1、高三数学 第 1 页（共 4 页） 龙岩市 2021 年高中毕业班第一次教学质量检测 数 学 试 题 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 注意事项： 1考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1若复数z满足(1)3zii （i为虚数单位） ，则z的共轭复数的虚部为 A2 B2i C2 D2i 2若集合1,2,3,4,5U ，1,3,5A ，3,4,5B ，则图中阴影部 分表示的集合的子集个数为 A3 B4
2、 C7 D8 3围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流在用户出行 旅游决策中，某机构调查了某地区 1000 户偏爱酒店的用户与 1000 户偏爱民宿的用户住宿 决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，则下列说法中不正确 的是 A. 偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高 B. 在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等 C. 小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中 的占比不相等 D. 在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高 4在ABC中， 60A，2AB ，3AC ， 3CMMB ，则AM B
3、C A 3 11 B 3 4 C 3 4 D 3 11 5在 6 21xx 的展开式中， 4 x的系数为 A20 B10 C10 D20 （第 2 题图） 高三数学 第 2 页（共 4 页） 62006 年 7 月 13 日，河南安阳殷墟通过了世界遗产委员会的认可，成为世界文化遗产考古 科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中 碳 14 的质量N随时间 t（单位：年）的衰变规律满足 5730 0 2 t NN （ 0 N表示碳 14 原有 的质量） ，经过测定，殷墟遗址某文物样本中碳 14 的质量约是原来的 5 6 ，据此推测此文物存 在的时期距今约（参考
4、数据： 22 lo31.6,log 52.3g） A1719 年 B2870 年 C3075 年 D4775 年 7若三棱锥PABC的四个面都为直角三角形，且PA平面ABC， 1PAAB ， 2AC ，则其外接球的表面积为 A6 B5 C4 D3 8 定 义 在 R 上 的 奇 函 数( )f x满 足(2)( )f xf x， 当0,1x时 ， 1 , 0, 2 ( ) 11 , 1, 12 x eabx f x bx x x （e为自然对数的底数） ，则ab的值为 A3 B 2 C1 D0 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要
5、求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9若点( , )a b在直线220 xy上，其中0a ，0b ，则 Aab的最大值为 1 2 Bab的最大值为 2 Ca b的最小值为 2 D 21 1ab 的最小值为 8 3 10一个不透明的袋子中装有 6 个小球，其中有 4 个红球，2 个白球，这些球除颜色外完全相 同，则下列结论中正确的有 A若一次摸出 3 个球，则摸出的球均为红球的概率是 2 5 B若一次摸出 3 个球，则摸出的球为 2 个红球，1 个白球的概率是 3 5 C若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球 为不同颜色的球的
6、概率是 4 9 D若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的 球的概率是 3 5 11已知函数),22cos()sin()(xxxf则下列结论正确的是 A当0时，函数 )(xf在 2 , 0 上的最大值为 8 9 B当 时，函数)(xf的图像关于直线 2 x对称 C是函数 )(xf的一个周期 D不存在，使得函数)(xf是奇函数 高三数学 第 3 页（共 4 页） 12已知抛物线 2 (:20)pyCpx 的焦点为F，O是坐标原点，P为抛物线C上一动点， 直线l交C于BA,两点，点(1,1)Q不在抛物线C上，则 A若, ,A B F Q四点共线，则2p B若PFP
7、Q 的最小值为2，则2p C若直线l过焦点F，则直线OBOA,的斜率, OA k OB k满足 4 1 OBOA kk D若过点,A B所作的抛物线的两条切线互相垂直，且,A B两点的纵坐标之和的最小值为 4，则ABQ的面积为 4 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 （第 15 题第一空 2 分，第二空 3 分） 13已知函数 2 ( )2lnf xaxx在点(1,(1)f处的切线方程为1y ，则a的值为 . 14将 12021 这 2021 个整数中能被 2 整除余 1 且被 3 整除余 2 的数按从小到大的顺序构成 一个数列，则该数列的项数为 . 15已知抛物线x
