1、第 1 页（共 18 页） 2021 年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科） （一模）年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科） （一模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题，共小题，每小题，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分） 已知集合 Mx|x23x100， = *| = 9 2+， 则 （RN） M 为 （ ） Ax|3x5 Bx|x3 或 x5 Cx|3x2 Dx|3x5 2 （5 分）i（2+3i）（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 3 （5
2、分）已知点 A（2，3）在抛物线 y22px 的准线上，则 p（ ） A1 B2 C4 D8 4 （5 分）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列an中，a2，a8，a12依次成等比 数列，则 a4的值是（ ） A16 19 B22 19 C26 D58 5 （5 分）从点 P（m，3）向圆（x2）2+y21 引切线，则切线长的最小值（ ） A26 B5 C26 D22 6 （ 5 分 ） 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 （ ） A6 B8 C12 D24 7 （5 分）已知函数 f（x）sin（2x+）其中 （0，2） ，若() (
3、 6)对于一切 xR 恒成立，则 f（x）的单调递增区间是（ ） A,， + 2-( ) B, 3 ， + 6-( ) C, + 6 ， + 2 3 -( ) D, 2 ，-( ) 8 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，且当 0 x1 时，f（x） lg（x2+2） ，则 f（2021）（ ） Alg3 Blg9 Clg3 D0 第 2 页（共 18 页） 9 （5 分）直线 ykx+1 与曲线 f（x）alnx+b 相切于点 P（1，2） ，则 2a+b（ ） A4 B3 C2 D1 10 （5 分）设点 F1、F2分别为双曲线 2 2 2 2 = 1
4、(0，0)的左、右焦点，双曲线上 存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|3b，|PF1|PF2|= 9 4ab，则该双曲线的离心率为（ ） A4 3 B5 3 C9 4 D3 11 （5 分）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年 方法天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即： 子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥干支纪年法中，天干地支对应的 规律如表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干支 纪年 甲子 年 乙丑 年 丙寅 年 丁卯 年 戊辰
5、 年 己巳 年 庚午 年 辛未 年 壬申 年 癸酉 年 甲戌 年 乙亥 年 丙子 年 2049 年是新中国成立 100 周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用干 支纪年法，2049 年是己巳年，则 2058 年是（ ）年 A己巳 B甲申 C戊寅 D丙戌 12（5分） 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、 N， 若线段MN的最小值为3 1， 则下列结论不正确的是（ ） A正方体的外接球的表面积为 12 B正方体的内切球的体积为4 3 C正方体的棱长为 2 D线段 MN 的最大值为23 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分
6、分 13 （5 分）已知向量 = (2， 1)， = (1，)，若 (2 + )，则 k 14 （5 分）在（x 1 ） 6 展开式中，常数项为 （用数值表示） 15 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 0 + 1 0 ，则 z3x+2y的最大值 第 3 页（共 18 页） 16（5 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 满足 a1= 3 2，2 = 2，2(+2+ ) = 4+1+1， 则数列an的前 16 项和 S16 三、解答题（共三、解答题（共 7解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考
7、生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 ） （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 ） （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a2 （1）若 + = 1 ，求角 B； （2）若 c2b，当角 B 最大时，求ABC 的面积 18 （12 分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊 疗模式， 某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务 已知该地区居民约为2000万 从 1 岁到 101 岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示 为了解各年龄段居民签约
