1、备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 08 二次函数背景下的与线段有关的最值探究二次函数背景下的与线段有关的最值探究 【方法综述】【方法综述】 与线段有关的最值探究问题，是中考试卷中的常见问题。解答这些问题常涉及到的知识与线段有关的最值探究问题，是中考试卷中的常见问题。解答这些问题常涉及到的知识 有：两点之间线段最小、垂线段最短、直径是最长的弦等。与之相关的数学模型有：最短路有：两点之间线段最小、垂线段最短、直径是最长的弦等。与之相关的数学模型有：最短路 径问题、点到圆上的点的最短（长）距离问题。解答问题时，可以将这些问题应用于解题中。径问题、点到
2、圆上的点的最短（长）距离问题。解答问题时，可以将这些问题应用于解题中。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 常规单线段的最值探究常规单线段的最值探究 例例 1：已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y = ax2 6ax 10交 x 轴于 A，B 两点 (点 A 在点 B 的左侧)，且AB = 4，抛物线l2与l1交于点 A 与C(4,m) (1)求抛物线l1，l2的函数表达式； (2)当 x 的取值范围是_时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大； (3)直线PQ/y轴，分别交 x 轴，l1，l2于点D(n,0)，P，Q，当1 2 n 5时，求线段
3、 PQ 的最大值 【答案】(1)l1的函数表达式为y = 2x2+ 12x 10,l2的函数表达式为y = 2x2 8x + 6;(2)2 x 3;(3)16 【解析】 解：(1)当y = 0时，ax2 6ax 10 = 0， 解得：x1= 6a;36a2:40a 2a ，x2= 6a:36a2:40a 2a AB = 4， | 36a2:40a a | = 4， a = 2， 抛物线l1的函数表达式为y = 2x2+ 12x 10 当y = 0时，2x2+ 12x 10 = 0， 解得：x1= 1，x2= 5， 点 A 的坐标为(1,0)，点 B 的坐标为(5,0) 当x = 4时，m =
4、2x2+ 12x 10 = 6， 点 C 的坐标为(4,6) 设抛物线l2的函数表达式为y = 2x2+ bx + c， 将A(1,0)，C(4,6)代入y = 2x2+ bx + c，得：32 + 4b + c = 6 2:b:c0 ， 解得：c = 6 b;8 ， 抛物线l2的函数表达式为y = 2x2 8x + 6 (2)当x 3时，抛物线l1上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大， 当x 2时，抛物线l2上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大 当2 x 3时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大 故答案为：2 x 3 (3) 点 P 的坐标为(n,0)， 点 P 的坐标为(n
5、,2n2+ 12n 10)，点 Q 的坐标为(n,2n2 8n + 6)， |PQ| = | 2n2+ 12n 10 (2n2 8n + 6)| = 4|n2 5n + 4| 当1 2 n 0， PQ随着 n 的增大而减小， 当n = 1 2时，PQ 取得最大值，最大值为 7； 1 n 4时，PQ = 4(n2 5n + 4) = 4(n 5 2) 2 + 9， 4 0， 当n = 5 2时，PQ 取得最大值，最大值为 9； 当4 0， PQ随着 n 的增大而增大， 当n = 5时，PQ 取得最大值，最大值为 16 综上所述：当1 2 n 5时，线段 PQ 的最大值为 16 例例 2：如图，A
6、BCD 位于直角坐标系中，AB=2，点 D（0，1） ，以点 C 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 经过 x 轴正半轴上的点 A，B，CEx 轴于点 E （1）求点 A，B，C 的坐标 （2）将该抛物线向上平移 m 个单位恰好经过点 D，且这时新抛物线交 x 轴于点 M，N 求 MN 的长 点 P 是新抛物线对称轴上一动点， 将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60 得 AQ， 则 OQ 的最小值为 （直 接写出答案即可） 【答案】 （1）A（1，0） ，B（3，0） ，C（2，1） ； （2）MN25； 3 2 【解析】 （1）四边形 ABCD 是平行四边形， CD=AB=2， CEx
