1、必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 第三节第三节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 学习要求学习要求: 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.了解周期性、最小正周期的概念和几何意义. 3.会运用函数的图象判断函数的奇偶性. 4.会判断、应用简单函数的周期性. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放
2、； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.函数的奇偶性函数的奇偶性 必备知识 整合 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)是偶函数 关于 y轴 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)是奇函数 关于 原点 对称 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T
3、,使得当x取定义域内的 任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函 数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么 这个最小的正数就叫做它的最小正周期. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=1f(x)为偶函数,其中f(x)0. (2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0=-1f(x)为奇函数,其中f(x)0.
4、() ( ) fx f x () ( ) fx f x 知识拓展知识拓展 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间 上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题
5、学科素养 提升 3.函数周期性的常用结论 对f(x)的定义域内任意自变量x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a0). 1 ( )f x 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)函数y=x2在x(0,+)上是偶函数.( ) (2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.( ) (3)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( ) (4)定义域关于原点对称
6、是函数具有奇偶性的一个必要条件.( ) 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)函数f(x)=-x的图象关于( ) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 1 x C 解析解析 f(-x)=-+x=-=-f(x),且定义域为(-,0)(0,+),f(x)为 奇函数.f(x)的图象关于坐标原点对称. 1 x 1 x x 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，
7、只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 3.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是( ) A.- B. C. D.- 1 3 1 3 1 2 1 2 B 解析解析 因为f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a =.又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=. 1 3 1 3 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2
8、)= . 12 解析解析 依题意得f(-2)=2(-2)3+(-2)2=-12,又函数f(x)是奇函数,所以f(2)=-f(-2)= 12. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 5.(2019课标全国,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x0可得-x0时, f(x)=-f(-x)=-ea(-x)=e-ax,则f(ln 2)=e-aln 2=8, -aln 2=ln 8=3ln 2,a=-3. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书
9、，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 6.若f(x)是定义在R上的周期为3的函数,且f(x)=则f(a+1)的 值为 . 2 ,02, 618,23, xxax xx 2 解析解析 因为f(x)是定义在R上的周期为3的函数,所以f(0)=f(3),所以a=0,所以 f(a+1)的值为12+1+0=2. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例1 已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 考点一考点一 函数的奇偶性函数的奇偶性 关键能力 突破 B 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养
10、提升 典例典例2 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=; (2)f(x)=log2(1+4x)-x; (3)f(x)=log2(-3x). 21 21 x x 2 91x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 (1)因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),其关于原点对称, 且f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. (2)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=log2(1+4-x)+x=log2+x=log2(1+4x)-log24x+x =log2(1+4x)-x=f(x),所以f(x)为偶函数. (3)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=log2(+
11、3x)=log2=-f(x),所以 f(x)为奇函数. 21 21 x x 1 1 2 1 1 2 x x 12 12 x x 14 4 x x 2 91x 2 1 913xx 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先 考虑定义域; (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系. 在判断函数奇偶性的过程中,可以将问题转化为f(x)+f(-x)或f(x)-f(-x)的形式, 看f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 规律总结规律总结 必备知识
12、 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题 (1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解 析式. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于参数的 恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值. (4)画函数图象:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.(2020浙江,4,4分)函数y=xcos x+sin x在区间-,上的图象可能是( ) A 必备知识 整合
