1、第 1 页（共 20 页） 2021 年四川省大数据精准教学联盟高考数学第二次监测试卷年四川省大数据精准教学联盟高考数学第二次监测试卷 （理科）（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）集合 Mx|0 x2，Nx|2x 11，则 MN（ ） Ax|0 x1 Bx|0 x1 Cx|1x2 Dx|1x2 2 （5 分）设 i 是虚数单位，a，bR，且（2+i）bia4i，则复数 a+bi 在复平面内所对应 的点
2、位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分） （ax+1 ） 5 的展开式中 x 的系数为80，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 4 （5 分）某公司注重科技创新，对旗下产品不断进行研发投入，现统计了该公司 2011 年 2020 年研发投入 （单位： 百万） 和研发投入占年利润的比， 并制成如图所示的统计图 下 列说法正确的是（ ） A2011 年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比呈下降趋势 B2011 年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比在逐年增大 C2011 年开始，该公司的年利润逐年增加 D2011 年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势
3、 5 （5 分）若 sin（ 4 ）3 5，则 sin2（ ） A 7 25 B 7 25 C18 25 D24 25 6 （5 分）函数 f（x） 4 +的大致图象为（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 7 （5 分）系统找不到该试题 8 （5 分）已知 O 为坐标原点，P 为圆 C： （x1）2+（yb）21（常数 b0）上的动点， 若|OP|最大值为 3，则 b 的值为（ ） A1 B2 C3 D2 9 （5 分）如图，ABC 中，角 C 的平分线 CD 交边 AB 于点 D，A2 3 ，AC23，CD 32，则 BC（ ） 第 3 页（共 20 页） A33 B4 C42
4、 D6 10 （5 分）设 ， 是两个不同平面，m，n 是两条直线，下列命题中正确的是（ ） A如果 mn，m，n，那么 B如果 mn，m，n，那么 C如果 mn，m，n，那么 D如果 ，m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，那么 mn 11 （5 分）已知直线 yx1 与抛物线 C：y22px（p0）交于 M，N 两点，且抛物线 C 上存在点 P，使得 + = 2 3 （O 为坐标原点） ，则抛物线 C 的焦点坐标为（ ） A （4，0） B （2，0） C （1，0） D （1 2，0） 12 （5 分）已知 2m3，3n2，5p22，则 m，n，p 的大小关系为（ ） Amnp Bm
5、pn Cpmn Dpnm 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 ykx（k0） ，离 心率为 2，则 k 的值为 14 （5 分）若实数 x，y 满足 1 2 2 0 ，则 2x+y 的最小值是 15 （5 分）已知三棱锥 ABCD 中，ABACADBCBD22，侧棱 AB 与底面 BCD 所成的角为 45，则该三棱锥的体积为 16 （5 分）已知函数 f（x）|cos（2x 6）cos（2x 2）|，给出下列四个结论： f（x）的值域是0，1； f（
6、x）是以 2为最小正周期的周期函数； f（x）在0，2上有 4 个零点； f（x）在区间 6 ， 2 3 上单调递增 其中所有正确结论的编号是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。分。 17 （12 分） 在新型冠状病毒疫情期间， 某高中学校实施线上教学， 为了解线上教学的效果， 第 4 页（共 2
7、0 页） 随机抽取了 100 名学生对线上教学效果进行评分 （满分 100 分） ， 记低于 80 的评分为 “效 果一般” ，不低于 80 分为“效果较好” （1）请补充完整 22 列联表；通过计算判断，有没有 99%的把握认为线上教学效果评 分为“效果较好”与性别有关？ 效果一般 效果较好 合计 男 20 女 15 55 合计 （2）用（1）中列联表的数据估计全校线上教学的效果，用频率估计概率从该校学生 中任意抽取 3 人，记所抽取的 3 人中线上教学“效果较好”的人数为 X，求 X 的分布列 和数学期望 附表及公式： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
8、 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中 K2 ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 18 （12 分） 已知数列an是等差数列，bn是递增的等比数列， 且 a11，b12，b22a2， b33a31 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）若 cn 2 (1)(+11)，求数列cn的前 n 项和 Sn 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，ABC90，BCAD， BC2AD，平面 PBC平面 ABCD，PBPC2，DPDC3，E 为 PB 的中点 （1）证明：AEPC； （2）求二面角 BPAD 的正弦值 第
