1、第三讲 等积变形 1.1.等积模型等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12 :SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形，如图 ACDBCD SS ； 反之，如果 ACDBCD SS ，则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比 2.2.鸟头定理鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三
2、角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点如图 (或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则:():() ABCADE SSABACADAE 3.3.蝶形定理蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： 1243 :SSSS或者 1324 SSSS 1243 :AO OCSSSS 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造模型， 一方面可 以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； 另一方面， 也可以得到与面积对 应的对角线的比例关系 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”
3、)： 22 13 :SSab 22 1324 :SSSSabab ab； S的对应份数为 2 ab 4.4.相似模型相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 S4 S3 S2 S1 O D CB A G F E A BC D A BC DEF G ADAEDEAF ABACBCAG ； 22 : ADEABC SSAFAG ： 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样 改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两
4、边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 5.5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理（燕尾模型和风筝模型） 共边定理：若直线 AO 和 BC 相交于 D（有四种情形） ，则有: ABOACO SSBD DC 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么: ABOACO SSBD DC 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段， 因为ABO和ACO的形状很象燕子 的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定
5、理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的 特殊性在于， 它可以存在于任何一个三角形之中， 为三角形中的三角形面积对应底边之间提 供互相联系的途径. 1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。 2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。 O F E D CB A 例例 1 1：如图，正方形：如图，正方形ABCD的边长为的边长为 6，AE 1. .5，CF 2长方形长方形EFGH的面积为的面积为 分析：分析：连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， 661.5622624.54216.5 DEF
6、 S , 所以长方形EFGH面积为 33 例例 2 2：长方形：长方形ABCD的面积为的面积为 36 2 cm，E、F、G为各边中点，为各边中点，H为为AD边上任意一边上任意一点，点， 问阴影部分面积是多少问阴影部分面积是多少？ 分析分析：解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图： 可得： 1 2 EHBAHB SS 、 1 2 FHBCHB SS 、 1 2 DHGDHC SS ， 而36 ABCDAHBCHBCHD SSSS 即 11 ()3618 22 EHBBHFDHGAHBCHBCHD SSSSSS ； H G F E D C B A H G F E D C B A 而 EH
7、BBHFDHGEBF SSSSS 阴影 ， 11111 ()()364.5 22228 EBF SBEBFABBC 所以阴影部分的面积是：18184.513.5 EBF SS 阴影 解法二：特殊点法找H的特殊点，把H点与D点重合， 那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有： 5 .13 36 2 1 2 1 36 2 1 2 1 2 1 36 2 1 2 1 36 CFDAEDABCD SSSS阴影 例例 3 3：如图所示，长方形如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70，8AB ，15AD ，四边形，四边形 EFGO的
8、面积为的面积为 分析分析： 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和， 以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积 由于长方形ABCD的面积为15 8120，所以三角形BOC的面积为 1 12030 4 ，所以三角 形AOE和DOG的面积之和为 3 1207020 4 ； 又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为 11 12030 24 ，所以四边形EFGO 的面积为302010 另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部 分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即