8、家 庭医生的情况，现调查了 1000 名年满 18 周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图 乙所示 （1）估计该地区年龄在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数； （2）若乙图中年龄在 7180 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生 的概率，则从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为 变量 X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量 X 的数学期望和方差 19 （12 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上除 A，B 外的一个动点，DC 垂直于 半圆 O 所在的平面，DCEB，DCEB1，AB4 （1）证明：平面 AD
9、E平面 ACD； （2）当 C 点为半圆的中点时，求二面角 DAEB 的余弦值 第 4 页（共 18 页） 20 （12 分） 已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)离心率为2 3， 点 A， B， D， E 分别是 C 的左， 右，上，下顶点，且四边形 ADBE 的面积为65 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知 F 是 C 的右焦点，过 F 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，记直线 AP，BQ 的交 点为 T，求证：点 T 横坐标为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）ex（x+a） ，其中 e 是自然对数的底数，aR （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）设 g（x
10、）f（xa）x2，讨论函数 g（x）零点的个数，并说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 已知圆 C 的极坐标方程为 2+12cos+110 （1）求圆心 C 的直角坐标； （2） 若直线l的参数方程是 = = （t为参数） ， l与C交于A， B两点， | = 10， 求l的 斜率 选修选修 4-5：不等式
11、选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x2+1，g（x）|xa|2x1|，a 1 2 （1）当 a= 1 2时，解不等式 g（x 2） 7 2； （2）对任意 x1，x2R若不等式 f（x1）g（x2）恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2021 年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科） （一模）年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科） （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题，共小题，每小题，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符
12、合题目要求的 1 （5 分） 已知集合 Mx|x23x100， = *| = 9 2+， 则 （RN） M 为 （ ） Ax|3x5 Bx|x3 或 x5 Cx|3x2 Dx|3x5 【解答】解：集合 Mx|x23x100 x|2x5， = *| = 9 2+ =x|3x3， RNx|x3 或 x3， （RN）Mx|3x5 故选：A 2 （5 分）i（2+3i）（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 【解答】解：i（2+3i）2i+3i23+2i 故选：D 3 （5 分）已知点 A（2，3）在抛物线 y22px 的准线上，则 p（ ） A1 B2 C4 D8 【解答】解：由已知得，
13、抛物线 y22px 的准线方程为 = 2，且过点 A（2，3） ， 故 2 = 2，p4 故选：C 4 （5 分）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列an中，a2，a8，a12依次成等比 数列，则 a4的值是（ ） A16 19 B22 19 C26 D58 【解答】解：设公差不为零的等差数列an的公差为 d（d0） ， a2，a8，a12依次成等比数列， a82a2a12，即（a1+7d）2（a1+d） （a1+11d） ，可得 19d2a1d， d0，a119d， 又由已知可得 a11，在 = 1 19， 第 6 页（共 18 页） 因此，4= 1+ 3 = 1 3 19 = 16
14、19， 故选：A 5 （5 分）从点 P（m，3）向圆（x2）2+y21 引切线，则切线长的最小值（ ） A26 B5 C26 D22 【解答】解：设切线长为 d，由题设条件可得：d2（m2）2+（30）21（m2） 2+88， 22，当且仅当 m2 时取“， 故选：D 6 （ 5 分 ） 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 （ ） A6 B8 C12 D24 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 所以 = 1 2 3 4 = 6，由于锥体的高为 4， 故 = 1 3 6 4 = 8 故选：B 7 （5 分）已知函数 f
