广西南宁市2021届高三下学期毕业班第一次适应性测试（3月）数学理试题含答案.zip

书书书 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? 秘密 ? 启用前 ? 考试时间? ? ? ? ?年?月? ?日? ? ? ? ? ? ? ? ? 南宁市? ? ? ?届高中毕业班第一次适应性测试 数?学?理工类? ? 考试时间? ? ? ?分钟?试卷满分? ? ? ?分? 注意事项? ? 答卷前? 考生务必将自己的姓名? 准考证号填写在答题卡上? ? 回答选择题时? 选出每小题答案后? 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑?如需改 动? 用橡皮擦干净后? 再选涂其它答案标号?回答非选择题时? 将答案写在答题卡上?写在本试 卷上无效? ?考试结束后? 将本试卷和答题卡一并交回? 一? 选择题? 本题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选项中? 只有一项是符 合题目要求的? ?已知集合? ? ? ? ? 则? ? ?复数? ? ? ?的虚部是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? 的展开式中? ? ? 的系数是 ? ? ? ? ? ? ? ? 已知直线? 两个不同的平面?和? 下列说法正确的是 ? 若 ? ? 则 ? ? 若 ? ? 则 ? ?若? ? 则 ?若? ? 则 ? ? 记 ?为等差数列? 的前?项和? 若? 则数列? 的通项公式? ? ? ? ? ? ? ? 过点? ? 的直线?与圆? ? ? ?相切? 则直线? ?的方程为 ? ? ? ? ?或? ?或? ?已知函数? ? ? ? ? 则其大致图象为 ? ? 春天是鲜花的季节? 水仙花就是其中最迷人的代表? 数学上有个水仙花数? 它是这样定义的? ? 水仙花数? 是指一个三位数? 它的各位数字的立方和等于其本身? 三位的水仙花数共有?个? 其中仅有?个在区间? ? ? ? ? 内? 我们姑且称它为? 水仙四妹? ? 则在集合? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 水仙四妹? ? ? 共?个整数中? 任意取其中?个整数? 则这?个整数中含有? 水仙四妹? ? 且 其余两个整数至少有一个比? 水仙四妹? 小的概率是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知抛物线? ? ? ? 的焦点在直线?上? 又经过抛物线?的焦点且倾斜 角为? ? ? 的直线交抛物线?于?两点? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知双曲线? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的左焦点为? 过点?的直线与两条渐近线的交点 分别为?两点? 点?位于点?与点?之间? ? 且 ? ? ? 又过点 ?作? 于? ? 点 ?为坐标原点? ? 且? ? 则双曲线?的离心率? ?槡?槡?槡 ? ? ? ? 槡? ? ? ?设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ?的大小顺序为 ? 二? 填空题? 本题共?小题? 每小题?分? 共? ?分? ? ? 已知向量? ? ? ? 若? ? 则 ? ? ?记?为递增等比数列? 的前?项和? 若? ? 则 ? ?的值为? ? ? 函数? ? ? ? ? ? ? ? ? 的图象向右平移? ?个单位长度后得到函数? ? 的图象? 且 ? 的图象的一条对称轴是直线? ? ? 则 ?的最小值为? 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? ? ? 已知母线长为?的圆锥的顶点为? ? 点 ?为圆锥的底面圆周上两动点? 当? ?与? ?所夹 的角最大时? 锐角? ? ?的面积为 槡? ? 则此时圆锥的体积为? 三? 解答题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤?第? ? ?题为必考题? 每个 试题考生都必须作答?第? ? ?题为选考题? 考生依据要求作答? ? 一? 必考题? 共? ?分? ? ? 本小题满分? ?分? 在? ? ?中?分别为角?的对边? 且? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 求角? ? ? ? 若 ? ? ?的面积? ? ?槡? ? ? 求 ?的取值范围? ? ? 本小题满分? ?分? 在某地区的教育成果展示会上? 其下辖的一个教育教学改革走在该地区前列的县级民族中学 近几年升入? 双一流? 大学的学生人数? 单位? 个? 有如下统计表? 年份 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 年份代码? ? 学生人数? 个? ? ? ? ? ? ? ? ? 根据表中数据? 建立?关于?的线性回归方程? ? ? ? ? ? ? ? 根据线性回归方程预测? ? ? ?年该民族中学升入? 双一流? 大学的学生人数? 结果保留整 数? 附? 对于一组数据? ? ? ? ? ? ? ? 其回归直线方程? ?的斜率和截距的 最小二乘估计分别为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 参考数据? ? ? ? ? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 如图? 在直四棱柱? ? ? ?中? 上? 下底面均为菱形? 且 ? ? ? ? ? 点 ?为? ?的中点? ? ? 求证?平面? ? ? ? 若 ? ? 求二面角?的余弦值? ? ? 本小题满分? ?分? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中? ? ? 且 ? ? ? 试讨论? 的单调性? ? ? ? 当 ? ?时? ? ? ? ? ? ? ?恒成立? 求实数?