1、德州市 2021 届高三上学期期末考试 数学试题 2021.1 第 I 卷(共 60 分) 一选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 2 |560,20|AxxxBx x,则 AB= A.-1,2) B.-3,2) C.-2,2) D.(2,6 2.若复数 z 满足213zzi ,则z A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 3.已知 a0,b0,且 12 4, ab 46ab的最小值是 .43A .42 3B .82 3C 3 .4 3 D 4.函数 2 2sin3 ( ) cos xx f x xx
2、 在-,的图像大致为 5.已知直线 l:ax+y-2=0 与C: 22 (1)()4xya相交于 AB 两点,则ABC 为钝角三角形的充要条件是 A.a(1,3) .(23,23)Ba .(23,1)(1,23)C a D.(,23)(23,)a 6.“微信红包”自 2015 年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的金额为 10 元,被 随机分配成 1.36 元,1.59 元,2.31 元,3.22 元,1.52 元,供甲乙丙丁戊 5 人抢,每人只能抢一次,则甲乙二人抢到的 金额之和不低于 4.5 元的概率是 1 . 2 A 2 . 5 B 3 . 5 C 4 . 5
3、D 7.阿基米德是伟大的古希腊数学家,他和高斯牛顿并列为世界三大数学家,他一生最为满意的一个数学发现 就是“圆柱容球”定理,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都 相切),球的体积是圆柱体积的三分之二,球的表面积也是圆柱表面积的三分之二今有一“圆柱容球”模型,其 圆柱表面积为 12,则该模型中球的体积为 .8A B.4 8 . 3 C 8 2 . 3 D 8.设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F,直线250 xy过点F且与双曲线C在第一象限的交 点为 P,O 为坐标原点,|OP|=|OF|,则双曲线的离心率为 . 2A
4、. 3B C.2 . 5D 二多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分) 9.已知向量 a=(2,1),b=(- 3,1),则 A.(a+b)a B.|a+2b|=5 C.向量 a 在向量 b 上的投影是 2 2 D.向量 a 的单位向量是 2 55 (,) 55 10.为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知程度,随机抽取了100名职工组织了“一带一路”知识竞赛,满 分为100分(80分及以上为认知程度较高),并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图从频率分布 折线图中得到的这 10
5、0 名职工成绩的以下信息正确的是 A.成绩是 50 分或 100 分的职工人数是 0 B.对“一带一路”认知程度较高的人数是 35 人 C.中位数是 74.5 D.平均分是 75.5 11.若 2021232021 12032021 (12 )(xaa xa xa xaxxR,则 0 .1Aa 2021 1352021 31 . 2 Baaaa C. 0242020 2021 31 2 aaaa 3202112 232021 .1 2222 aaaa D 12.关于函数( )3|sin|cos |f xxx有下述四个结论正确的有 A.f(x)的最小正周期为 B.f(x)在(,) 2 2 上单调
6、递增 C.f(x)在-,上有四个零点 D.f(x)的值域为-1,2 第 II 卷(共 90 分) 三填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知直线 y=2x+b 是曲线ln3yx的一条切线,则 b=_. 14.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PD底面 ABCD,O 为对角线 AC 与 BD 的交点,若 PD=2, 3 APDBAD ,则三棱锥PAOD的外接球表面积为_. 15.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个 问题,数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积中提出了已
7、知三角形三边 a,b,c 求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以 小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即 2 222 22 1 42 cab Sc a ， S 为 三 角 形 的 面 积 ,a,b,c 为 三 角 形 的 三 边 长 , 现 有 ABC 满 足 sinA:sinB:sinC3:2 2 :5且12 ADC S.则ABC 的外接圆的半径为_. 16.F 为抛物线 2 :4C yx的焦点,过 F 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线交于 PQ 两点,线段 PQ 的垂直平分线
8、交 x 轴于点 M,且|PQ|=6,则|MF|=_. 四解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 249 6,45aaS 2 22 n nn S 1 1 (2),1 1 n n an na an 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中, 并加以解答. 设等差数列 n a的前 n 项和为, n S_,数列 n b为等比数列 2 112 ,2 ,2 , a ba b求数列 n n a b的前 n 项和. n T 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(本小题满分 12 分) 在ABC 中,角 A,B,C 所对的
9、边分别为 a,b,c,已知 coscos1BC bca 且 a=4,bac. (1)求 bc 的值; (2)若ABC 的面积2 7,S 求 cosB. 19.(本小题满分 12 分) 某研究院为了调查学生的身体发育情况,从某校随机抽测 120 名学生检测他们的身高(单位:米),按数据分成 1.2,1.3,(1.3,1.4,.(1.7,1.8这 6 组,得到如图所示的频率分布直方图,其中身高大于或等于 1.59 米的学生有 20 人,其身高分别为 1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,
10、1.69,1.69,1.71,1.72,1.74,以这 120 名学 生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率. (1)求该校学生身高大于 1.60 米的频率,并求频率分布直方图中 m,n,t 的值; (2)若从该校中随机选取 3 名学生(学生数量足够大),记 X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6的人数,求 X 的分布列 和数学期望. 20.(本小题满分 12 分) 在四棱锥P-ABCD中,PAB为直角三角形,APB=90 且 1 , 2 PAABCD四边形ABCD为直角梯形,AB /CD 且DAB 为直角,E 为 AB 的中点,F 为 PE 的四等分点且 1 , 4 EF
11、EPM 为 AC 中点且 MFPE. (1)证明:AD平面 ABP; (2)设二面角 A-PC-E 的大小为 ,求 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知点 12 ,F F分别是椭圆 C 的左右焦点,离心率为 2 , 2 点 P 是以坐标原点 O 为圆心的单位圆上的一点,且 12 0.PF PF (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设斜率为 k 的直线 l(不过焦点)交椭圆于 M,N 两点,若 x 轴上任意一点到直线 1 MF与 1 NF的距离均相等,求 证:直线 l 恒过定,点,并求出该定点的坐标. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 2 ( )ln2 ().f xaxxa a x R (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若0 4 e a求证 2 ( ). x e f xx x