7、轴， OE=2， 点 E 是 AB 中点， AE=BE=1， OA=21=1OB=OE+BE=3， A（1，0） ，B（3，0） ， D（0，1） ， C（2，1） ； （2）由（1）知，抛物线的顶点 C（2，1） ， 设抛物线的解析式为 y=a（x2）2+1， A（1，0）在抛物线上， a（12）2+1=0， a=1， 抛物线解析式为 y=（x2）2+1， 该抛物线向上平移 m 个单位恰好经过点 D，设平移后的抛物线解析式为 y=（x2）2+1+m， D（0，1） ， （2）2+1+m=1， m=4， 平移后的抛物线解析式为 y=（x2）2+5， 令 y=0， 0=（x2）2+5， x=2，
8、 M（2+，0） ，N（2，0） ， MN=2； 如图， 在第一象限的抛物线对称轴上取一点 P1，使P1AB=60 ， 在 RtAEP1 中，AP1=2AE=2，P2E= 点 Q1 和点 B 重合， Q1（3，0） ，P1（2，） ， 在第一象限的抛物线对称轴上取一点 P2，使P2AB=30 ， 在 RtAEP2 中，P2E=AEtan30 =， 点 Q2（2，） ， 直线 Q1Q2 的解析式 y=x 在第二象限的抛物线对称轴上取一点 P3，使P3AE=60 ， 由旋转知，Q3 和点 P1 关于点 A 对称， Q3（0，） ， 点 Q3 在直线 Q1Q2 上， 点 Q 的运动轨迹是直线 Q1Q
9、2， 当 OQQ1Q2 时，OD 最短， Q1Q3=2 OD 最小=， 故答案为 针对训练针对训练 1 二次函数y=( 1) 2: 6 + 9的图象与x轴交于点A和点B， 以AB为边在x轴下方作正方形ABCD， 点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E （1）求出 m 的值并求出点 A、点 B 的坐标 （2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，求出这个最大 值； （3） 是否存在这样的点 P， 使PED 是等腰三角形？若存在， 请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的
10、面积；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）m=2，A（3，0） ，B（1，0） ； （2）P 为 AO 中点时，OE 的最大值为 9 16； （3）存在，见解 析. 【解析】 （1）二次函数 y=（m1） 2:6x+9， m2+m=2 且 m10， m=2， 二次函数解析式为 y=3x26x+9， 令 y=0， 0=3x26x+9， x=1 或 x=3， A（3，0） ，B（1，0） ； （2）设 PA=t（3t0） ，则 OP=3t， DPPE， DPA=PEO， DAPPOE， = ，即 = 4 3;， OE=1 4t2+ 3 4t= 1 4（t 3 2）2+ 9 16， 当 t=3 2
11、时，OE 有最大值， 即 P 为 AO 中点时，OE 的最大值为 9 16； （3）存在 当点 P 在 y 轴左侧时，如图 1，DE 交 AB 于 G 点， PD=PE，DPE=90 ， DAPPOE， PO=AD=4， PA=1，OE=1， ADOE， = =4， AG=12 5 ， SDAG=1 2 12 5 4=24 5 ， P 点坐标为（4，0） ，此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为； 24 5 当 P 点在 y 轴右侧时，如图 2， DE 交 AB 于 G 点，DP 与 BC 相交于 Q，同理可得DAPPOE， PO=AD=4， PA=7，OE=7， ADOE， = =
12、 4 7， OG=21 11， 同理可得 BQ=12 7 ， S 四边形 DGBQ=1 2 （ 21 11+1） 4+ 1 2 4 12 7 =712 77 当点 P 的坐标为（4，0）时，此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为712 77 当点 P 和点 A 重合，此时，点 E 和点 O 重合，DPOP，此时，PDE 不是等腰三角形 2在如图的平面直角坐标系中，抛物线 yax22amx+am2+1（a0）与 x 轴交于点 A 和点 B，点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C，顶点是 D，且DAB45 （1）填空：点 C 的纵坐标是 （用含 a、m 的式子表示） ； （2）求