的取值范围? ? ? 本小题满分? ?分? 如图所示? 已知椭圆? ? ? ? ? ? ? ? ? 的左? 右 焦点分别为? ? 且 ? ? 点 ?在直线? 上运动? 线段?与椭圆?的交点为? 当? 轴时? 直线?的斜率的绝对值为槡 ? ? ? ? ? 求椭圆?的标准方程? ? ? 设点?在椭圆?上? 若直线? ?的斜率与直线?的斜率之积等于? ? 证明? 直线 ?始终与椭圆?相切? ? 二? 选考题? 共? ?分?请考生在第? ? ?题中任选一题作答? 如果多做? 则按所做的第一题 记分? ? ? 本小题满分? ?分? 选修? 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系? ? ?中? 曲线?的参数方程为 ?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为参数? ? 又以坐标原点 ?为极点?轴的正半轴为极轴建立极坐标系? 直线?的极坐标方程为? ? ? ? ? ? 求曲线?的极坐标方程? 若原点?在曲线?的内部? 则求实数?的取值范围? ? ? ? 当 ?时? 直线?与曲线?交于?两点? 又点?为此时曲线?上一动点? 求? 面积的最大值? ? ? 本小题满分? ?分? 选修? 不等式选讲 已知函数? ? ? ? ? ? 当 ?时? 求不等式? ?的解集? ? ? ? 若 ? 时? 不等式? ?成立? 求实数?的取值范围? 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页书书书 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 数学?理工类?参考答案 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 解析? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? 由正弦定理得? ? ?槡? ? ? 整理得? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ?分 由余弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? ? ? 因为? ? ? 所以? ? ?分 ? ? 由? ? 得 ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? 所以? ? 槡? ? ?分 由余弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ?槡? ? ? ?槡? ? ?槡? ? ?槡? ? 当且仅当? 槡槡? ? ?时取等号? 所以? ? 因为? 所以? ? ?分 ? ? 本小题满分? ?分? 解析? ? ? 由题意可知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 又因为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 故?关于?的线性回归方程为? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? 由? 可得? 当年份为? ? ? ?年时? 年份代码为? 此时? ? ? ? ? ? ? ? ? 保留整 数为? ? 所以可预测? ? ? ?年该民族中学升入? 双一流? 大学的学生人数约为? ?个? ? ?分 ? ? 本小题满分? ?分? 证明? ? ? 因为四边形? ? ? ?为菱形? 且? ? ? ? 所以? ? ?为等边三角形? 又?为? ?中点? 故由等边三角形的性质知? ? ?分 又在直四棱柱? ? ? ?中?平面? ? ? ? ? 且 ? ?平面? ? ? ? 所以? ? ?分 又在平面?中? 所以? ?平面? ?分 又因为在直四棱柱? ? ? ?中? 四边形? ? ?为平行四边形? 所以? ? ?分 故?平面? ?分 ? ? 连接? ?与? ?相交于? 因为四边形? ? ? ?为菱形? 所以? ? ? 建立空间直角坐标 系? ? ?如图? 因为? ? 则?槡? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? 则? ? ? ?槡? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? 又设平面?的一个法向量为? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? 槡? ? ? 则 ? 所以?槡? ?分 同理? 设平面?的一个法向量为? ? ? 则 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? 槡? ? ? 则 ? 所以?槡? 又由图可知二面角?为锐角? 设其平面角为? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡?槡? ? 槡? ? ? ? ? ?分 故所求二面角?的余弦值为 槡? ? ? ? ? ?分 ? ? 本小题满分? ?分? 解析? ? ? 由题意得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ?当? ?时? ? 的定义域为? ? 由 ? ? ? ? ? 解得? ? 由 ? ? ? ? ?解得 ? 此时? 在? 上单调递减? 在? 上单调递增? ?分 ?当? ?时? ? 的定义域为? ? 由 ? ? ? ? 解得? 由 ? ? ? ? ?解得 ? ? 此时? 在? 上单调递减? 在? 上单调递增? ?分 ? ? 解法一? 当?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立? 等价于? ? ?恒成 立? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 恒 成 立?也 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒 成 立?