13、关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 设f(x)=xcos x+sin x,定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除C、D;又f()=cos +sin =-,排除B,故 选A. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+2是定义在a,b上的偶函数,则k+a+b= . 1 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 3.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=3x+3-x; (2)f(x)=+; (3)f(x)= 1 21 x 1 2 2 2 ,0, ,0. xx x xx x
14、 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 (1)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),所以f(x)为偶函数. (2)因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),其关于原点对称,且f(-x)=+= +, f(-x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),其关于原点对称. 当x0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x0时,-x0, 1 21 x 1 2 2 12 x x 1 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x
15、). 综上可知,对于定义域内任意的x,总有f(-x)=-f(x), 函数f(x)为奇函数. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例3 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x 0,2时, f(x)=2x-x2. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)计算:f(0)+f(1)+f(2)+f(2 020). 考点二考点二 函数的周期性函数的周期性 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 (1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的最小正周期为4. (2)f(0)=0
16、, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.又因为f(x)是周期为4的周期函数, 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)+ f(2 019)=0, 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2 020) =f(2 020)=f(0)=0. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 因为对任意xR,都有f(x+2)=,所以f(x+4)=f(x+2+2)= =f(x),所以f(x)的最小正周期为4. 1 ( )f x 1 (2)f x 1 1 ( )f x
17、变式探究1 若本典例中条件变为“f(x+2)= ”,求函数f(x)的最小正周 期. 1 ( )f x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 因为对任意xR,都有f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x+2+2)=-= -=f(x),所以f(x)的最小正周期为4. 1 ( )f x 1 (2)f x 1 1 ( )f x 变式探究2 若本典例条件变为“f(x+2)=- ”,求函数f(x)的最小正周 期. 1 ( )f x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 变式探究3 在本典例条件下,求f(x)(x2,4)的解析式. 解析解析 当x-2,0时,-x0,2, 由已
18、知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2, 所以f(x)=x2+2x,x-2,0. 又当x2,4时,x-4-2,0, 所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数, 所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.故x2,4时, f(x)=x2-6x+8. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 方法技巧方法技巧 函数周期性的判断与应用 (1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0),便可得函数是周期函 数,且周期为T. (2)应用:
19、根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在 解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数 的周期. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.(2020湖北武汉二中模拟)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2上, f(x)= 则f(f(15)的值为 . x cos,02, 2 1 x, 20, 2 x x 2 2 解析解析 f(x+4)=f(x),函数f(x)的周期为4,f(15)=f(-1)=, f =cos=, f(f(15)=f =. 1 2 1 2 4 2 2 1 2 2 2 必备知识 整合 关键能力
20、 突破 学科素养 提升 2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0 x2时, f(x)=x3-x,则函数y =f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为 . 7 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 当0 x2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0, 所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1. 当2x4时,0 x-22, 又f(x)的最小正周期为2, 所以f(x-2)=f(x), 所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3), 所以当2x4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3. 同理可得,当4x6时
21、,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5. 当x7=6时,也符合题意.综上可知,共有7个交点. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 角度一角度一 函数的单调性与奇偶性的综合问题函数的单调性与奇偶性的综合问题 典例典例4 (1)已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减, f(1)=-1,若f(2x-1)-1,则x的 取值范围是( ) A.(-,-1 B.1,+) C.0,1 D.(-,01,+) (2)已知函数f(x)=ex-e-x+x3,则不等式f(2x+1)+f(4-x)0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)-f(4-x) =f(x-4)
22、,得2x+1x-4,所以x0的解集是 ( ) A.(2,+) B. C. D. 2 , 3 2 ,2 3 2 2 , 3 3 2 , 3 2 , 3 D 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以由f(0) =0得f(4)=0,又f(x)在(-,2)上单调递减,所以f(x)在2,+)上单调递增, 当2-3x2即x0时,由f(2-3x)0得f(2-3x)f(4),所以2-3x4,解得x-; 当2-3x0时,由f(2-3x)0得f(2-3x)f(0),所以2-3x, 综上所述, f(2-3x)0的解集是 . 2 3