9、60，白色部分的 面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050，所以四边形的面积为 605010 例例 4 4：已知已知ABC为等边三角形，面积为为等边三角形，面积为 400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、分别为三边的中点，已知甲、乙、 丙面积和为丙面积和为 143，求阴影五边形的面积，求阴影五边形的面积( (丙是三角形丙是三角形HBC) ) G A B C D E F (H) O G F E D CB A 分析分析：因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线， 也就与对应的边平行， 根据面积比例模型， 三角形ABN和三角形AMC的面积都等于
10、三角形 ABC的一半，即为 200 根据图形的容斥关系，有 ABCABNAMCAMHN SSSSS 丙 ， 即400 200200 AMHN SS 丙 ，所以 AMHN SS 丙 又 ADFAMHN SSSSS 乙甲阴影 ，所以 1 14340043 4 ADF SSSSS 乙甲丙阴影 例例 5 5：如图，已知如图，已知5CD ，7DE ，15EF ，6FG ，线段，线段AB将图形分成两部分，左将图形分成两部分，左 边部分面积是边部分面积是 38，右边部分面积是，右边部分面积是 65，那么三角形，那么三角形ADG的面积是的面积是 分析分析：连接AF，BD 根据题意可知，571527CF ；71
11、5628DG ； 所以， 15 27 BECBFF SS ， 12 27 BECBFC SS ， 21 28 AEGADG SS ， 7 28 AEDADG SS ， 于是： 2115 65 2827 ADGCBF SS ； 712 38 2827 ADGCBF SS ； 可得40 ADG S 故三角形ADG的面积是 40 例例 6 6：如图在如图在ABC中，中，,D E分别是分别是,AB AC上的点，且上的点，且:2:5AD AB ，:4:7AE AC ， 16 ADE S 平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积 分析分析：连接BE，:2:5(24):(54) ADEABE SSAD A
12、B ， 丙 乙甲 H N M JIF E D CB A G FEDC B A A B CDEF G E D C B A E D CB A :4:7(45):(75) ABEABC SSAE AC ， 所 以:(24):(75) ADEABC SS ， 设 8 ADE S 份，则35 ABC S 份，16 ADE S 平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70 平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角 三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例例 7 7：如图在如图在ABC中，中，D在在BA的延长线上，的延长线上，E在在AC上，且上，
13、且:5:2AB AD ， :3:2AE EC ，12 ADE S 平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积 分析分析：连接BE，:2:5(23):(5 3) ADEABE SSAD AB :3:(32)(3 5): (32) 5 ABEABC SSAE AC ， 所以:(3 2): 5 (32)6:25 ADEABC SS ， 设6 ADE S 份， 则25 ABC S 份，12 ADE S 平方厘米， 所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平方厘米 由 此我们得到一个重要的定理， 共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 例例
14、8 8：如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四，平行四 边形边形ABCD的面积是的面积是2， 求平行四边形求平行四边形ABCD与四边形与四边形EFGH的面积比的面积比 分析分析：连接AC、BD根据共角定理 在ABC和BFE中，ABC与FBE互补， 1 11 1 33 ABC FBE SAB BC SBE BF 又1 ABC S ，所以3 FBE S 同理可得8 GCF S ，15 DHG S ，8 AEH S 所以8815+3+236 EFGHAEHCFGDHGBEFABCD SSSSSS 所以 21 3618 ABCD EFGH S S
15、 例例 9 9：如图所示的四边形的面积等于多少？如图所示的四边形的面积等于多少？ E D CB A E D CB A H G A B C D E F H G A B C D E F 分析分析：题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三 角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正 方形的面积就是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为12 12144.(也可以用勾股定理) 例例 1010：如图所示，如