设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 又设? ? ? ? ? 当? ? ? ? ? 时? ? ? 当? ? ? ? ? 时? ? ? ? 故 ? ? ? 在 ? ? ? ? ? 单调递减? 在 ? ? ? ? 单调递增? 所以? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ?分 又? ? ? ? 所以? 当? ? 时? ? ? 当 ? 时? ? ? 故 ? 在? 单调递减? 在? ? 单调递增?所以? ? ? ?分 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 所以? ? ? ? ? 故? ? ?分 解法二? 当?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立? 等价于? ? ?恒成立? 即? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立? 即? ? ? ? ? ? ?恒成立? 即? ? ? ? ? ?恒成立? 令? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ?分 下面证明? 当?时? ? ? ? ? ?恒成立? 当? ?时? ? ? ? ? 设? ? 求导得? ? ? ? 当? 时? ? ? 当 ? 时? ? 所以? 在? 上单调递增? 在? 上单调递减? 此时? ? 即? ? ?分 又当? ?时? ? ? ? ? ? 而根据第? ? 问的讨论? 此时? 在? 上单调递减? 在 ? ? 上单调递增? 所以? ? ? ? ? 即 ? ? ? 得证? ? ?分 综上所述? ?的取值范围为? ?分 ? ? 本小题满分? ?分? 解析? ? ? ? 当 ?轴时? 对? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 ? 解得? ? ? ? ? 而此时?的斜率为槡 ? ? ? 从而? ? ? ?槡 ? ? ? 则 ? ? ? ? 槡? ? ? 又 ? ? 且 ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? 所以椭圆?的 标准方程为? ? ? ? ? ? ?分 ? ? 根据题意? 知? ? ? 设? ? ? 因? ?与?的斜率之积 不为? 所以 ? ?的斜率不为? 所以? ?分 又?在椭圆?上? 所以恒有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的斜率为 ? ? ?的斜率为? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ?分 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 而直线?的斜率为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 所以直线?的方程为? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 联立直线?与椭圆?的方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消去? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以直线?始终与椭圆?相切? 得证? ? ?分 选考题? ? ?分? ? ? 本小题满分? ?分? 选修? 坐标系与参数方程 解析? ? ? 将曲线?的参数方程化为普通方程? 得? ? ? ? 是一个以? ? 为圆心? 槡?为半径的圆? ?分 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得曲线?的极坐标方程为? ? ? ? ? ? ? ?分 又原点?在曲线? 即圆? 的内部? 得? ? 解得 槡? ?槡? 故?的取值范围是?槡? ? 槡? ?分 ? ? 法一? 当?时? 圆?的普通方程为? ? ? ? 直线?的极坐标方程为? ? ? 化为直角坐标方程为? 槡? ? ?分 由 ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? 设? ? ? ? 则? ? ? ? 所以?槡? 槡 ? ? ? ? ? ? ? 槡 ?槡? ? ?分 要使?的面积最大? 只需?点到直线?的距离最大? 而由平面几何知识知道? 当? ?为圆心? 交?于?时? ?的长即是?点到直线?的最大距离? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? ? ? ?槡 ? ? 槡? ?为圆?的半径? ? ?分 故所求最大面积为? ? 槡? ? 槡? ? 槡? ? ? 槡槡? ? ? ? ? ? ? ?分 法二? 将? ?代入? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? 又 ? 所以? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ?槡?槡? ? ?分 要使?的面积最大? 只需?点到直线?的距离最大? 而由平面几何知识知道? 当? ? ?为圆心? 交?于?时? ?的长即是?点到直线?的最大距离? ? ? 槡? ? 槡? ?为圆?的半径? ? ?分 故所求最大面积为? ? 槡? ? 槡? ? 槡? ? ? 槡槡? ? ? ? ? ? ?分 ? ? 本小题满分? ?分? 选修? 不等式选讲 解析? ? ? ? 当 ? ?时? ? ? ? ? 则 ? ?等价于 ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ? ?分 解得?或? ? 故原不等式的解集为? ?或 ? ? ? ? ?分 ? ? ? 当 ? 时? 不等式? ?成立等价于当? ? 时 ? ? ?成立? 若? 则当? ? 时 ? ? ?成立? ?分 若? 则当? ? 时 ? ? ?不成立?分 若? ? ? ?的解集为? ?或? ? 所以? ? ? 故 ? ?分 综上? ?的取值范围为? ? ?分