1、二轮大题专练二轮大题专练 46随机变量的分布列（摸球类）随机变量的分布列（摸球类） 1一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的 8 个小球，其中白色球与黄色球各 3 个，红 色球与绿色球各 1 个现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记 1 分、黄球每个记 2 分、红球每个记 3 分、绿球每个记 4 分，以得分高获胜比赛规则如下：只能一个人摸 球；摸出的球不放回；摸球的人先从袋中摸出 1 球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里 摸出 2 个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出 3 个球，他的得分为两次摸出的球的 记分之和；剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和 （1）若甲第一次摸出了绿色球
2、，求甲的得分不低于乙的得分的概率； （2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望E 解： （1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件A， 因为球的总分为 16，即事件A指的是甲的得分大于等于 8， 则 112 163 2 7 93 ( ) 217 C CC P A C ， （2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3 个小球， 则得分情况有：6 分、7 分、8 分、9 分、10 分、11 分， 3 3 3 7 1 (6) 35 C P C ， 21 33 3 7 9 (7) 35 CC P C ， 12 33 3 7 9 (8) 35 CC P C ， 1
3、13 313 33 77 4 (9) 35 CCC P CC ， 111 331 3 7 9 (10) 35 CCC P C ， 21 31 3 7 3 (11) 35 CC P C ， 所以的分布列为： 6 7 8 9 10 11 P 1 35 9 35 9 35 4 35 9 35 3 35 所以的数学期望 60 7 E 2某不透明纸箱中共有 4 个小球，其中 1 个白球，3 个红球，它们除了颜色外均相同 （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出 2 个红球的概率； （2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取 4 次，记取到红球的次 数为，求的分布列； （3）每次从纸箱
4、中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取 20 次，取得几次红球的 概率最大？（只需写出结论） 解： （1）设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出 2 个红球”为事件A， 则从 4 个球中摸出 2 个，有 2 4 C种取法，都是红球的取法有 2 3 C种， 则P（A） 2 3 2 4 1 2 C C （2）可能取 0，1，2，3，4， 004 4 331 (0)( ) (1) 44256 PC， 113 4 333 (1)( ) (1) 4464 PC， 222 4 3327 (2)( ) (1) 44128 PC， 331 4 3327 (3)( ) (1) 4464 PC， 440 4
5、 3381 (4)( ) (1) 44256 PC 所以的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 256 3 64 27 128 27 64 81 256 （3）根据题意，纸箱中共有 4 个小球，其中 1 个白球，3 个红球，每次从纸箱中摸出一个 小球，取出红球的概率为 3 4 ， 若连续摸取 20 次，摸到红球次数的期望为 3 2015 4 ， 则摸到 15 次红球的概率最大 3袋中有 10 个大小、材质都相同的小球，其中红球 3 个，白球 7 个每次从袋中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回求： （）第一次摸到红球的概率； （）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （）第二次摸
6、到红球的概率 解：根据题意，设事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到红球， 则事件A：第一次摸到白球 （）袋中有 10 个球，第一次从 10 个球中摸一个共 10 种不同的结果，其中是红球的结果 共 3 种， 所以 3 ( ) 10 P A ， （）由（）的结论， 3 ( ) 10 P A ，前两次都摸到红球的概率 321 () 10915 P AB ， 则 ()2 (|) ( )9 P AB P B A p A ； （） 3 ( ) 10 P A ，则( )1P AP （A） 7 10 ， 737 () 10930 P AB ， 则P（B） 173 ()() 153010 P ABP A