16、图所示，ABC中，中，90ABC，3AB ，5BC ，以，以AC为一边向为一边向ABC外作外作 正方形正方形ACDE，中心为，中心为O，求，求OBC的面积的面积 分析分析：如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置 由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB而OCFOAB ， 所以180OCFOCB，那么B、C、F三点在一条直线上 由于OBOF，90BOFAOC ， 所以BOF是等腰直角三角形， 且斜边BF为538， 所以它的面积为 2 1 816 4 根据面积比例模型，OBC的面积为 5 1610 8 A A 1.1.如如图所示，正方形图所示，正方形ABCD的边长为的边长
17、为8厘米，长方形厘米，长方形EBGF的长的长BG为为10厘米，那么长方形的厘米，那么长方形的 宽为几厘米？宽为几厘米？ 答案答案；本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以 看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 O D C B A 13 13 12 12 13 13 12 12 5 3 O A BC D E F 5 3 O A BC D E _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D 证明：连接AG(我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在一起) 在正方形AB
18、CD中， G 1 2 AB SABAB 边上的高， 1 2 ABGABCD SS (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理， 1 2 ABGEFGB SS 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等 长方形的宽8 8 106.4 (厘米) 2.2.在边长为在边长为 6 6 厘米的正方形厘米的正方形ABCD内任取一点内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对，将正方形的一组对边二等分，另一组对 边三等分，分别与边三等分，分别与P点连接点连接, ,求求阴影阴影部分面积部分面积 答案答案； （法 1）特殊点法由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点 重合， 则阴
19、影部分变为如上中图所示， 图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 1 4 和 1 6 ，所以阴影部分的面积为 2 11 6()15 46 平方厘米 （法 2）连接PA、PC 由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半， 所以上、 下两个阴影三角形 的面积之和等于正方形ABCD面积的 1 4 ，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于 正方形ABCD面积的 1 6 ，所以阴影部分的面积为 2 11 6()15 46 平方厘米 3.3.如图，长方形如图，长方形ABCD的面积是的面积是 36，E是是AD的三等分点，的三等分点，2AEED，则阴影部分的面积，则阴影部分的面积 为为
20、 答案答案；如图，连接OE 根据蝶形定理， 1 :1:1 2 COECDECAECDE ON NDSSSS ，所以 1 2 OENOED SS ； 1 :1:4 2 BOEBAEBDEBAE OM MASSSS ，所以 1 5 OEMOEA SS 又 11 3 34 OEDABCD SS 矩形 ， 26 OEAOED SS ， 所 以 阴 影 部 分 面 积 为 ： P D C B AA B C D(P) P D C B A O A BC D E N M O A BC D E 11 362.7 25 4.4.如图，三角形如图，三角形ABC中，中，AB是是AD的的 5 倍，倍，AC是是AE的的
21、3 倍，如果三角形倍，如果三角形ADE的面积的面积 等于等于 1，那么三角形，那么三角形ABC的面积是多少？的面积是多少？ 答案答案；连接BE 3ECAE 3 ABCABE SS 又5ABAD 515 ADEABEABC SSS，1515 ABCADE SS 5.5.如图，三角形如图，三角形ABC被分成了甲被分成了甲( (阴影部分阴影部分) )、乙两部分，、乙两部分，4BDDC，3BE ，6AE ， 乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 答案答案；连接AD 3BE ，6AE 3ABBE，3 ABDBDE SS 又4BDDC， 2 ABCABD SS，6 ABCBDE S
22、S，5SS 乙甲 B B 6.6.如图，以正方形的边如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BD 交于交于O已知已知AE、BE的长分别为的长分别为3cm、5cm，求三角形，求三角形OBE的面积的面积 答案答案；如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置 那么90EAFEABBAFEABDAE ，而AEB也是90，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AFAE， 所以梯形AFBE的面积为： 1 35312 2 ( 2 cm) 又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理， 22222 3534ABAEBE，所以 2
23、1 17 2 ABD SAB ( 2 cm) E D CB A A BC D E 乙 甲 E D CB AA BC D E 甲 乙 A BC D O E F A BC D O E 那么17 125 BDEABDABEADEABDAFBE SSSSSS ( 2 cm)， 所以 1 2.5 2 OBEBDE SS ( 2 cm) 7.7.如下图， 六边形如下图， 六边形ABCDEF中，中，ABED，AFCD，BCEF， 且有， 且有AB平行于平行于ED，AF 平行于平行于CD，BC平行于平行于EF，对角线，对角线FD垂直于垂直于BD，已知，已知24FD 厘米，厘米，18BD 厘米，厘米， 请问六边