13、 a 的值； （3）点 C 绕 O 逆时针旋转 90 得到点 C，当1 2m 5 2时，求 BC的长度范围 【答案】 （1）am2+1； （2）a1； （3）0BC9 4 【解析】 解： （1）当 x0 时，yax22amx+am2+1am2+1， 点 C 的纵坐标为 am2+1 故答案为：am2+1 （2）设抛物线对称轴与 x 轴交于点 E，如图 1 所示 DADB，DAB45 ， ABD 为等腰直角三角形， AB2DE yax22amx+am2+1a（xm）2+1， 点 D 的坐标为（m，1） 当 y0 时，ax22amx+am2+10，即 a（xm）21， 解得：x1m 1 ，x2m+
14、1 ， AB2 1 2， 解得：a1 （3）由（1） （2）可知：点 C 的坐标为（0，1m2） ，点 B 的坐标为（m+1，0） 点 C 绕 O 逆时针旋转 90 得到点 C， 点 C的坐标为（m21，0） ， BC|m+1（m21）|m2+m+2| m2+m+2（m1 2）2+ 9 4， 1 2m 5 2， 当 m5 2时，m2+m+2 取得最小值，最小值为 7 4； 当 m1 2时，m2+m+2 取得最大值，最大值为 9 4， 当1 2m 5 2时， 7 4m2+m+2 9 4， 当1 2m 5 2时，0BC 9 4 3已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0） 、B（3，0）
15、 ，且与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴 交于点 D (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是 y 轴正半轴上的一个动点，连结 DP，将线段 DP 绕着点 D 顺时针旋转 90 得到线段 DE，点 P 的 对应点 E 恰好落在抛物线上，求出此时点 P 的坐标； (3)点 M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接 MD，把 MD2表示成自变量 n 的函数，并求出 MD2取得最 小值时点 M 的坐标 【答案】（1） yx2+2x+3；（2） 点 P 的坐标为 （0， 1+3） ；（3） MD2n2n+4； 点 M 的坐标为 （2;14 2 ， 1 2） 或 （2:14 2 ，1 2）
16、【解析】 （1）将 A（1，0） ，B（3，0）代入 yax2+bx+3，得：， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 （2）过点 E 作 EFx 轴于点 F，如图所示 OPD+ODP90 ，ODP+FDE90 ， OPDFDE 在ODP 和FED 中， ODPFED（AAS） ， DFOP，EFDO 抛物线的解析式为 yx2+2x+3（x1）2+4， 点 D 的坐标为（1，0） ， EFDO1 当 y1 时，x2+2x+31， 解得：x11（舍去） ，x21+， DFOP1+， 点 P 的坐标为（0，1+） （3）点 M（m，n）是抛物线上的一个动点， nm2+2m+3， m22m3
17、n 点 D 的坐标为（1，0） ， MD2（m1）2+（n0）2m22m+1+n23n+1+n2n2n+4 n2n+4（n）2+， 当 n时，MD2 取得最小值，此时m2+2m+3， 解得：m1，m2 MD2n2n+4， 当 MD2 取得最小值时，点 M 的坐标为（，）或（，） 3如图， 在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， C 在 x 轴的正半轴上， 已知 A （0， 8） 、C（10，0） ，作AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 CD，过点 D 作 DECD 交 OA 于点 E （1）求点 D 的坐标； （2）求证：ADEBCD； （3）抛物线 y2
18、 5x 224 5 x+8 经过点 A、C，连接 AC探索：若点 P 是 x 轴下方抛物线上一动点，过点 P 作 平行于 y 轴的直线交 AC 于点 M是否存在点 P，使线段 MP 的长度有最大值？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 【答案】 （1） （8，8） ； （2）详见解析； （3）存在，P 点坐标为（5，6） 【解析】 解： （1）OD 平分AOC，AODDOC 四边形 AOCB 是矩形， ABOC AODDOC AODADO OAAD（等角对等边） A 点的坐标为（0，8） ， D 点的坐标为（8，8） （2）四边形 AOCB 是矩形， OABB90 ，BCOA O