8、y8 2 的准线与双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y C：的渐近线分别交于 BA,两点，O是坐标原点若AOB的内切圆的周长为,则内切圆的圆心坐标 为 ，双曲线C的离心率为 . 16正方体ABCDA B C D的棱长为a，P是正方体表面上的动点，若2APa，则 动点P的轨迹长度为 . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本题满分 10 分） 在 sin3 coscBbC ，CCC 2 cos2)2 2 3 sin(cos2 , sin ABC SCA CBC 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
9、 在ABC中，角A B C, ,的对边分别为a b c, ,，且满足 ，2c . （1）求角C； （2）求ABC周长的取值范围. 18 （本题满分 12 分） 已知数列 n a的各项均为正数，其前n项和为 n S，且22 nn Sa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 21 log nnn baa ，设数列 n b的前n项和为 n T，当0 n Tk对任意nN 都 成立时，求实数k的取值范围. 19 （本题满分 12 分） 为贯彻落实全国教育大会精神， 全面加强和改进新时代学校体育工作， 某校开展阳光体育 “冬季长跑活动”. 为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查
10、小组随 机抽取该校100名高中学生进行问卷调查, 其中认为感兴趣的人数占 80%. 高三数学 第 4 页（共 4 页） （第 20 题图） F C D S B A （1）根据所给数据，完成下面的2 2列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为 学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男 12 女 36 合计 100 （2）若用频率估计概率，在随机抽取的 100 名学生中，从男学生和女学生中各随机抽取 1 名学生，求这 2 人中恰有 1 人不感兴趣的概率； （3） 若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生. 现从不感兴趣的男学生中随机选出3名 进行二次调查，记选出
11、高三男学生的人数为X，求X的分布列与数学期望. 附: 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中.nabcd 20 （本题满分 12 分） 如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，侧面SAD为等腰直角三角形， 2 2SASD，2AB ，F是BC的中点， 二面角SADB的大小为120， 设平面SAD 与平面SBC的交线为l. （1）在线段AD上是否存在点E，使l平面SEF？若存 在，确定点E的位
12、置；若不存在，请说明理由； （2）若点Q在l上，直线SB与平面QCD所成角的正弦值为 3 4 ，求线段DQ的长. 21 （本题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) yx Cab ab 的左、 右顶点分别为 12 ,A A， 上、 下顶点分别为 12 ,B B, 左焦点为 1 F， 且过点 2 (1,) 2 M ,O为坐标原点， 111 FBA与 22B OA的面积的比值为 2 2 1 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线)0, 0(mkmkxyl：与椭圆C交于QP,两点，记直线OQOP,的斜率 分别为 21,k k，若k为 21,k k的等比中项，求OPQ面积的取值范围.
13、22 （本题满分 12 分） 设函数 2 lnf xxxaxx， 1 3 x g xeaxa （e为自然对数的底数） （1）若函数 f x有两个极值点，求a的取值范围； （2）设函数 ( )h xg xfx，其中( )fx为 fx的导函数，求证： h x的极小 值不大于 1. 高三数学答案 第 1 页（共 7 页） 龙岩市 2021 年高中毕业班第一次教学质量检测 数学试题参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C D D C C A B A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 题号 9 10
14、 11 12 选项 AD BC ABD CD 12简解 A若直线l过点FQ、且与y轴垂直，可得2p ,当直线l过点FQ、但不与y轴垂直时， 得不出2p ，故 A 错; B当点Q在抛物线的内部时,由抛物线的定义得 122 2 P PQPFPQPNP (N为抛物线准线上的点); 当点Q在抛物 线的外部时,连接FQ, 22 (1)12 2 P PQPFQF,得22 3P ,故 B 错 C由条件知直线l的斜率存在，设其方程为 2 p ykx与 2 2xpy联立消去y得 22 20,xpkxp设 1122 ( ,), (,)A x yB xy , 22 2 12 1212 2 ()1 , 444 OAO