24、形请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ 答案答案；如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合， 这样EF、BC都重合到图中的AG了这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六 边形的面积相等， 显然长方形BGFD的面积为24 18432平方厘米， 所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米 8.8.如图，三角形如图，三角形ABC的面积是的面积是1，E是是AC的中点，点的中点，点D在在BC上，且上，且:1:2BD DC ，AD 与与BE交于点交于点F则四边形则四边形DFEC的面积等于的面积等于 答案答案；方法一：连接CF，根据燕尾
25、定理， 1 2 ABF ACF SBD SDC ， 1 ABF CBF SAE SEC , 设 1 BDF S 份，则 2 DCF S 份， 3 ABF S 份， 3 AEFEFC SS 份，如图所 标 所以 55 1212 DCEFABC SS 方法二：连接DE，由题目条件可得到 11 33 ABDABC SS ， 1121 2233 ADEADCABC SSS ，所以 1 1 ABD ADE SBF FES ， F E A B D C G F E A B D C F E D C B A 3 3 3 21 F E D C B A A BC D E FF E D CB A 1111111 22
26、323212 DEFDEBBECABC SSSS ， 而 211 323 CDEABC SS 所以则四边形DFEC的面积等于 5 12 9.9.如图，长方形如图，长方形ABCD的面积是的面积是2平方厘米，平方厘米，2ECDE，F是是DG的中点阴影部分的面的中点阴影部分的面 积是多少平方厘米积是多少平方厘米? ? 答案答案；设 1 DEF S 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 55 1212 BCD SS 阴影平方 厘米. 10.10.四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O( (如图所示如图所示) )如果三角形如果三角形ABD的面积等于三的面积等于三 角形角形BCD的面
27、积的的面积的 1 3 ， 且， 且2AO ，3DO ， 那么， 那么CO的长度是的长度是DO的长度的的长度的_倍倍 答案答案；在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理 方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边 形看到题目中给出条件:1:3 ABDBCD SS，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一 种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解 法， 但是第二种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形” ， 于是可以作AH垂直BD于H， CG垂直BD于G，面积比转化为高之比再应用结论：三角
28、形高相同，则面积之比等于底 边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上 愿意掌握并使用蝶形定理解决问题 解法一：:1:3 ABDBDC AO OCSS ，2 36OC ，:6:32:1OC OD 解法二：作AHBD于H，CGBD于G 1 3 ABDBCD SS ， 1 3 AHCG， 1 3 AODDOC SS ， 1 3 AOCO，2 36OC ，:6:32:1OC OD C C 11.11.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O点，点，CEF、OEF、ODF、BOE的的 面积依次是面积依次是 2、4、4 和和 6求：求求：求O
29、CF的面积；求的面积；求GCE的面积的面积 x y y x A BC D EF G G FE D CB A 33 G F E D CB A 2 1 3 A BC D O H G A BC D O 答案答案；根据题意可知，BCD的面积为244616，那么BCO和CDO的面积 都是1628，所以OCF的面积为844； 由于BCO的面积为 8，BOE的面积为 6，所以OCE的面积为862， 根据蝶形定理，:2:41:2 COECOF EG FGSS ， 所以:1:2 GCEGCF SSEG FG ， 那么 112 2 1233 GCECEF SS 12.12.如图，长方形如图，长方形ABCD中，中，
30、:2:3BE EC ，:1:2DF FC ，三角形，三角形DFG的面积为的面积为2平方平方 厘米，求长方形厘米，求长方形ABCD的面积的面积 答案答案；连接AE，FE 因为:2:3BE EC ，:1:2DF FC ， 所以 3111 () 53210 DEFABCDABCD SSS 长方形长方形 因为 1 2 AEDABCD SS 长方形 ， 11 :5:1 2 10 AG GF ， 所以510 AGDGDF SS 平方厘米， 所以 12 AFD S 平方厘米因为 1 6 AFDABCD SS 长方形 ， 所以长方形ABCD的面积是72平方厘米 13.13.如图， 正方形如图， 正方形ABCD
31、面积为面积为3平方厘米，平方厘米，M是是AD边上的中点 求图中阴影部分的面积边上的中点 求图中阴影部分的面积 答案答案；因为M是AD边上的中点， 所以:1:2AM BC ，根据梯形蝶形定理可以知道 22 :1 : 1 2 : 1 2 :21:2:2:4 AMGABGMCGBCG SSSS （） （）， 设1 AGM S 份，则123 MCD S 份， O G F E D CB A A BC D E F G A BC D E F G G M D C B A 所以正方形的面积为1224312份， 224S 阴影 份， 所以:1:3SS 阴影正方形 ， 所以 1S 阴影 平方厘米 14.14.在下图