19、AAD， ADBC EDDC EDC90 ADE+BDC90 BDC+BCD90 ADEBCD 在ADE 和BCD 中， DAEB，ADBC，ADEBCD， ADEBCD（ASA） （3）存在， 二次函数的解析式为： ，点 P 是抛物线上的一动点， 设 P 点坐标为（t，2 5 t2 24 5 t+8） 设 AC 所在的直线的函数关系式为 ykx+b， A（0，8） 、C（10，0） ， = 8 10 + = 0 ，解得k = 4 5 = 8 直线 AC 的解析式 y=-4 5x + 8 PMy 轴， M（t，-4 5x + 8） PM（ 2 5 t2 24 5 t+8）+（-4 5x + 8
20、）- 2 5 (t-5)2+10 当 t5 时，PM 有最大值为 10 所求的 P 点坐标为（5，6） 4如图 1，已知抛物线 y=ax22ax3 与 x 轴交于 A、B 两点，其顶点为 C，过点 A 的直线交抛物线于另 一点 D（2，3） ，且 tanBAD=1 （1）求抛物线的解析式； （2）连结 CD，求证：ADCD； （3）如图 2，P 是线段 AD 上的动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求线段 PE 长度的最大值； （4）点 Q 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使以 A，D，F，Q 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，直接写出点 F 的坐标；若不存在
21、，请说明理由 【答案】 （1）y=x22x3； （2）证明见解析； （3）9 4； （4）存在； （3，0）或（4+7，0）或（47，0） 或（1，0）. 【解析】 （1）如图，过点 D 作 DMx 轴于 M， D（2，3） ， DM=3，OM=2， tanBAD=1， AM=DM=3， AO=AMOM=32=1， 点 A 的坐标为（1，0） ， 将点 A 的坐标代入抛物线得，a+2a3=0， 解得 a=1， 所以，y=x22x3； （2）证明：y=x22x3=（x1）24， 顶点 C（1，4） ， 由勾股定理得，AD2=32+32=18， CD2=（21）2+（3+4）2=2， AC2=（1
22、+1）2+42=20， AD2+CD2=AC2=20， ACD 是直角三角形，且ADC=90 ， ADCD； （3）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b（k0） ， 将点 A、D 的坐标代入得， + = 0 2 + = 3 ， 解得 = 1 = 1 ， 所以，直线 AD 的解析式为 y=x1， 所以，PE=（x1）（x22x3）=x2+x+2=（x1 2）2+ 9 4， P 是线段 AD 上的动点， 1x2， 当 x=1 2时，线段 PE 长度的最大值是 9 4； （4）设点 F 的坐标为（x，0） ， AD 是平行四边形的边且 FQ 在 x 轴下方时，点 Q 的坐标为（x+3，3） ， 代
23、入抛物线得， （x+3）22（x+3）3=3， 解得 x1=3，x2=1（舍去） ， 所以，F（3，0） ； FQ 在 x 轴上方时，点 Q 的坐标为（x3，3） ， 代入抛物线得， （x3）22（x3）3=3， 整理得，x28x+9=0， 解得，x=4 7， 所以，F（4+7，0）或（47，0） ； AD 是平行四边形对角线时，A、F 都在 x 轴上， DQx 轴， 点 Q 的纵坐标为3， x22x3=3， 解得 x1=2，x2=0， DQ=2， AF=2， AO=1， OF=21=1， F（1，0） ， 综上所述，x 轴上存在点 F（3，0）或（4+7，0）或（47，0）或（1，0） ，使
24、以 A，D，F，Q 为顶 点的四边形是平行四边形 5 如图， 抛物线 y=ax2+bx-3 与轴交于， 两点 （点在点左侧） ， A(-1,0)， B(3,0)， 直线与抛物线交于， 两点， 其中点的横坐标为2。 （1）求抛物线的函数解析式； （2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使，这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形?如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由。 【答案】 （1）y=x22x3； （2）9 4； （3）存在 4 个符合条件的 F 点，分别为 F（3，0） ， （1，0）
