1、勾股定理勾股定理 单元检测单元检测试题试题 一、选择题一、选择题（每题 3 分,共 18 分） 1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是 （ ） （A）1,2,3 （B）2,3,4 （C）3,4,5 （D）4,5,6 解：因为 222 345，故选（C） 2在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ） （A）30 （B）40 （C）50 （D）60 解：由勾股定理知，另一条直角边的长为 22 13125，所以这个直角三角形的 面积为 1 12 530 2 . 3如图 1,一架 2.5 米长的梯子AB,斜靠在一竖直的
2、墙AC上,这时梯足B到墙底 端C的距离为 0.7 米,如果梯子的顶端下滑 0.4 米,则梯足将向外移( ) (A)0.6 米 (B)0.7 米 (C)0.8 米 (D)0.9 米 解:依题设 11 2.5,0.7ABABBC.在Rt ABC中,由勾股定理,得 2222 2 . 50 . 72 . 4A CA BB C 由 1 2.4,0.4ACAA, 得 11 2.40.42ACACAA. 在 11 Rt ABC中, 由勾股定理,得 2222 1111 2 . 521 . 5B CA BA C 所以 11 1.50.70.8BBBCBC 故选(C) 4直角三角形有一条直角边的长是 11，另外两
3、边的长都是自然数，那么它的 周长是（ ） （A）132 （B）121 （C）120 （D）以上答案都不对 解：设直角三角形的斜边长为x,另外一条直角边长为y,则xy. 由勾股定理,得 222 11xy. 因为, x y都是自然数，则有121 121 1xyxy. 所以121,1xyxy. 图 1 因此直角三角形的周长为 121+11=132. 故选（A） 5直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ ） （A） 2 2dSd （B） 2 dSd （C） 2 22dSd （D） 2 2 dSd 解:设两直角边分别为, a b,斜边为c,则2cd, 1 2 Sab. 由勾股定理
4、,得 222 abc. 所以 2 2222 2444abaabbcSdS. 所以 2 2abdS.所以abc 2 22dSd. 故选（C） 6. 直角三角形的三边是, ,ab a ab,并且, a b都是正整数,则三角形其中一边的 长可能是( ) （A）61 （B）71 （C）81 （D）91 解:因为abaab.根据题意,有 22 2 ababa. 整理,得 2 4aab.所以4ab. 所以3 ,5abb abb. 即该直角三角形的三边长是3 ,4 ,5bbb. 因为只有 81 是 3 的倍数. 故选（C） 二、填空题（二、填空题（每题 3 分,共 24 分） 7. 如图 2，以三角形ABC
5、的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半 圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_. 解:根据题意，有 123 SSS，即 222 111 222222 abc . 整理,得 222 abc. 故此三角形为直角三角形. 8. 在Rt ABC中,3,5ac,则边b的长为_. 解：本题在Rt ABC中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论： 图 2 当C为直角时,c为斜边，由勾股定理,得 222 abc， 2222 534bca； 当C不为直角时, c是直角边，b为斜边，由勾股定理，得 222 acb， 2222 3534.bac 因此,本题答案为 4 或34. 9. 如图 3,
6、有两棵树,一棵高 8 米,另一棵高 2 米, 两树相距 8 米,一只小鸟从一棵树的树梢飞 到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_ 米. 解 ： 由 勾 股 定 理 ， 知 最 短 距 离 为 22 22 88210BDACABCD. 10. 如图 4，已知ABC中，90ACB，以ABC的各边为边在ABC外作三 个正方形， 123 ,S S S分别表示这三个正方形的面积， 12 81,225SS，则 3 _ .S 解：由勾股定理，知 222 ACBCAB，即 123 SSS，所 以 3 114S 11如图 5,已知，Rt ABC中，90ACB，从直角三角 形两个锐角顶点所引的中线的长5,2 10AD