32、的正方形在下图的正方形ABCD中，中，E是是BC边的中点，边的中点，AE与与BD相交于相交于F点，三角形点，三角形BEF的的 面积为面积为 1 平方厘米，那么正方形平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米面积是平方厘米 答案答案；连接DE，根据题意可知:1:2BE AD ， 根据蝶形定理得 2 129S 梯形 （） (平方厘米)， 3 ECD S (平方厘米)，那么12 ABCD S(平方厘米) 15.15.已知已知ABCD是平行四边形，是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形，三角形ODE的面积为的面积为 6 平方厘米则阴影平方厘米则阴影 部分的面积是平方厘米部分的面积是平方厘米 答案答
33、案；连接AC 由于ABCD是平行四边形，:3:2BC CE ，所以:2:3CE AD ， 根据梯形蝶形定理， 22 :2 :2 3:2 3:34:6:6:9 COEAOCDOEAOD SSSS 所以6 AOC S (平方厘米)， 9 AOD S (平方厘米)， 6915 ABCACD SS(平方厘米)， 阴影部分面积为61521(平方厘米) 1.1.右图中右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形， 已知三角形面积如图所示是平行四边形， 已知三角形面积如图所示( (单位： 平方厘米单位： 平方厘米) )， 阴影部分的面积是平方厘米阴影部分的面积是平方厘米 A BC D E F O E
34、A BC D O E A BC D 答案：答案：连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 OCDOAE SS 根据蝶形定理，4936 OCDOAEOCEOAD SSSS ，故 2 36 OCD S ， 所以 6 OCD S (平方厘米) 2.2.右图中右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形， 已知三角形面积如图所示是平行四边形， 已知三角形面积如图所示( (单位： 平方厘米单位： 平方厘米) )， 阴影部分的面积是平方厘米阴影部分的面积是平方厘米 答案：答案：连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 OCDOAE SS 根据蝶形定理， 2 816
35、 OCDOAEOCEOAD SSSS ，故 2 16 OCD S，所 以4 OCD S(平方厘米) 另解：在平行四边形ABED中， 11 16812 22 ADEABED SS (平方厘米)， 所以1284 AOEADEAOD SSS (平方厘米)， 根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米) 3.3.如图，长方形如图，长方形ABCD被被CE、DF分成四块，已知其中分成四块，已知其中 3 块的面积分别为块的面积分别为 2、5、8 平方厘平方厘 米，那么余下的四边形米，那么余下的四边形OFBC的面积为的面积为_平方厘米平方厘米 答案：答案：连接DE、CF四边形EDCF为梯形，所以 EOD
36、FOC SS ，又根据蝶形定理， EODFOCEOFCOD SSSS ，所以2 816 EODFOCEOFCOD SSSS ，所以4 EOD S(平方 厘米)，4812 ECD S(平方厘米)那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四 边形OFBC的面积为245289(平方厘米) 4.4.如图，如图，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段是正方形，线段AB与与CD相交于相交于K点已知正点已知正 方形方形DEFG的面积的面积 48，:1:3AK KB ，则，则BKD的面积是多少？的面积是多少？ 21 A BC D E 9 4 21 A BC D E O 9 4 1
37、6 8 2 A BC D E O 16 8 2 A BC D E ? 8 5 2 O AB CD EF ? 8 5 2 O AB CD EF 答案：答案： 由于DEFG是正方形， 所以DA与BC平行， 那么四边形ADBC是梯形 在梯形ADBC 中，BDK和ACK的面积是相等的而:1:3AK KB ，所以ACK的面积是ABC面积 的 11 134 ，那么BDK的面积也是ABC面积的 1 4 由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点， 而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC 的面积与正方形DEFG的面积相等，为 48
38、那么BDK的面积为 1 4812 4 5.5.下图中，四边形下图中，四边形ABCD都是边长为都是边长为 1 的正方形，的正方形，E、F、G、H分别是分别是AB，BC，CD， DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m n ，那么，那么， ()mn的值等于的值等于 答案：答案：左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中 的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积 如下图所示，在左图中连接EG设AG与DE的交点为M 左图中AEGD为长方形， 可知
39、AMD的面积为长方形AEGD面积的 1 4 ， 所以三角形AMD的 面积为 2 111 1 248 又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面 积为 11 14 82 如上图所示，在右图中连接AC、EF设AF、EC的交点为N K G FE D CB A M K G FE D CB A A BC D E F G HH G F E D CB A M A BC D E F G H N H G F E D CB A 可知EFAC且2ACEF那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的 1 4 ， 所以三角形 BEF 的面积为 2 111 1 248 ，梯形AEFC的面积为 113 28