25、， （4+7， 0） ， （47，0） 【解析】 （1）将 A（1，0） ，B（3，0）代入 y=ax2+bx-3，得：a=1，b=2，y=x22x3 （2）将 C 点的横坐标 x=2 代入 y=x22x3，得：y=3，C（2，3） ，直线 AC 的函数解析式是 y= x1 设 P 点的横坐标为 x（1x2） ，则 P、E 的坐标分别为：P（x，x1） ，E（x，x22x3） P 点在 E 点的上方，PE=（x1）（x22x3）=x2+x+2，当 x=1 2时，PE 的最大值= 9 4 （3）存在讨论如下： 如图，连接 C 与抛物线和 y 轴的交点 C（2，3） ，G（0，3） ，CGx 轴，
26、此时 AF=CG=2，F 点的坐标是（3，0） ； 如图，AF=CG=2，A 点的坐标为（1，0） ，因此 F 点的坐标为（1，0） ； 如图，设 F（x，0） ACFG 是平行四边形，AF 的中点与 CG 的中点重合 AF 的中点的纵坐标为 0，C，G 两点的纵坐标互为相反数，G 点的纵坐标为 3，x22x3=3，解 得： x=1 7， G 点的坐标为 （1 7， 3） ， AF 的中点的横坐标=CG 的中点的横坐标， 2:17 2 = ;1: 2 ， 解得：x=4 7，F 的坐标为（4 7，0） 综上所述：存在 4 个符合条件的 F 点，分别为 F（3，0） ， （1，0） ， （4+7，
27、0） ， （47，0） 6如图 1，抛物线 l1：y=x2+bx+3 交 x 轴于点 A、B， （点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C，其对称轴为 x=1，抛物线 l2经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（5，0） ，交 y 轴于点 D（0，5） （1）求抛物线 l2的函数表达式； （2）P 为直线 x=1 上一动点，连接 PA、PC，当 PA=PC 时，求点 P 的坐标； （3）M 为抛物线 l2上一动点，过点 M 作直线 MNy 轴（如图 2 所示） ，交抛物线 l1于点 N，求点 M 自点 A 运动至点 E 的过程中，线段 MN 长度的最大值 【答案】 （1）抛物线 l2
28、 的函数表达式；y=x24x5； （2）P 点坐标为（1，1） ； （3）在点 M 自点 A 运动至 点 E 的过程中，线段 MN 长度的最大值为 12.5 【解析】 （1）抛物线 l1：y=x2+bx+3 对称轴为 x=1， x= 2（;1）=1，b=2， 抛物线 l1 的函数表达式为：y=x2+2x+3， 当 y=0 时，x2+2x+3=0， 解得：x1=3，x2=1， A（1，0） ，B（3，0） ， 设抛物线 l2 的函数表达式；y=a（x5） （x+1） ， 把 D（0，5）代入得：5a=5，a=1， 抛物线 l2 的函数表达式；y=x24x5； （2）作 CHPG 交直线 PG 于
29、点 H， 设 P 点坐标为（1，y） ，由（1）可得 C 点坐标为（0，3） ， CH=1，PH=|3y |，PG=|y |，AG=2， PC2=12+（3y）2=y26y+10，PA2= =y2+4， PC=PA， PA2=PC2， y26y+10=y2+4，解得 y=1， P 点坐标为（1，1） ； （3）由题意可设 M（x，x24x5） ， MNy 轴， N（x，x2+2x+3） ， 令x2+2x+3=x24x5，可解得 x=1 或 x=4， 当1x4 时，MN=（x2+2x+3）（x24x5）=2x2+6x+8=2（x3 2）2+ 25 2 ， 显然13 24， 当 x=3 2时，MN
30、 有最大值 12.5； 当 4x5 时，MN=（x24x5）（x2+2x+3）=2x26x8=2（x3 2）2 25 2 ， 显然当 x3 2时，MN 随 x 的增大而增大， 当 x=5 时，MN 有最大值，MN=2（53 2）2 25 2 =12. 综上可知：在点 M 自点 A 运动至点 E 的过程中，线段 MN 长度的最大值为 12.5 7如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a0）相交于 A（1 2， 5 2）和 B（4，m） ，点 P 是线段 AB 上异 于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这
31、样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）假若PAC 为直角三角形，直接写出点 P 坐标。 【答案】 （1）y=2x2-8x+6（2）存在，49 8 （3） （3，5） 【解析】 （1）B（4，m）在直线 yx2 上， m426， B（4，6） ， A（1 2， 5 2） ，B（4，6）在抛物线 yax2bx6 上， 1 4 + 1 2 + 6 = 5 2 16 + 4 + 6 = 6 ， 解得 = 2 = 8 ， 抛物线的解析式为 y2x28x6； （2）设动点 P 的坐标为（n，n2） ，则 C 点的坐标为（n，2n28n6） ， PC