15、（x）sin（2x+）其中 （0，2） ，若() ( 6)对于一切 xR 第 7 页（共 18 页） 恒成立，则 f（x）的单调递增区间是（ ） A,， + 2-( ) B, 3 ， + 6-( ) C, + 6 ， + 2 3 -( ) D, 2 ，-( ) 【解答】解：函数 f（x）sin（2x+） ，其中 （0，2） ，若() ( 6)对于一切 xR 恒成立， 则 2 6 +2k+ 2，kZ， 所以 2k+ 6，kZ， 由于 （0，2） ， 所以 = 6， 即 f（x）sin（2x+ 6） ， 令 2k 2 2x+ 6 2k+ 2，kZ， 解得 k 3 xk+ 6，kZ， 即 f（x）的
16、单调递增区间是, 3 ， + 6-( ) 故选：B 8 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，且当 0 x1 时，f（x） lg（x2+2） ，则 f（2021）（ ） Alg3 Blg9 Clg3 D0 【解答】解：根据题意，定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ， 则 f（x）是周期为 2 的周期函数， 则有 f（2021）f（121011）f（1） ， 又由当 0 x1 时，f（x）lg（x2+2） ，则 f（1）lg3， 则 f（2021）f（1）lg3， 故选：C 9 （5 分）直线 ykx+1 与曲线 f（x）alnx+b 相
17、切于点 P（1，2） ，则 2a+b（ ） A4 B3 C2 D1 【解答】解：直线 ykx+1 与曲线 f（x）alnx+b 相切于点 P（1，2） ， 第 8 页（共 18 页） 可得 k+12，即 k1，f（1）b2， f（x）的导数为 f（x）= ，即有 a1， 则 2a+b2+24 故选：A 10 （5 分）设点 F1、F2分别为双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点，双曲线上 存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|3b，|PF1|PF2|= 9 4ab，则该双曲线的离心率为（ ） A4 3 B5 3 C9 4 D3 【解答】解：由双曲线的定义得：|PF1|PF2|2
18、a， （不妨设该点在右支上） 又|PF1|+|PF2|3b，所以|1| = 1 2 (2 + 3)，|2| = 1 2 (3 2)， 两式相乘得1 4 (92 42) = 9 4 结合 c2a2+b2得 = 5 3 故 e= 5 3 故选：B 11 （5 分）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年 方法天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即： 子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥干支纪年法中，天干地支对应的 规律如表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌
19、 亥 子 干支 纪年 甲子 年 乙丑 年 丙寅 年 丁卯 年 戊辰 年 己巳 年 庚午 年 辛未 年 壬申 年 癸酉 年 甲戌 年 乙亥 年 丙子 年 2049 年是新中国成立 100 周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用干 支纪年法，2049 年是己巳年，则 2058 年是（ ）年 A己巳 B甲申 C戊寅 D丙戌 【解答】解：根据题意，列表如下： 第 9 页（共 18 页） 2049 年是己巳年，往后数 9 年，可得 2058 年是戊寅 故选：C 12（5分） 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、 N， 若线段MN的最小值为3 1， 则下列结论不正确的是（ ） A正方体的
20、外接球的表面积为 12 B正方体的内切球的体积为4 3 C正方体的棱长为 2 D线段 MN 的最大值为23 第 10 页（共 18 页） 【解答】解：设正方体的棱长为 a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即 3 2 ， 内切球半径为棱长的一半，即 2 M、N 分别为外接球和内切球上动点， = 3 2 2 = 31 2 = 3 1， 解得：a2即正方体棱长为 2，C 正确； 正方体外接球表面积为4 (3)2= 12，A 正确； 内切球体积为4 3 ，B 正确； 线段 MN 的最大值为 3 2 + 2 =3 + 1，D 错误 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小
21、题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 = (2， 1)， = (1，)，若 (2 + )，则 k 12 【解答】解：根据题意，向量 = (2， 1)， = (1，)， 则2 + = (5， 2 + )， 若 (2 + )，则有 (2 + ) = 10 (2 + ) = 0， 解得 k12， 故答案为：12 14 （5 分）在（x 1 ） 6 展开式中，常数项为 20 （用数值表示） 【解答】解：二项式（x 1 ） 6x+（x1）6， 其展开式的通项公式为： Tr+1= 6 x6r （x1）r（1）r6x62r， 当 62r0 时，得 r3， 所以展开式的常数项为：
22、 T4（1）36 3 = 20 故答案为：20 15 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 0 + 1 0 ，则 z3x+2y的最大值 9 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：由约束条件 0 + 1 0 直线可行域如图， 令 tx+2y，由图可知，当直线 tx+2y 过 A 时，t 有最大值为 t2， 此时 z3x+2y的最大值为 9 故答案为：9 16（5 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 满足 a1= 3 2，2 = 2，2(+2+ ) = 4+1+1， 则数列an的前 16 项和 S16 84 【 解答 】解 ：2 （ Sn+2+Sn） 4Sn+1+1， 化为(+2