40、8 在梯形AEFC中，由于:1:2EF AC ，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为： 22 1 :1 2:1 2:21:2:2:4，所以三角形EFN的面积为 311 8122424 ，那么四边形 BENF的面积为 111 8246 而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部 分的面积为 11 14 63 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 1 1 :3:2 2 3 ，即 3 2 m n ， 那么325mn 1.1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形 答案：答案： 方法 1：如图，将 BC 边四等分（BD=DE=EF=FC= 1 4 BC）,连
41、结 AD、AE、AF，则ABD、ADE、 AEF、AFC 等积。 方法 2：如图，先将 BC 二等分，分点 D、连结 AD，得到两个等积三角形，即ABD 与ADC 等积然后取 AC、AB 中点 E、F，并连结 DE、DF以而得到四个等积三角形，即ADF、 BDF、DCE、ADE 等积 方法 3：如图，先将 BC 四等分，即 BD= 1 4 BC，连结 AD，再将 AD 三等分，即 AE=EF=FD= 1 3 AD， 连结 CE、CF，从而得到四个等级的三角形，即ABD、CDF、CEF、ACE 等积。 2 2. .用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 134 答案
42、：答案： 方法 1：如图，将 BC 边八等分，取 134 的分点 D、E，连结 AD、AE，从而得到ABD、 ADE、AEC 的面积比为 134 方法 2：如图，先取 BC 的中点 D，再取 AB 的四等分点 E，连结 AD、DE，从而得到三个三角 形：ADE、BDE、ACD其面积比为 134 方法 3：如图，先取 AB 的中点 D，连结 CD，再取 CD 的四等分点 E，连结 AE，从而得到三个 三角形：ACE、ADE、BCD其面积比为 134 3 3. .如右图， 在梯形 ABCD 中，AC 与 BD 是对角线，其交点 O，求证：AOB 与COD 面积相等 答案：答案： 证明：ABC 与D
43、BC 等底等高， SABC=SDBC 又 SAOB=SABCSBOC SDOC=SDBCSBOC SAOB=SCOD 4.4.如右图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形 答案：答案：本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积 相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图， 把顶点 A 移到 CB 的延长线上的 A处，ABD 与ABD 面积相等，从而ADC 面积 与原四边形 ABCD 面积也相等这样就把四边形 ABCD 等积地改成了三角形ADC问题是 A位置的选择是依据三角形等积变形原则过 A 作一条和 DB 平行的直线与 CB 的延长线交 于 A点 解：连
44、结 BD； 过 A 作 BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A 连结 AD，则ACD 与四边形 ABCD 等积 5.5.如右图，已知在ABC 中，BE=3AE，CD=2AD若ADE 的面积为 1 平方厘米求三角形 ABC 的面积 答案：答案： 解法 1：连结 BD，在ABD 中 BE=3AE， SABD=4SADE=4（平方厘米） 在ABC 中，CD=2AD， SABC=3SABD=34=12（平方厘米） 解法 2：连结 CE，如右图所示，在ACE 中， CD=2AD， SACE=3SADE=3（平方厘米） 在ABC 中，BE=3AE SABC=4SACE=43=12（平方厘米） 6.6.
45、如下页图，在ABC 中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC= 1 3 BC，求阴影部分面积占三角形 ABC 面积的几分之几？ 答案：答案：连结 BG，在ABG 中， SADG+SBDE+SCFG 7.7.如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果ADE 的面积为 4 平方厘米求三角形 CDF 的面积 答案：答案：连结 AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又AC 与 EF 平行，SACE=SACF； SADE=SCDF=4（平方厘米） 8.8.如右图， 四边形 ABCD 面积为 1， 且 AB=AE， BC=BF， DC=CG， AD=DH 求四边形 EFG
46、H 的面积 答案：答案：连结 BD，将四边形 ABCD 分成两个部分 S1与 S2连结 FD，有 SFBD=SDBC=S1 所以 SCGF=SDFC=2S1 同理 SAEH=2S2， 因此 SAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=21=2 同理，连结 AC 之后，可求出 SHGD+SEBF=2 所以四边形 EFGH 的面积为 2+2+1=5（平方单 位） 9.9.如右图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E，交 DA 延长线于 F，若 SADE=1，求 BEF 的面积 答案：答案：连结 AC，AB/CD，SADE=SACE 又AD/BC，SACF=SABF 而 SACF=SACE+SAEF=SABF=SBEF+SAEF SACE=SBEFSBEF=SADE=1