9、 5 页（共 20 页） 20（12分） 已知点A的坐标为 （2， 0） ， 点B的坐标为 （2， 0） ， 点P满足 +| | |8， 记点 P 的轨迹为 E （1）证明：|PA|+|PB|为定值，并写曲线 E 的方程； （2）设直线 ykx1（kR）与曲线 E 交于 C，D 两点，在 y 轴上是否存在定点 Q，使 得对任意实数 k，直线 QC，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）ex1 2ax 2（x0，aR） （1）当 a1 时，比较 f（x）与 x+1 的大小； （2）若 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，
10、证明：|ln1 2|（a1）x1x2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系的坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l： = + ， = 3 （t 为参数，a 为常数）与曲线 C 交于点 A，B，且|AB|1， 求 a 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲
11、 23设函数 f（x）2|x+1|+|3x|的最小值为 t （1）求 t 的值； （2）若正数 a，b 满足 a+bt，求证： + 2 + + 2 4 第 6 页（共 20 页） 2021 年四川省大数据精准教学联盟高考数学第二次监测试卷年四川省大数据精准教学联盟高考数学第二次监测试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）集合 Mx|0 x2，Nx|2x
12、11，则 MN（ ） Ax|0 x1 Bx|0 x1 Cx|1x2 Dx|1x2 【解答】解：集合 Mx|0 x2， Nx|2x 11x|x1， 则 MNx|0 x1 故选：B 2 （5 分）设 i 是虚数单位，a，bR，且（2+i）bia4i，则复数 a+bi 在复平面内所对应 的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： （2+i）bia4i， b+2bia4i， = 2 = 4，解得 b2，a2 则复数 a+bi 在复平面内所对应的点（2，2）位于第四象限 故选：D 3 （5 分） （ax+1 ） 5 的展开式中 x 的系数为80，则 a（ ） A2 B1
13、 C1 D2 【解答】解：展开式的通项公式为 Tk+1C 5 （ax）5k（1 ） kC 5 a5kx52k， 由 52k1 得 k2， 得 T3C 5 2a3x，则 x 的系数为 C 5 2a380， 得 a38，a2， 故选：A 4 （5 分）某公司注重科技创新，对旗下产品不断进行研发投入，现统计了该公司 2011 年 2020 年研发投入 （单位： 百万） 和研发投入占年利润的比， 并制成如图所示的统计图 下 第 7 页（共 20 页） 列说法正确的是（ ） A2011 年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比呈下降趋势 B2011 年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比在逐年增大
14、 C2011 年开始，该公司的年利润逐年增加 D2011 年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势 【解答】解：由图表可知，只有 2013 年到 2015 年下降，和 2016 年到 2017 年轻微下降， 其他都是上升趋势，故 A 不正确； 也可知每年的研发投入占年利润的比并没有逐年增大，故 B 不正确； 2015 年和 2016 年的研发投入差不多，但 2016 年研发投入占年利润的比 2015 年占比高， 所以说 2016 年的利润小于 2015 年的利润，故 C 不正确； 由图表可知，2011 年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势，故 D 正确 故选：D 5 （5 分）若 sin（
15、 4 ）3 5，则 sin2（ ） A 7 25 B 7 25 C18 25 D24 25 【解答】解：因为 sin（ 4 ）= 2 2 cos 2 2 sin3 5， 可得 cossin= 32 5 ，两边平方，可得 1sin2= 18 25， 则 sin2= 7 25 故选：B 6 （5 分）函数 f（x） 4 +的大致图象为（ ） 第 8 页（共 20 页） A B C D 【解答】解：函数的定义域为 R， f（x）= ()4 + = 4 + =f（x） ，即 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A， B， 当 x0 且趋向无穷大时，f（x）趋向 0，排除 C， 故选：D 7
16、（5 分）系统找不到该试题 8 （5 分）已知 O 为坐标原点，P 为圆 C： （x1）2+（yb）21（常数 b0）上的动点， 若|OP|最大值为 3，则 b 的值为（ ） A1 B2 C3 D2 【解答】解：圆 C： （x1）2+（yb）21 的圆心为 C（1，b） ，半径为 1， 所以圆 C 上的点 P 到原点的最大距离为|OP|OC|+13， 第 9 页（共 20 页） 即12+2+13，解得 b3， 又 b0，所以 b 的值为3 故选：C 9 （5 分）如图，ABC 中，角 C 的平分线 CD 交边 AB 于点 D，A2 3 ，AC23，CD 32，则 BC（ ） A33 B4 C4
