z
44、dxdy Dxy dxdyyx 22 12 1 0 2 2 0 12rdrrd 3 4 法2： 由对称性： 接十一 原式 是正值) (x f 连续函数， 10 , 10yxD： )(xf L dx xf y dyyxfI2 )( )( dxdy y P x Q D )(I D dxdy xf yf )( 1 )( D dxdy xf xf )( 1 )(2 D dxdy2 2 十二、证明 1.设L是正方形域 的正向边界， 是正值连续函数，则 证： D y x o 1 1 在 均为连续函数， 222 RQP MARdxdyQdzdxPdydz RdxdyQdzdxPdydz )coscoscos
45、(dSRQP 2.设 ),(),(zyx、RzyxP 是一光 滑曲面，面积为A，M是 上的 最大值，则 。 证： 接十二.2 dSRQPcoscoscos dSRQPcos,cos,cos, dSRQP 222 MA dSM 高等数学 单元自测(十一) 一、填空题（每小题4分） 1.幂级数 的收敛域为 （-e，e） 1 ! n n n n xn 2.若级数 条件收敛，则p的取值 00,b0） 解:法1. n a ab b ab 当x=c时, cbaR),max( nn n ba c n lim ba , 1 ba , 2 1 接五 1 )( n nn n ba c n nn n nn n n
46、ccbac c ba n nn n lim 级数 发散. 收敛区间（-c,c）. 法2.记c=max(a,b)虽然 由夹逼准则有 由根值法R=c c ba n nn n 11 lim 高等数学 单元自测(十二) 一、解下列各题（每题5分，共15分） cx x y 6 3 1.函数 （其中c为任意常数）是微分方 程的什么解？为什么？ 2.有一半径为2，圆心在y轴上的圆族，求以此圆 4)( 22 cyx 0)(22ycyx 解： 族为通解的微分方程。 消去c 222 4)(yxyx 3.已知函数 x cebyyay xx exey) 1( 2 xx exey) 1( 2 是二阶常系数 非齐次线性方
47、程 试确定常数a、b、c及该方程的通解。 解： 特征根r=2，r=1 xxx exee 2 0) 1)(2(rr 023 2 rr 2, 3ba 的一个特解， 接3 x xey * x ceyyy 23 1c 将 代入 通解 方程 xx xeecxecy 21 2 x eyyy 23 二、求下列方程的通解（每题6分，共30分） 通解为 1. 解： 令 x y tg yx y dx dy 2 2 1 2 x y u 2 tgu xdx dy1 x c u sin c x y x 2 sin 2. 1)2sinsin(yyyx ) 1(cos2 cos yce y 解： yxy dy dx 2si
48、nsin 2sin sinsin ydyecex ydyydy ) 1cos(2 coscosyy eyce coscos2 coscos ydyece yy cyxxy 223 cos 2 1 3. 解： 0)cossin3() 1cos( 222 dyyyxydxyx 0)cossincos(3 222 ydyyxydxxdyydx 4. 2 1 22 )(yxy dx dy x 2 1 22 )(yxy dx dy x dx xy dy1 1 2 解： 5. chxyy 01 2 r 解： xshxeexyyy xx 2 1 )( 2 1 * 2 * 1 * xx ececy 21 三、
49、应用题（每题8分，共16分） ) 2 1 , 0( 01 2 y y 1.求 的积分曲线，使积分曲线通过 点 ，且在该点处切线斜率为2。 解： 2)0(, 2 1 )0(yy dy dp py py 令 dy y pdp 2 1 1 2 1 2 1 c y p 0 1 c y p 2 接1 y y 2 02)0( y 2 2 3 2 3 2 cxy 23 ) 1 6 2 (xy 6 2 2 c 2.设长为t的弹簧，其上端固定，用五个质量都为 m的砝码同时挂于下端，弹簧伸长了5b。今突然 解： l+4b 4m x 由虎克定律： mgkb55 bmgk/ 取去一个砝码，弹簧由静止开始上下振动，若
50、不计弹簧自重及空气阻力，求所挂重物的运动 规律（如图） 接2 0, 21 cbc 0)0(,)0(xbx 04 2 2 x b g dt xd m04 2 b g r t b g ct b g cx 2 1 sin 2 1 cos 21 i b g r 2 1 x b mg kx dt xd m 2 2 4 t b g bx 2 1 cos 且 振动规律 存在，若对任意x,y恒有等式 四、综合题（每题8分，共16分） 1.若 在 上有意义且不恒为零， 解： xf x f , yfxfyxf 求 xf 0y 0fxfxf x xfxxf xf x 0 lim 任意性由x 10 f x xfxfx