32、（n2）（2n28n6）2n29n42（n9 4）2 49 8 ， PC0， 当 n9 4时，线段 PC 最大且为 49 8 ； （3）PAC 为直角三角形， i）若点 P 为直角顶点，则APC90 由题意易知，PCy 轴，APC45 ，因此这种情形不存在； ii）若点 A 为直角顶点，则PAC90 如图 1， 过点 A（1 2， 5 2）作 ANx 轴于点 N，则 ON 1 2，AN 5 2， 过点 A 作 AM直线 AB，交 x 轴于点 M， 则由题意易知，AMN 为等腰直角三角形， MNAN5 2， OMONMN1 2 5 23， M（3，0） 设直线 AM 的解析式为：ykxb， 则：
33、 1 2 5 2 30 ， 解得 1 3 ， 直线 AM 的解析式为：yx3 又抛物线的解析式为：y2x28x6 联立式，解得：x3 或 x1 2（与点 A 重合，舍去） C（3，0） ，即点 C、M 点重合； 当 x3 时，yx25， P1（3，5） ； iii）若点 C 为直角顶点，则ACP90 y2x28x62（x2）22， 抛物线的对称轴为直线 x2 如图 2，作点 A（1 2， 5 2） ）关于对称轴 x2 的对称点 C， 则点 C 在抛物线上，且 C（7 2， 5 2） ， 当 x7 2时，yx2 11 2 ， P2（7 2， 11 2 ） 点 P1（3，5） 、P2（7 2， 1
34、1 2 ）均在线段 AB 上， 综上所述，PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为（3，5）或（7 2， 11 2 ） 8如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 = 2+ + 过，三点，点的坐标是(3,0)，点的 坐标是(0,3)，动点在抛物线上 (1) =_， =_，点的坐标为_； （直接填写结果） (2)是否存在点，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若 不存在，说明理由； (3)过动点作垂直轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线垂足为，连接，当线段的 长度最短时，求出点的坐标 【答案】 （1）-2，-3， （-1，0） （2）存在的坐标是(1,4)或(2,5)（
35、3）(2:10 2 , 3 2)或( 2;10 2 , 3 2) 【解析】 （1）将点 A 和点 C 的坐标代入抛物线的解析式得： = 3 9 + 3 + = 0 ，解得：b=2，c=3，抛物线 的解析式为 y=x22x3 令 x22x3=0，解得：x1=1，x2=3，点 B 的坐标为（1，0） 故答案为：2；3； （1，0） （2）存在理由如下： 如图所示： 当ACP1=90 由（1）可知点 A 的坐标为（3，0） 设 AC 的解析式为 y=kx3 将点 A 的坐标代入得：3k3=0，解得：k=1，直线 AC 的解析式为 y=x3，直线 CP1 的解析式为 y=x3 将 y=x3 与 y=x
36、22x3 联立解得： 1= 1 1= 4 ， 2= 0 2= 3 （舍去） ，点 P1 的坐标为（1，4） 当P2AC=90 时 设 AP2 的解析式为 y=x+b 将 x=3，y=0 代入得：3+b=0，解得：b=3，直线 AP2 的解析式为 y=x+3 将 y=x+3 与 y=x22x3 联立解得：1 = 2 1= 5 ，2 = 3 2= 0 （舍去） ，点 P2 的坐标为（2，5） 2 综上所述：P 的坐标是（1，4）或（2，5） （3）如图 2 所示：连接 OD 由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD=EF 根据垂线段最短，可得当 ODAC 时，OD 最短，即 EF 最短 由（
37、1）可知在 RtAOC 中，OC=OA=3，ODAC，D 是 AC 的中点 又DFOC， = 1 2 = 3 2，点 P 的纵坐标是 3 2， 2 2 3 = 3 2，解得： = 210 2 ，当 EF 最短时，点 P 的坐标是： （2:10 2 ， 3 2）或（ 2;10 2 ， 3 2） 9函数 y=x2+bx+c 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，OB=OC点 D 在函数图像上，CD/x 轴，且 CD=2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点 （1）求 b、c 的值； （2）如图，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F 恰好在线段