17、2 D6 【解答】解：ACD 中，由正弦定理得 = ， 即 32 3 2 = 23 ，解得 sinADC= 2 2 ， 又A= 2 3 ，所以ADC（0， 3） ， 所以ADC= 4， 所以ACD 2 3 4 = 12， 又 CD 平分ACB，所以ACB2ACD= 6， 所以B 2 3 6 = 6， 所以BACB，ABAC23， 由余弦定理得 BC2AB2+AC22ABACcosA= (23)2+ (23)2223 23 （ 1 2） 36， 所以 BC6 故选：D 10 （5 分）设 ， 是两个不同平面，m，n 是两条直线，下列命题中正确的是（ ） A如果 mn，m，n，那么 B如果 mn，
18、m，n，那么 第 10 页（共 20 页） C如果 mn，m，n，那么 D如果 ，m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，那么 mn 【解答】解：由 ， 是两个不同平面，m，n 是两条直线，知： 对于 A，如果 mn，m，n，那么 与 相交或平行，故 A 错误； 对于 B，如果 mn，m，n，那么 与 相交或平行，故 B 错误； 对于 C，如果 mn，m，n，那么由面面平行的判定定理得 ，故 C 正确； 对于 D，如果 ，m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，那么 m 与 n 相交、平行 或异面，故 D 错误 故选：C 11 （5 分）已知直线 yx1 与抛物线 C：y22px（p0）交
19、于 M，N 两点，且抛物线 C 上存在点 P，使得 + = 2 3 （O 为坐标原点） ，则抛物线 C 的焦点坐标为（ ） A （4，0） B （2，0） C （1，0） D （1 2，0） 【解答】解：由 2 = 2 = 1消去 y 得：x 2（2p+2）x+10， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由韦达定理得：x1+x22+2p，x1x21，y1+y2（x11）+（x21）x1+x222p； 设 P（0 2 2 ，y0） ， + = 2 3 ， 2+2px1+x2= 2 3 02 2 = 02 3 ，且 y1+y22p= 2 3y0， 由得，y03p，代入， 解得：p2，即抛
20、物线 C 的方程为 y24x， 则抛物线 C 的焦点坐标为（1，0） ， 故选：C 12 （5 分）已知 2m3，3n2，5p22，则 m，n，p 的大小关系为（ ） Amnp Bmpn Cpmn Dpnm 【解答】解：2m3，3n2，5p22， 画出函数 y2x，y3x，y5x的图像，如图示： 第 11 页（共 20 页） 再作出 y= 3，y2，y22， 然后观察交点的横坐标，则交点的横坐标即为 m，n，p， 由图像可知 npm， 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（
21、a0，b0）的一条渐近线方程为 ykx（k0） ，离 心率为 2，则 k 的值为 3 【解答】解：双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 ykx（k0） ，离 心率为 2， 可得 =2，所以 2+2 2 = 4，所以 =3， 所以 k= = 3 故答案为：3 14 （5 分）若实数 x，y 满足 1 2 2 0 ，则 2x+y 的最小值是 4 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 12 页（共 20 页） 联立 = 1 2 = 0，得 A（1，2） ， 令 z2x+y，化为 y2x+z，由图可知，y2x+z 过点 A（1，2）时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 取
22、得最小值4 故答案为：4 15 （5 分）已知三棱锥 ABCD 中，ABACADBCBD22，侧棱 AB 与底面 BCD 所成的角为 45，则该三棱锥的体积为 8 3 【解答】解：如图，三棱锥 ABCD 中，ABACADBCBD22，侧棱 AB 与底 面 BCD 所成的角为 45， A 射影在底面 BCD 上的射影在CBD 的平分线上， 可得棱锥的高为： 22 sin452， 所以 AD，AC 与底面所成角也是 45，A 在底面的射影是底面三角形的外心，外接圆的 半径为 2，所以射影点为 E，是 CD 的中点，则CBD 是等腰直角三角形， 所以该三棱锥的体积为：1 3 1 2 22 22 2
23、= 8 3 故答案为：8 3 16 （5 分）已知函数 f（x）|cos（2x 6）cos（2x 2）|，给出下列四个结论： f（x）的值域是0，1； f（x）是以 2为最小正周期的周期函数； 第 13 页（共 20 页） f（x）在0，2上有 4 个零点； f（x）在区间 6 ， 2 3 上单调递增 其中所有正确结论的编号是 【解答】解：f（x）|cos（2x 6）cos（2x 2）|2sin（2x 3）sin（ 6）|sin（2x 3）|， 对于，f（x）的值域是0，1，所以对； 对于，sin（2x 3）的最小正周期为 ， 所以 f（x）的最小正周期是 2，所以对； 对于，因为 f（x）在