15、B x xp x xpy ykk p 则故 C 正确; D设 1122 ( ,), (,)A x yB xy,由 2 2xpy得 12 2 11 ,1yxx x pp , 2 12 x xp , 222 121212 11 ()(), 22 yyxxxxp pp 所以当 12 0 xx时, 12 yy取得最小值4p,从而求得 1 212 ,4,2xyy , 1 8 14 2 ABQ S ,故 D 正确. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 131 ； 14. 337 ； 15. 3 ( ,0) 2 ， 3 ； （第一空 2 分，第二空 3 分） 16. 3 2 a 高
16、三数学答案 第 2 页（共 7 页） 16解：动点P的轨迹是以A为球心，半径为2a的球与平面 A B C D ，平面DCC D ，平面CBB C 的交线，这三条 弧长之和为 3 2 a. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。 17 （本题满分 10 分） 解： （1）选条件，由正弦定理 C c B b sinsin 及CbBccos3sin得 sinsin3sincos,CBBC 1 分 0,sin0,BB 2 分 sin3cosCC 3 分 tan3,C0,C4 分 3 C 5 分 选条件，由CCC 2 cos2)2 2 3 sin(cos2 得，CCC 2 cos22coscos2
17、 2 分 2 1 coscos21cos2cos2 22 CCCC， 4 分 3 ,0 CC 5分 选条件CabCCabinCCBCAS ABC sin 2 1 sincoss 2 分 sin0,C 3 ,0, 2 1 cos CCC 5 分 （2）法 1：由（1）知 3 C，又2c 设ABC的外接圆的半径为 R,则 3 34 3 sin 2 sin 2 C c R, 6 分 所以ABC的周长2) 3 2 sin(sin 3 34 2)sin(sin2AABARL 2 6 sin4）（ A 8 分 , 3 2 0 A1) 6 sin( 2 1 , 6 5 66 AA 9 分 (4,6L . 1
18、0 分 B A A D C CD B 高三数学答案 第 3 页（共 7 页） 法 2：由（1）知 3 C，又2c 由余弦定理得 Cabbaccos2 222 2 1 2 22 abba 22 abab6 分 2222 31 4()3()()() 44 ababababab 7 分 2 ()16,4,24abababcab又 （当且仅当2ab 时取等号） 9 分 46l ,所以ABC的周长的取值范围为(4,6.10 分 18 （本题满分 12 分） 解： （1）22 nn Sa，2n 时， 11 22 nn Sa 2 分 两式相减得 1 22 nnn aaa ，又各项均为正数，即 1 2 n n
19、 a a ，4 分 又 11 22Sa，则 1 2a ， 5 分 所以2n n a 6 分 （2） 21 log(1) 2n nnn baan ， 7 分 23 2 23 24 2(1) 2n n Tn 2341 22 23 24 2(1) 2n n Tn - 得 2111 2(1 2 ) -2 2+2 +2(1)22(1)22 1 2 n nnnn n Tnnn 9 分 1 2n n Tn 10 分 因 +211 1 +2(2) 20 nnn nn TTnnn （1）2， 11 分 所以 1nn TT ，即 n T单调递增，所以 1 4kT 12 分 19 （本题满分 12 分） 解:（1）
20、列联表补充如下： 感兴趣 不感兴趣 合计 男 44 12 56 女 36 8 44 合计 80 20 100 1 分 高三数学答案 第 4 页（共 7 页） 计算 2 2 n adbc K abcdacbd 2 10044 836 12 0.1622.706 80 20 56 44 , 3 分 所以没有 00 90的把握认为学生对“冬季长跑”的兴趣度与性别有关. 4 分 （2）设 2 人中恰有 1 人不感兴趣这一事件为A， 则 44812367 ( ) 5644564422 P A 7 分 （3）根据题意，X的值可能为0,1,2 3，. 则 3 7 3 12 7 0 44 C P X C ,
21、21 75 3 12 21 1 44 CC P X C 12 75 3 12 7 2 22 CC P X C , 3 5 3 12 1 3 22 C P X C 故X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 7 44 21 44 7 22 1 22 11 分 故X的数学期望： 721715 0123 444422224 E X . 12 分 20 （本题满分 12 分） 解： （1）在线段AD上存在点E满足题意，且E为AD中点， 1 分 连接ES，EF，SF，底面ABCD为矩形，ABAD， 又,E F分别是,AD BC中点，/ /EFAB，EFAD，2 分 又侧面SAD为等腰直角三角形，SEAD