23、+1) (+1 ) = 1 2 ， 即 +2 +1= 1 2， 2 1= 1 2，an为等差数列，公差 = 1 2 ，1= 3 2， 16= 16 3 2 + 1615 2 1 2 = 84 故答案为：84 三、解答题（共三、解答题（共 7解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 ） （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 ） （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a
24、、b、c，a2 （1）若 + = 1 ，求角 B； （2）若 c2b，当角 B 最大时，求ABC 的面积 【解答】解： （1）因为 + = 1 ， 所以 + = = +，整理可得 a 2+c2b2ac， 第 12 页（共 18 页） 可得 cosB= 2+22 2 = 2 = 1 2， 因为 B（0，） ， 可得 B= 3 （2）在ABC 中，b2a2+c22accosB，c2b， 所以 cosB= 4+32 8 3 2 ，当且仅当 b= 23 3 时取等号，此时 B= 6，C= 2， 所以ABC 的面积 S= 1 2ab= 1 2 2 23 3 = 23 3 18 （12 分）为了推进分级诊
25、疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊 疗模式， 某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务 已知该地区居民约为2000万 从 1 岁到 101 岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示 为了解各年龄段居民签约家 庭医生的情况，现调查了 1000 名年满 18 周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图 乙所示 （1）估计该地区年龄在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数； （2）若乙图中年龄在 7180 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生 的概率，则从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为 变量 X，求这三人中恰有二人已签约
26、家庭医生的概率；并求变量 X 的数学期望和方差 【解答】解： （1）由题知该地区居民约为 2000 万，由图 1 知， 该地区年龄在 7180 岁的居民人数为 0.00410200080 万 由图 2 知年龄在 7180 岁的居民签概率为 0.7 所以该地区年龄在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数为 800.756 万 （2）由题知此地区年龄段在 7180 的每个居民签约家庭医生的概率为 P0.7， 且每个居民之间是否签约是独立的， 所以设“从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取三人”为事件 B， 第 13 页（共 18 页） 随机变量为 X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：
27、( = 2) = 4 2(0.7)2(1 0.7)1 = 0.441 数学期望 E（X）30.72.1， 方差 D（X）30.70.30.63 19 （12 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上除 A，B 外的一个动点，DC 垂直于 半圆 O 所在的平面，DCEB，DCEB1，AB4 （1）证明：平面 ADE平面 ACD； （2）当 C 点为半圆的中点时，求二面角 DAEB 的余弦值 【解答】 （1）证明：AB 是圆 O 的直径，ACBC， DC平面 ABC，BC平面 ABC， DCBC，又 DCACC， BC平面 ACD， DCEB，DCEB， 四边形 DCBE 是平行四边
28、形，DEBC， DE平面 ACD， 又 DE平面 ADE， 平面 ACD平面 ADE （2）当 C 点为半圆的中点时，ACBC22， 以 C 为原点，以 CA，CB，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则 D（0，0，1） ，E（0，22，1） ，A（22，0，0） ，B（0，22，0） ， =（22，22，0） ， =（0，0，1） ， =（0，22，0） ， =（22，0， 1） ， 设平面 DAE 的法向量为 =（x1，y1，z1） ，平面 ABE 的法向量为 =（x2，y2，z2） ， 第 14 页（共 18 页） 则 = 0 = 0 ， = 0 = 0 ，即221 1= 0 22
29、1= 0 ，222 + 222= 0 2= 0 ， 令 x11 得 =（1，0，22） ，令 x21 得 =（1，1，0） cos ， = | |= 1 32 = 2 6 二面角 DAEB 是钝二面角， 二面角 DAEB 的余弦值为 2 6 20 （12 分） 已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)离心率为2 3， 点 A， B， D， E 分别是 C 的左， 右，上，下顶点，且四边形 ADBE 的面积为65 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知 F 是 C 的右焦点，过 F 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，记直线 AP，BQ 的交 点为 T，求证：点 T 横坐标为定值 【解答