24、0， 2上仅有一个零点 6， 区间0，2长是周期的 4 倍，所以有 4 个零点，所以对； 对于，区间 6 ， 2 3 长是 2， 而 f（x）在0， 2上不是单调函数，所以错 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。分。 17 （12 分） 在新型冠状病毒疫情期间， 某高中学校实施线上教学，
25、 为了解线上教学的效果， 随机抽取了 100 名学生对线上教学效果进行评分 （满分 100 分） ， 记低于 80 的评分为 “效 果一般” ，不低于 80 分为“效果较好” （1）请补充完整 22 列联表；通过计算判断，有没有 99%的把握认为线上教学效果评 分为“效果较好”与性别有关？ 效果一般 效果较好 合计 男 20 女 15 55 合计 （2）用（1）中列联表的数据估计全校线上教学的效果，用频率估计概率从该校学生 第 14 页（共 20 页） 中任意抽取 3 人，记所抽取的 3 人中线上教学“效果较好”的人数为 X，求 X 的分布列 和数学期望 附表及公式： P（K2 k0） 0.1
26、5 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中 K2 ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 【解答】解： （1）由题意可得： 效果一般 效果较好 合计 男 25 20 45 女 15 40 55 合计 40 60 100 K2= 100(25402015)2 40604555 49.96.635， 因此有 99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关 （2）设“从 100 名学生任意抽取一名学生对线上教学效果进行评分认为“效果较好” “为 事件 A，则 P（A）= 60 100 = 3 5 由题意
27、可得：XB（3，3 5） ，X0，1，2，3 P（Xk）= 3 (3 5) (2 5) 3，k0，1，2，3 E（X）3 3 5 =1.8 18 （12 分） 已知数列an是等差数列，bn是递增的等比数列， 且 a11，b12，b22a2， b33a31 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）若 cn 2 (1)(+11)，求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）设数列an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q（q1）的等比数 列， 由 a11，b12，b22a2，b33a31 第 15 页（共 20 页） 可得 2q2（1+d） ，2q23（1+2d）1， 解得 d0，q
28、1（舍去）或 d1，q2， 则 an1+n1n，bn22n 12n； （2）cn 2 (1)(+11) = 2 (21)(2+11) = 1 21 1 2+11， 则 Sn1 1 221 + 1 221 1 231 + 1 231 1 241 + + 1 21 1 2+11 1 1 2+11 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，ABC90，BCAD， BC2AD，平面 PBC平面 ABCD，PBPC2，DPDC3，E 为 PB 的中点 （1）证明：AEPC； （2）求二面角 BPAD 的正弦值 【解答】 （1）证明：取 PC 中点 F，连接 EF，DF，
29、因为 DPDC，所以 DFPC， 又 E 为 BP 中点，所以 EFBC，且 EF= 1 2BC， 又 ADBC，且 AD= 1 2BC， 所以 EFAD，EFAD，所以四边形 EFDA 为平行四边形， 所以 AEDF，又因为 DFPC， 所以 AEPC （2）解：取 BC 中点 O，连接 OP，OD， 因为 PBPC，所以 POBC，又因为平面 PBC平面 ABCD， 所以 PO平面 ABCD，于是 POOD， 又由已知得四边形 ADOB 为正方形，所以 ODBC， 所以 OD，OC，OB 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 第 16 页（共 20 页） OD= 3 2 2 = 6
30、2 ，OP=22 ( 6 2 )2= 10 2 ， 所以各点坐标如下： A（ 6 2 ， 6 2 ，0） ，P（0，0， 10 2 ） ，B（0， 6 2 ，0） ，D（ 6 2 ，0，0） ， =（ 6 2 ， 6 2 ， 10 2 ） ， =（0， 6 2 ，0） ， =（ 6 2 ，0，0） ， 设平面 PAB 与平面 PAD 法向量分别为 =（x，y，z） ， =（u，v，w） ， = 6 2 + 6 2 + 10 2 = 0 = 6 2 = 0 ，令 z= 3， =（0，5，3） ， = 6 2 + 6 2 + 10 2 = 0 = 6 2 = 0 ，令 w= 3， =（5，0，3）
31、 ， 设二面角 BPAD 的大小为 ， |cos|= | | | |= 3 2222 = 3 8， sin= 1 2 = 55 8 故二面角 BPAD 的正弦值为 55 8 20（12分） 已知点A的坐标为 （2， 0） ， 点B的坐标为 （2， 0） ， 点P满足 +| | |8， 记点 P 的轨迹为 E （1）证明：|PA|+|PB|为定值，并写曲线 E 的方程； （2）设直线 ykx1（kR）与曲线 E 交于 C，D 两点，在 y 轴上是否存在定点 Q，使 得对任意实数 k，直线 QC，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由 第 17 页（共 20 页）