7、B； 所以第二次摸到红球的概率 3 ( ) 10 P B 4某大型商场国庆期间举行抽奖活动，活动规定：凡是一次性购物满 200 元的顾客就可以 从装有 3 个红球，5 个白球（除颜色外，其他完全相同）的抽奖箱中无放回地摸出 3 个小球， 摸到红球才能中奖，摸到 1 个红球奖励 1 元，摸到 2 个红球奖励 4 元，摸到 3 个红球奖励 10 元活动第一天有 700 人次购物满 200 元，其中有 140 人次没有参与抽奖活动 （1）求活动第一天购物满 200 元的 700 人次中参与抽奖的频率； （2）设每次参与抽奖活动所得奖金的金额为X元，求X的分布列，并求活动第一天该商场 投入奖金总金额的
8、数学期望 解： （1）活动第一天购物满 200 元的 700 人次中参与抽奖的频率为 140 10.8 700 （2）X的可能取值为 0，1，4，10， 3 5 3 8 5 (0) 28 C P X C ， 12 35 3 8 15 (1) 28 C C P X C ， 21 35 3 8 15 (4) 56 C C P X C ， 3 3 3 18 1 (10) 56 C P X C ， 则X的分布列为： X 0 1 4 10 P 5 28 15 28 15 56 1 56 所以 51515125 01410 2828565614 EX ， 故活动第一天该商场投入奖金总金额的数学期望为(70
9、0 140)1000EX元 5有三个同样的箱子，甲箱中有 2 只红球，6 只白球，乙箱中有 6 只红球，4 只白球，丙箱 中有 3 只红球，5 只白球 （1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率； （2）从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率 解： （1）根据题意，记事件 1 A：从甲箱中取一球为红球，事件 2 A：从乙箱中取一球为红球， 事件 3 A：从丙箱中取一球为红球， 记事件B：取得的三球都为红球，且事件 1 A， 2 A， 3 A相互独立， 所以 123 1339 ( )()()() 458160 P BP AP AP A， 所以三球都为
10、红球的概率为 9 160 （2）记事件C：该球为红球，事件 1 D：取甲箱，事件 2 D：取乙箱，事件 3 D：取丙箱 因为 123 133 (|), (|), (|) 458 P C DP C DP C D， 所以P（C） 112233 11131349 ()(|)()(|)()(|) 343538120 P DP C DP DP C DP DP C D， 所以该球为红球的概率为 49 120 6一个不透明的袋子中装有 5 个小球，其中有 3 个红球，2 个白球，这些球除颜色外完全 相同 （1）记事件A为“一次摸出 2 个球，摸出的球为一个红球，一个白球” 求P（A） ； （2）记事件B为“
11、第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次 摸出的球为不同颜色的球” ，记事件C为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个 球，两次摸出的球为不同颜色的球” ，求证：P（C）P（B） 1 5 P（A） 解： （1）一个不透明的袋子中装有 5 个小球，其中有 3 个红球，2 个白球，这些球除颜色外 完全相同 记事件A为“一次摸出 2 个球，摸出的球为一个红球，一个白球” 一次摸出 2 个球基本事件总数 2 5 10nC， 其中摸出的球为一个红球，一个白球包含的基本事件个数 11 32 6mC C， P（A） 63 105 m n （2）证明：记事件B为“第一次摸出一个球，
12、记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球， 两次摸出的球为不同颜色的球” ， P（B） 322312 5525 ， 记事件C为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜 色的球” ， P（C） 3223123 54205 ， P（C）P（B） 1 5 P（A） 7袋中有大小形状均相同的 1 白球、2 黑球，现进行摸球游戏，约定摸出白球得 2 分，摸 出黑球得 1 分 （）现约定有放回地摸球 4 次，得分为 X，求变量 X 的分布列和数学期望； （）当游戏得分为 n（nN*）时，游戏停止，记得 n 分的概率为 pn，pn的和为 Qn， Q1 （）求 Q2； （）若 TnQn+1Qn，求数列Tn的通项公式 解： （）X 的所有可能取值为 4，5，6，7，8，得 1 分的概率为，得 2 分的概率为， 则 P（X4）（）4， P（X5）， P（X6）， P（X7）， P（X8）， X 的分布列为： X 4 5 6 7 8 P E（X） （） （i）由题意得 Q2 （ii）得 n 分分为两种情形，第一种在得（n2）分之后再摸出白球，得 2 分，第二种在 得（n1）分之后再摸出黑球得 1 分， 当 n3 时，Qn， 则 Tn+1Qn+2Qn+1（Qn+1Qn）， 数列Tn是以为首项，为公比的等比数列， Tn（）n 1（ ）n+1