30、】解： （1）设椭圆 C 的半焦距为 c，根据题意， = 2 3 1 2 2 2 = 65 2= 2 2 ，解得 = 3 = 5 = 2 ， 所以椭圆的方程为 2 9 + 2 5 =1 （2）证明：由（1）知 A（3，0） ，B（3，0） ，F（2，0） ， 设 T（x0，y0） ，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 由 kTAkPA，得 0 0+3 = 1 1+3， kTBkQB，得 0 03 = 2 23， 两式相除得03 0+3 = 1 1+3 23 2 ， 第 15 页（共 18 页） 又1 2 9 + 12 5 =1， 故1 2 9 1= 12 5 (13)(1+3) 9 =
31、12 5 ， 故 1 1+3 = 5 9 13 1 ， 于是03 0+3 = 1 1+3 23 2 = 5 9 (13)(23) 12 ， 由于直线 PQ 经过点 F，故设直线 PQ 的方程为 xmy+2， 联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my250， 所以 1+ 2= 20 52+9 12= 25 52+9 ， 所以 03 0+3 = 5 9 (13)(23) 12 = 5 9 (11)(21) 12 = 5 9 212(1+2)+1 12 = 5 9 2( 25 52+9)( 20 52+9)+1 25 52+9 = 1 5， 解得 x0= 9 2， 所以点 T 横坐标为定值9
32、2 21 （12 分）已知函数 f（x）ex（x+a） ，其中 e 是自然对数的底数，aR （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）设 g（x）f（xa）x2，讨论函数 g（x）零点的个数，并说明理由 【解答】解： （1）因为 f（x）ex（x+a） ， 所以 f（x）ex（x+a+1） （1 分） 由 f（x）0，得 xa1； 由 f（x）0，得 xa1（2 分） 所以 f（x）的增区间是（a1，+） ，减区间是（，a1） （3 分） （2）因为 g（x）f（xa）x2xex ax2x（exax） 由g（x）0，得x0或ex a x 0（4 分） 第 16 页（共 18 页） 设 h（x）
33、ex ax， 又 h（0）e a0，即 x0 不是 h（x）的零点， 故只需再讨论函数 h（x）零点的个数 因为 h（x）ex a1， 所以当 x（，a）时，h（x）0，h（x）单调递减； 当 x（a，+）时，h（x）0，h（x）单调递增 （5 分） 所以当 xa 时，h（x）取得最小值 h（a）1a（6 分） 当 h（a）0，即 a1 时，h（x）0，h（x）无零点； （7 分） 当 h（a）0，即 a1 时，h（x）有唯一零点； （8 分） 当 h（a）0，即 a1 时， 因为 h（0）e a0， 所以 h（x）在（，a）上有且只有一个零点 （9 分） 令 x2a，则 h（2a）ea2a
34、设 （a）h（2a）ea2a（a1） ，则 （a）ea20， 所以 （a）在（1，+）上单调递增， 所以，a（1，+） ，都有 （a）（1）e20 所以 h（2a）（a）ea2a0（10 分） 所以 h（x）在（a，+）上有且只有一个零点 所以当 a1 时， h （x） 有两个零点 （11 分） 综上所述，当 a1 时，g（x）有一个零点； 当 a1 时，g（x）有两个零点； 当 a1 时， g （x） 有三个零点 （12 分） 第 17 页（共 18 页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果
35、多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 已知圆 C 的极坐标方程为 2+12cos+110 （1）求圆心 C 的直角坐标； （2） 若直线l的参数方程是 = = （t为参数） ， l与C交于A， B两点， | = 10， 求l的 斜率 【解答】解： （1）将 xcos，ysin，x2+y22代入 2+12cos+110， 得 x2+y2+12x+110，即（x+6）2+y225， 所以圆 C 的圆心坐标为（6，0） ； （2）在极坐标系中，直线 l 的
36、极坐标方程为 （R） 设 A，B 所对应的极径分别为 1，2， 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2+12cos+110 于是 1+212cos，1211， | = (1+ 2)2 412= 1442 44， 由| = 10，得，2 = 3 8，tan= =1 2 2 = 15 3 ， 所以 l 的斜率为 15 3 或 15 3 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x2+1，g（x）|xa|2x1|，a 1 2 （1）当 a= 1 2时，解不等式 g（x 2） 7 2； （2）对任意 x1，x2R若不等式 f（x1）g（x2）恒成立，求实数 a 的取值范
37、围 【解答】解： （1）当 = 1 2时，() = | 1 2 | |2 1| = | 1 2 |， 不等式 g（x2） 7 2，即| 2 1 2 | 7 2，即| 2 1 2 | 7 2， 解得 x24 或 x23（舍去） ， 由 x24，解得 x2 或 x2， 所以不等式(2) 7 2的解集是（，2）（2，+） （2）由题意知，只需满足 f（x）mixg（x）max即可， 第 18 页（共 18 页） 因为 f（x）x2+1，所以 f（x）min1， 依题意，当 1 2时，g（x）= + 1， 1 2 3 + + 1， 1 2 + 1， ， 得 f（x）ming（x）max，得1 1 2，即 3 2， 所以1 2 3 2， 即 a 的取值范围是1 2， 3 2