22、，SEEFE， A D平面SEF，3 分 过 S 点在平面SAD内作AD的平行线l， / /ADBC，/ /BCl 即l为平面SAD与平面SBC的交线 5 分 l平面SEF. 6 分 （2）以E为原点， EA 方向为x轴， EF 方向为y轴， 建立如图坐标系Exyz.则120SEF， 7 分 (0, 1, 3)S，(2,0,0)A，(2,2,0)B，( 2,2,0)C ，( 2,0,0)D ， 设( , 1, 3)Q t 8 分 (2,3,3)SB ，(0,2,0)DC ，(2, 1, 3)DQt ， l E F C D AB S z x y 高三数学答案 第 5 页（共 7 页） 设平面QC
23、D的法向量为( , , )nx y z ，则 由 0 0 n DC n DQ ，得 20 (2)30 y txyz ，取 2 ( 1,0,) 3 t n ，9 分 设直线SB与平面QCD所成角为， 则 2 43 sincos, 4 (2) 4 1 3 t SB n t ， 得 9 4 t 11 分 此时 65 4 DQ 12分 21 （本题满分 12 分） 解： （1）由已知条件设 1( ,0)Fc ，则, 2 2 11 2 1 )( 2 1 22 111 a c ab bca S S BOA FBA 1 分 ., 1 2 11 2 2 1 2 2 222 22 cba ba C a c 又的
24、方程得）代入椭圆，将（所以有 解得2a ，1b 3 分 . 1 2 2 2 y x C的标准方程为椭圆 4 分 （2）依题意可设 1122 ( ,),(,),P x yQ xy 12 0,0 xx 联立直线与椭圆 C 的方程得 2 2 1, 2 , x y ykxm 消去y并整理得 222 (21)4220kxkmxm. 12, 0)22)(12(416 222222 kmmkmk化简得则 5 分 , 12 22 , 12 4 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 2 1212 0,0,0,1xxx xm 6 分 , 2 2 2 1 1 1 x y kOQ x y kOP的斜率
25、的斜率 21 21 21 2 xx yy kkk 12 12 ()()kxm kxm x x 21 2 21 2 )( xx mxxkm k 代入上式并化简得把 12 22 , 12 4 2 2 21 2 21 k m xx k km xx ， 2 2 , 0, 12, 02 2222 kkkmmkm 8 分 高三数学答案 第 6 页（共 7 页） 当 2 ,1 2 km 时， 12 0,0kk , 2 2 mxyl的方程为所以直线此时由 0 得 2 2m 200mm，, 且1m 9 分 , 1,2 2 2121 mxxmxx此时 222 21 2 21 2 23) 1(42 2 1 14)(
26、1mmmxxxxkPQ m m dPQO 3 6 2 1 1 的距离到直线点 10 分 dPQS OPQ 2 1 = 2 23 2 1 m 1) 1( 2 2 )2( 2 2 3 6 2222 mmmm 11 分 200mm，, 1m 所以OPQ面积的取值范围为 2 (0,) 2 .12 分 22 （本题满分 12 分） 解： （1） 2 ( )ln,( )ln2f xxxaxx fxxax， 所以 2 ( )lnf xxxaxx有两个极值点就是方程 ln20 xax在(0,+）有两个不同的解， 即2ya与 ln x m x x 的图像的交点有两个 1 分 2 1 ln ( ) x m x x
27、 ，当0,xe时， 0m x， m x单调递增； 当,()xe时， 0m x， m x单调递减， m x有极大值 1 e 3 分 又因为0,1x时， 0m x ；1,x时， 1 0m x e 4 分 当 1 02a e 时，即 1 0 2 a e 时有两个解， 1 0, 2 a e 5 分 （2） 1 ( )ln(1) x h xg xfxexa x (0)x 1 1 x h xea x ，又 1 2 1 0 x hxe x ， h x在(0,)单调递增 高三数学答案 第 7 页（共 7 页） 若0a 时， 10h 当(0,1)x时， 0.hx h x在(0,1)上单调递减； 当(1,)x时，
28、 0.hx h x在(1,)上单调递增； h x在1x 处取得极小值 0 1ln11he 若0a ，令1,x 则 1 10a e ；令ln(1)1,xa 则 ln(1) 1 1 1 ln(1)1 a ea a 1 10 ln(1)1a 所以在(1,ln(1)1)xa，( )0h x有唯一解； 若0a ，令 1 a x ea ，则 1 1 () a a ea eeaa 1 1 0 a a ea ee ；令1,x 则 1 1 10ea ， 所以在 1 (,1) a x ea ，( )0h x有唯一解； 0h x在(0,)有唯一解 0 x 当 0 (0,)xx时， 0h x， h x在 0 (0,)
29、x单调递减； 当 0 (,)xx时， 0h x， h x在 0 (,)x 单调递增； h x在 0 x处取得极小值 0 1 000 ln(1) x h xexa x 且 0 1 0 1 x ae x 8 分 0 1 000 ln(1) x h xexa x 0 1 00 0 1 (2)ln1 x x ex x 令 x 1 1 (2)ln1 x x ex x ，则 x 21 2 (1)(1) x xx e x 由 0 x得，1x 10 分 当 (0,1)x时， 0 x， x在(0,1)单调递增； 当 (1,)x时， 0 x， x在(1,)单调递减， (1)1x，即 h x的极小值不大于 1. 12 分