7、BE，则斜 边AB之长为_. 解： AD、BE是中线，设,BCx ACy，由已知， 5,25ADBE， 所以 22 22 40,25. 22 yx xy 两式相加， 得 22 5 65 4 xy，所以 22 522 13.ABxy 12.如图 6，在长方形ABCD中，5DCcm,在DC上存在一点E,沿直线AE把 AED折叠， 使点D恰好落在BC边上， 设此点为F， 若ABF的面积为 2 30cm, 那么折叠AED的面积为_. 图 6 图 5 图 4 图 3 解:由折叠的对称性,得,ADAF DEDF. 由 1 30,5 2 ABF SBF ABAB ,得12BF . 在Rt ABF中,由勾股定
8、理,得 22 13AFABBF.所以13AD. 设DEx,则5,1ECx EFx FC. 在Rt ECF中, 222 ECFCEF,即 2 22 51xx.解得 13 5 x . 故 2 1113 1316.9 225 ADE SAD DEcm . 13.如图 7， 已知：ABC中，2BC ， 这边上的中线长1AD ， 13ABAC ， 则AB AC为_. 解:因为AD为中线，所以1BDDCAD,于是1,2CB . 但12180CB ,故212180 , 1290 ,即90BAC. 又13ABAC ,两边平方,得 22 242 3ABACAB AC. 而由勾股定理,得 22 4ABAC. 所以
9、24AB AC.故2AB AC. 即2AB AC. 14在ABC中,1ABAC,BC边上有 2006 个不同的点 122006 ,P PP, 记 2 1,2,2006 iiii mAPBP PC i,则 122006 mmm=_. 解:如图 8,作ADBC于D,因为1ABAC,则BDCD. 由勾股定理,得 222222 ,ABADBDAPADPD.所以 2222 ABAPBDPD BDPDBDPDBP PC . 所以 222 1APBP PCAB. 因此 2 122006 120062006mmm. 三、解答题三、解答题（每题 10 分,共 40 分） 15如图 9，一块长方体砖宽5ANcm，
10、长10NDcm，CD上的点B距地面 的高8BDcm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多 图 8 图 7 少？ 【解】如图 9，在砖的侧面展开图 10 上，连结AB，则AB的长即为A处到B处 的最短路程 在Rt ABD中，因为5 1015ADANND ，8BD， 所以 222222 15828917ABADBD 所以17ABcm 因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm 16如图 11 所示的一块地，90ADC，12ADm，9CDm，39ABm， 36BCm，求这块地的面积S 解：连结AC，在Rt ACD中，由勾股定理，得 222 ACADDC，即 222 129AC ，所以15AC
11、 在ABC中，由 22222 153639ACBC，即 222 ACBCAB 所以ABC为直角三角形，90ACB 所以 2 11 15 3612 9216 22 ABCADC SSSm 所以这块地的面积为 2 216m 17如图 12 所示， 在Rt ABC 中, 90 ,45BACACABDAE ,且3BD, 4CE ,求DE的长. 图 9 图 10 图 11 图 12答图 13 解:如图 13,因为ABC为等腰直角三角形,所以45ABDC. 所以把AEC绕点A旋转到AFB,则AFBAEC. 所以4,45BFECAFAEABFC .连结DF. 所以DBF为直角三角形. 由勾股定理,得 222
12、222 435DFBFBD.所以5DF . 因为45 ,DAE所以45DAFDABEAC. 所以ADEADF SAS . 所以5DEDF. 18ABC中，,BCa ACb ABc，若90C，如图 14，根据勾股定理， 则 222 cba， 若ABC不是直角三角形， 如图 15 和图 16， 请你类比勾股定理， 试猜想 22 ba 与 2 c的关系，并证明你的结论。 解：若ABC是锐角三角形，则有 222. abc 若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有 222. abc 当ABC是锐角三角形时，如图 17, 证明：过点A作ADCB，垂足为.D设CD为x，则有DBax， 图 14 图 15 图 16 根据勾股定理，得 2 222 .bxcax 即 22222 2.bxcaaxx 222 2.abcax 0,0ax， 20.ax 222. abc 当ABC是钝角三角形时，图 18, 证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点.D 设CD为x，则有 222. DBax 根据勾股定理， 得 2 222. bxaxc 即 22222 2.bbxxaxc 222 2.abbxc 0,0bx， 20.bx 222. abc 图 17 图 18