38、 BE 上，求点 F 的坐标； （3） 如图， 动点 P 在线段 OB 上， 过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M， 与抛物线交于点 N 试问： 抛物线上是否存在点 Q，使得PQN 与APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由 图 图 【答案】 （1）c=-3； （2）点 F 的坐标为（0，-2） ； （3）满足题意的点 Q 的坐标为（1 2, 15 4 ）和(3 2, 15 4 ) 【解析】 （1）CDx 轴，CD=2，抛物线对称轴为 x=1， 2 = 1， = 2 OB=OC，C（0，c） ，B 点的坐标为（c，0） ，0
39、=c2+2c+c，解得：c=3 或 c=0（舍去） ，c=3； （2）设点 F 的坐标为（0，m） 对称轴为直线 x=1，点 F 关于直线 l 的对称点 F 的坐标为（2，m） 由（1）可知抛物线解析式为 y=x22x3=（x1）24，E（1，4） 直线 BE 经过点 B（3，0） ，E（1，4） ，利用待定系数法可得直线 BE 的表达式为 y=2x6 点 F 在 BE 上，m=2 26=2，即点 F 的坐标为（0，2） ； （3）存在点 Q 满足题意 设点 P 坐标为（n，0） ，则 PA=n+1，PB=PM=3n，PN=n2+2n+3 作 QRPN，垂足为 R SPQN=SAPM，1 2（
40、 + 1） （3 ） = 1 2（ 2 + 2 + 3） ，QR=1 分两种情况讨论： 点 Q 在直线 PN 的左侧时，Q 点的坐标为（n1，n24n） ，R 点的坐标为（n，n24n） ，N 点的坐标为 （n，n22n3） ，在 RtQRN 中，NQ2=1+（2n3）2， = 3 2时，NQ 取最小值 1此时 Q 点的坐标 为（ 1 2， 15 4 ）； 点 Q 在直线 PN 的右侧时，Q 点的坐标为（n+1，n24） 同理，NQ2=1+（2n1）2， = 1 2时，NQ 取最小值 1此时 Q 点的坐标为（ 3 2， 15 4 ） 综上可知存在满足题意的点 Q，其坐标为（ 1 2， 15 4
41、 ）或（ 3 2， 15 4 ） 10如图，对称轴为直线 = 1的抛物线 = ( )2 4( 0)与轴交于、两点，与轴交于点， 其中点的坐标为(3,0) (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，且= 4，求点的坐标； (3)设点是线段上的动点，作 轴交抛物线于点，求线段长度的最大值 【答案】y=2+ 2 3;(2) 点的坐标为：(4,21)，或(4,5)；(3) 当 = 3 2时，有最大值 9 4 【解析】 解： (1)由题意对称轴为直线 = 1， 可设抛物线解析式： = ( + 1)2 4， 把点(3,0)代入可得， = 1， = ( + 1)2 4 = 2+ 2 3，(2)如图1
42、， = 2+ 2 3，当 = 0时， = 3， 所以点(0,3)， = 3， 令 = 0，解得： = 3，或 = 1， 点(1,0)， = 1， 设点(,2+ 2 3)， 此时= 1 2 | = 3 2 |， = 1 2 = 3 2， 由= 4得3 2 | = 6， 解得： = 4或 = 4， 2+ 2 3 = 21，或2+ 2 3 = 5， 所以点的坐标为：(4,21)，或(4,5)；(3)如图2， 设直线的解析式为： = + ， 把(3,0)，(0,3)代入得：0 = 3 + 3 = ， 解得： = 1 = 3 ， 所以直线: = 3， 设点(, 3)，点(,2+ 2 3) 所以： = 3
43、 (2+ 2 3) = 2 3 = ( + 3 2) 2 + 9 4， 所以当 = 3 2时，有最大值 9 4 类型二类型二 最短路径模型的应用最短路径模型的应用 例例 3已知二次函数 y=x2+4x+m （1）如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点 A（6，0） ，与 y 轴交于点 B，点 p 是二次函数对称轴上的一个动点，当 PB+PA 的值最小时，求 p 的坐标 （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围 【答案】 （1）m4； （2）P（2，8） ； （3）x0 或 x6 【解析】 （1）二次函数的图象与 x
