1、第六讲 加乘原理 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只 要采用一类中的一种方法就可以完成，并且几类方法是互不影响的。在每一类方法中，又有 几种可能的做法，那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决。 还有这样的一种情况就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有 几种不同的方法，要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决。 加法原理：加法原理： 乘法原理：乘法原理： 1.加法原理和乘法原理是计数方法中常用的重要原理，在应用时要注意它们的区别。 2.加法原理是把完成一件事的方法分成几类， 每一类中的任何一种方法都能
2、完成任务， 所以 完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。 3.乘法原理是把一件事分几步完成， 这几步缺一不可， 所以完成任务的不同方法数等于各步 方法数的乘积。 例例 1 1： 一个盒子内装有一个盒子内装有 5 5 个小球， 另一个盒子内装有个小球， 另一个盒子内装有 9 9 个小球， 所有这些小球颜色各不相同。个小球， 所有这些小球颜色各不相同。 问：从两个盒子内任取一个小球，有多少种不同的取法？问：从两个盒子内任取一个小球，有多少种不同的取法？ 从两个盒子内各取一个小球，有多少种不同的取法？从两个盒子内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 例例 2 2：从从 1 1 到到 399399 的
3、所有自然数中，不含有数字的所有自然数中，不含有数字 3 3 的自然数有多少个？的自然数有多少个？ 例例 3:3:用用 5 5 种颜色给图种颜色给图 1 1 的五个区域染色， 相邻的区域染不同的颜色， 每个区域染一种颜色。的五个区域染色， 相邻的区域染不同的颜色， 每个区域染一种颜色。 问：共有多少种不同的染色方法？问：共有多少种不同的染色方法？ 例例 4 4：学校羽毛球队有学校羽毛球队有 1212 名男队员，名男队员，1010 名女队员。名女队员。 （l l）要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手，有多少种不同的）要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手，有多少种
4、不同的 搭配方法？搭配方法？ （2 2）该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名，学校选一名运动员去领奖，有多少种选）该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名，学校选一名运动员去领奖，有多少种选 法？法？ 例例 5:5:找出图找出图 2 2 中从中从 A A 点出发，经过点出发，经过 C C 点和点和 D D 点到点到 B B 点的最短路线，共有多少条？点的最短路线，共有多少条？ 例例 6 6：现有壹元的人民币：现有壹元的人民币 4 4 张，贰元的人民币张，贰元的人民币 2 2 张，伍元的人民币张，伍元的人民币 5 5 张，如果从中至少取一张，如果从中至少取一 张，至多取张，至多取 1111 张，那么共可
5、以配成多少种不同的钱数？张，那么共可以配成多少种不同的钱数？ 例例 7:7:由数字由数字 1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9 可组成多少个三位数？三位偶数？没有重可组成多少个三位数？三位偶数？没有重 复数字的三位偶数？百位为复数字的三位偶数？百位为 9 9 的没有重复数字的三位数？百位为的没有重复数字的三位数？百位为 9 9 的没有重复数字的的没有重复数字的 三位偶数？三位偶数？ A A 1从 0、1、2、3、4 这五个数字中任取 3 个，可以组成_个无重复数字的三位数。 2在 mn 的方格纸上，取两个相邻的小方格共有_种取法。 3书架上有不同的数学书 20
6、 本，不同的语文书 10 本，现从书架上取书，试问： （1）取出一本书，有_种不同的取法。 （2）取出数学书和语文书各一本，有_种不同的取法。 4 将 1、 2、 3、 4 这 4 个数字从小到大排成一行， 在 4 个数中间任意插入乘号， 可以得到_ 个不同的乘积（要求最少有一个乘号） 。 5将一个长方形用对角线分成四份，如图所示，现用五种颜色染色，要求每小块染一种颜 色，相邻的两小块（有公共边的）必须染不同的颜色。那么，总共有_种不同的染色方 法。 B B 6用红、绿、黄、蓝四种颜色分别去涂图中的 A、B、C、D 四个区域，要求相邻区域不可同 色，共有_种不同涂法。 7从 19 这 9 个数
7、字中每次取出 2 个不同的自然数相加，和大于 10 的选法共有多少种？ 8现有长度为 1、2、3、4、5、6、7、8、9 单位长度的铁丝各一条，从中选出若干条来组 成正方形，问有多少种不同的选法？ 9由非负整数形成的整点（m，n）中，如果做加法 m+n 时不需要进位，我们称（m，n）为 “A 点” ，m+n 为（m，n）的和。请问有多少个这样的“A 点” ，它们的和是 1949？ 10.如图所示， 在 1010 个边长为 1 的小正方形拼成的棋盘中， 求由若干个小方块能拼成的 所有正方形的数目。 C C 11.用红、黄、蓝、绿四种颜色给一个五边形（图 2）着色，要求：相邻两边的颜色不同。 那么
8、共有多少种不同的着色方法？ 12.求由 1、2、3、4、5 五个数字组成的没有重复数字的五位数的个数。如果将它们从小到 大排列起来，则 21345 位于第几个数？ 13.求 5040 共有多少个约数？ 14.从 2、3、4、5、6、10、11、12 这 8 个数中，取出两个数，作成一个最简真分数有多少 种取法？ 15.有 4 张卡片，正反面都各有写有一个数字。第 1 张上写的是 0 和 1，其他 3 张正反面上 分别写有 2 和 3，4 和 5，7 和 8。现任意取出其中 3 张卡片，放在一排，组成的三位数共有 多少种可能？ 16.从 1 到 400 的所有自然数中，不含数字 5 的自然数有多
9、少个？ 17.有 A、B、C、D、E 五人排成一队，A 不许站排头，B 不许站排尾，共有多少种不同排法？ 1.书架上有 6 本不同的画报、10 本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技 书,共有种不同的取法. 2.七个相同的球,放入四个不同的盒子里,每个盒子至少放一个.不同的放法有种. 3.用 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字,能够组成个没有重复数字的三位数. 4.边长为整数的长方形，面积为 693 平方厘米,其周长最多可有种不同的数值. 5.两个点可以连成一条线段,3个点可以连成三条线段,4个点可以连成六条线段,5个点可以 连成几条线段?6 个点可以连成条线段.
10、1书店里有 12 种不同的外语书，8 种不同的数学书，从中任选外语书和数学书各一本，有 多少种不同的选法？ 2某人出差要从甲地途经丙地、丁地到乙地，现在知道从甲地到丙地有 3 条路可以走，从 丙地到丁地有 5 条路可以走，从丁地到乙地有 4 条路可以走。问，此人共有多少种从甲地到 乙地的方法。 3由数字 0、l、2、3、4、5、6、7 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 4如图 4 有 A、B、C、D、E 五个区域，分别用五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域 染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？ 5如图 5，从甲地到乙地有两条路，从乙地到丙地有三条路；从甲地到丁地有四条路，从 丁地到丙地有四条路，问从甲地到丙地共有多少种走法？ 6一把钥匙可以开一个门，现在有 20 把钥匙和 20 个门，可是不知道哪把钥匙开哪把锁， 问最多试开多少次，可以把所有的门都打开？ 7有男生 5 人，女生 2 人，排成一行照相，女生不站两头，而且 2 个女生要站在一起，那 么有多少种不同的站法？ 8 “MATHS”是英文单词数学的意思，把这 5 个字母写成 5 种不同的颜色。现在有 8 种不同 颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“MATHS”