32、 【解答】解： （1）因为 = + ， 两边平方得| |2= |2+ |2+ 2 ， 而 +| | |8，且|AB|4， 从而16 = |2+ |2+ 2(| | | | 8)， 即（|AP|+|PB|）232，所以| + | = 42， 由椭圆的定义可知 P 的轨迹为椭圆， 从而 E 的方程为 2 8 + 2 4 = 1 （2）设存在点 Q（0，m）满足条件，记 C（x1，y1） ，D（x2，y2） 由 = 1 2+ 22= 8消去 y，得 （1+2k 2）x24kx60 显然其判别式0， 所以1+ 2= 4 1+22 ，12= 6 1+22， 于是= 1 1 2 2 = 1(+1)2(+1
33、) 12 = 212(+1)(1+2)+(+1)2 12 = 1 + 2 3( + 1) (+1)2 3 2 (+1)2 6 上式为定值，当且仅当 1 + 2 3 ( + 1) (+1)2 3 = 0 解得 m2 或 m2 此时，= (+1)2 6 = 3 2 或 1 3 从而，存在定点 Q（0，2）或者 Q（0，2）满足条件 21 （12 分）已知函数 f（x）ex1 2ax 2（x0，aR） （1）当 a1 时，比较 f（x）与 x+1 的大小； （2）若 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，证明：|ln1 2|（a1）x1x2 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）ex1 2x
34、2（x0） 令 g（x）f（x）x1ex1 2x 2x1， （x0） ， g（x）exx1， g（x）ex10 在（0，+）上恒成立，函数 g（x）在（0，+）单调递增， g（x）g（0）0， 第 18 页（共 20 页） 函数 g（x）在（0，+）单调递增，g（x）g（0）0， f（x）x+1 （2）f（x）exax， f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，方程 f（x）0 有两个不同的根 x1，x2， x1，x2是方程 = 的两个不同的正实根根， 令 h（x）= ，() = (1) 2 ， 可得 h（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增， h（x）的图像如下：可得 ah（1）e
35、， 不妨设 0 x1x2，根据1= 1，e 2 =ax2， 可得 x1lnalnx1，x2lnalnx2， |ln1 2|lnx2lnx1x2x1， 故只需证明 x2x1（a1）x1x2 即证明 1 1 1 2 a1， 由（1）可得 2 + 1 + 1， 令 m（x）= 2 + 1 + 1，根据对勾函数可得 m（x）在（0，1）单调递减，在（1，+） 单调递增， h（x） ，m（x） ，ya 的图像如上图所示， 则有函数 m（x）与直线 ya 的交点横坐标为 x3，x4， 显然有 0 x3x1x2x4， 而且 x3，x4是方程 2 + 1 + 1 = 的两根， 即 x3，x4是方程 x2+2（
36、1a）x+20 的两根， x3+x42（a1） ，x3x42， 第 19 页（共 20 页） 1 3 1 1 1 2 1 4 0， 1 1 1 2 1 3 1 4 = 43 34 = (3+4)2434 34 = 4(1)28 2 = ( 1)2 2a1， （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系的坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐
37、标方程为 2cos （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l： = + ， = 3 （t 为参数，a 为常数）与曲线 C 交于点 A，B，且|AB|1， 求 a 的值 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为 2cos，根据 = = 2+ 2= 2 ，整理得 2 2cos，转换为直角坐标方程为 x2+y22x （2）直线 l： = + ， = 3 （t 为参数，a 为常数）转换为 = + 1 2 = 3 2 （t 为参数） ，代入 x2+y22x， 得到：1 4 2+ + 2+ 3 4 2= 2 + ， 整理得 t2+（a1）t+a22a0（t1和 t2为 A 和 B 对应的参
38、数） ， 故 t1+t21a，12= 2 2， |AB|t1t2|= (1+ 2)2 412=1， 解得 a0 或 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）2|x+1|+|3x|的最小值为 t （1）求 t 的值； （2）若正数 a，b 满足 a+bt，求证： + 2 + + 2 4 第 20 页（共 20 页） 【解答】 （1）解：函数 f（x）2|x+1|+|3x|2|x+1|+|x3|= 1 3， 1 + 5， 1 3 3 1，3 ，函数 的图形如图， 可知 x1 是函数取得最小值为：4 所以 t4 （2）证明：正数 a，b 满足 a+bt，即 a+b4， 所以 a+2+b+28，令 a+2x，b+2y，x2，y2， 则： + 2 + + 2 = + = + + 2 + + + = 16 =4， 当且仅当 xy，即 ab2 时，取等号， 所以正数 a，b 满足 a+bt， + 2 + + 2 4