44、 轴有两个交点， =42+4m0 m4； （2）二次函数的图象过点 A（6，0） ， 0=9+6+m m=12， 二次函数的解析式为：y=x2+4x+12， 令 x=0，则 y=12， B（0，12） ， 设直线 AB 的解析式为：y=kx+b， 6 + = 0 = 12, 解得： = 2 = 12， 直线 AB 的解析式为：y=2x+12， 抛物线 y=x2+4x+12 的对称轴为：x=2， 把 x=2 代入 y=2x+12 得 y=8， P（2，8） （3）根据函数图象可知：x0 或 x6 针对训练针对训练 1.如图，抛物线 y=1 2 x +bx+c 与直线 y= 1 2x+3 交于 A
45、，B 两点，点 A 在 y 轴上，抛物线交 x 轴于 C、 D 两点，已知 C（-3，0）. （1）求抛物线的解析式 （2)在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MB 一 MD|的值最大。请求出点 M 的坐标及这个最大值. 【答案】 （1） = 1 2 2 + 5 2 + 3； （2）| |的最大值为2. 【解析】 解： （1）点 A 在 y 轴上，且在直线 y= 1 2x+3 上， A（0,3） ， 将 A（0,3） ，C（-3，0）代入函数解析式，得 9 2 3 + = 0 = 3 解得 = 5 2, = 3. 抛物线的解析式为y = 1 2x 2 + 5 2x + 3. （2）抛物线的对
46、称轴为x = 5 2. 由抛物线的对称性可知，点 D 与点 C 关于对称轴对称， 对 l 上任意一点 M 都有 MD=MC. 当点 B，C，M 共线时，|MB MD|取最大值，最大值即为 BC 的长. 联立方程组 = 1 2 + 3 = 1 2x 2 + 5 2 + 3 解得 = 4 = 1 或 = 0 = 3 . A（0,3） ， B（-4,1） 设直线 BC 的解析式为y = kx + b， 3 + = 0 4 + = 1 ， 解得 = 1 = 3 . 直线 BC 的解析式为y = x 3， 将x = 5 2代入y = x 3，解得y = 1 2. 点 M 的坐标为（ 5 2, 1 2）
47、， B（-4,1） ，C（-3，0）. BC=(4 + 3)2 (1 0)2=2 |MB MD|的最大值为2. 2 如图， 直线 = 2与抛物线分别交于点 A、点 B， 且点 A 在 y 轴上， 抛物线的顶点 C 的坐标为(3，1) (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是线段 AB 上一动点，射线 轴并与直线 BC 和抛物线分别交于点 M、N，过点 P 作 轴于 点 E，当 PE 与 PM 的乘积最大时，在 y 轴上找一点 Q，使| |的值最大，求| |的最大值和此 时 Q 的坐标； (3)在抛物线上找一点 D，使ABD 为直角三角形，求 D 点的坐标 【答案】 （1） = 1 3 2 +
48、 2 2； （2） | |max= 170 2 ，Q 点坐标为(0，40)； （3） 点坐标为 (3，1)或(6， 26)或(3:35 2 ， 11;35 2 )或(3;35 2 ， 11:35 2 ) 【解析】 (1) 由题意得：（0， 2） 顶点坐标为(3,1), 设抛物线解析式为y = ( 3)2+ 1 将点(0,2)代入得：2 = 9 + 1 解得： = 1 3, y = 1 3( 3) 2 + 1, 即: = 1 3 2 + 2 2. (2) 联立 = 1 3 2 + 2 2 = 2 解得： x1= 0 1= 2 或 2= 9 2= 11 即点的坐标为(9， 11) 设的解析式为 =
49、 + ，代入(9， 11)和(3，1)得： 11 = 9 + 1 = 3 + 解得： = 2 = 7 BC 的解析式为 = 2 + 7 设点坐标为(, 2)，则(m:9 2 , 2) = + 2, = 9; 2 ， = ( + 2) 9; 2 = 1 2 2 + 7 2 + 9 当 = 7 2时， 最大，即( 7 2， 11 2 ) C、P 在 y 轴同侧 Q 在 PC 延长线上时，| |最大，| |max= = 170 2 此时，Q 为直线 PC 与 y 轴的交点， 由(7 2， 11 2 )和(3，1)得直线 PC 的解析式为： = 13 + 40 Q 点坐标为(0，40) (3) 点坐标为(3，1)或(6， 26)或(3:35 2 ， 11;35 2 )或(3;35 2 ， 11:35 2 ) 3如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 1 4 2 + + 3交轴于,两点，交轴于点，顶点为，抛物 线对称轴与轴交点为. （1）求直线的解析式. （2）点(,0)，( + 2,0)为轴上两点，其中2 0即 a0 时， (2 ，0) PB3 2 PC9a6 PBPC3 2 9a69a 2 3 9a 2 314 9a 172 令 y19a17,y22 双曲线 y22 与直线 y19a17 的交点为 M、N，则其坐标为方程组 9 17 的解