23、 2 3 2 , 3 2 , 3 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 3.函数y=f(x)满足对任意xR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于 点(1,0)对称, f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 . 4 解析解析 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, y=f(x)的图象关于点(0,0)对称, f(x)为奇函数. 又f(x+2)=f(-x), f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x), y=f(x)是以4为周期的周期函数. f(2 016)=f(5044)=0, f(2 017)=f(5044+1
24、)=f(1)=4, f(2 018)=f(5044+2)=f(2) =-f(0)=0.故答案为4. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 微专题微专题抽象函数的性质及应用抽象函数的性质及应用 抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数 的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手. 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一 些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的 想象力以及灵活运用函数知识的能力. 学科素养 提升 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 角度一角度一 抽象函数的单调
25、性抽象函数的单调性 典例典例1 (2020甘肃静宁一中校级期末)已知偶函数f(x)在区间(-,0上单调递 减,则满足f(2x-1)f(x)的x的取值范围是( ) A.1,+) B.(-,1 C.1,+) D. 1 , 3 1 ,1 3 D 解析解析 根据题意,偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,则f(x)在0,+)上 单调递增,则f(2x-1)f(x)f(|2x-1|)f(|x|)|2x-1|x|(2x-1)2x2, 解得x1,即x的取值范围是.故选D. 1 3 1 ,1 3 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)f(x)f
26、(|2x-1|)f(|x|) |2x-1|x|(2x-1)2x2,解得x的取值范围. 典例典例2 (2019湖北武汉期末)若a=,b=,c=log2,定义在R上的奇函数 1 4 6 7 1 5 7 6 7 8 f(x)满足:对任意的x1,x20,+)且x1x2,都有 0,则f(a), f(b), f(c)的 大小顺序为( ) A.f(b)f(a)f(b)f(a) C.f(c)f(a)f(b) D.f(b)f(c)f(a) 12 12 ( )()f xf x xx B 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 根据题意,函数f(x)满足:对任意的x1,x20,+)且x1x2,都有
27、 0, 则f(x)在0,+)上为减函数, 又f(x)为定义在R上的奇函数, 所以函数f(x)在(-,0上为减函数, 所以函数f(x)在R上为减函数, 因为c=log2b0c,故f(c)f(b)f(a).故选B. 12 12 ( )()f xf x xx 7 8 1 4 6 7 1 4 7 6 1 5 7 6 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在0,+)上为减函数,结合函数的奇 偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得ab0c,再结合函数的单调 性分析可得答案. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 A. B.-2,-1 C
28、. D. 1 3 , 2 4 1 , 2 3 , 4 (2020天津第二十五中学3月模拟)已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2) 为偶函数,且f(x)对任意的x1,x22,+)(x1x2),都有 0,若f(a) f(3a+1),则实数a的取值范围是 ( ) 21 21 ()( )f xf x xx A 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 因为函数y=f(x+2)为偶函数, 所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称, 因为f(x)对任意的x1,x22,+)(x1x2),都有 0,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2 020)=( ) A. B.2 C.
29、D.4 3 4 5 2 根据题意,分析可得f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,进而可得 f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案. A 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 根据题意, f(x+1)=f(x) f(x+2),则有f(x+2)=f(x+1) f(x+3), 变形可得f(x+2)=f(x) f(x+2) f(x+3), 又f(x)0,所以f(x) f(x+3)=1,所以f(x+3)=, 故f(x+6)=f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数, 则f(2 019)=f(3+3366)=f(3
30、), f(2 020)=f(4+3366)=f(4), 故f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4). 由f(x+3)=,令x=1可得f(4)=; 由f(x+1)=f(x) f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0可得f(1)=f(0) f(2)=4且f(0)=f(2), f(x)0, 1 ( )f x 1 (3)f x 1 ( )f x 1 (1)f 1 4 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 则f(0)=f(2)=2, 则f(3)=,故f(3)+f(4)=+=.故选A. 1 (0)f 1 2 1 4 1 2 3 4 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养
31、提升 根据题意,由f(x+1)=f(x) f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1) f(x+3),进而可得f(x+3)= ,则有f(x+6)=f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得 f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案. 1 ( )f x 1 (3)f x 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且 f(x)在0,1上单调递增,若a=f(log23),b=f(),c=f(2 020),则( ) A.abc B.acb C.cba D.bc
32、0,b0, 又f(2 020)=f(5054)=f(0)=0,所以c=0,故bc0时,h(x)=log20 x, 因为偶函数f(x)的图象关于x=对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x), 则f(3+x)=f3-(3+x)=f(-x)=f(x), 即f(x)是T=3的周期函数,所以x=(kZ)为f(x)图象的对称轴, 3 2 3 2 k 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 又因为当x时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20), 当x0,20时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示, 可知f(x)与h(x)在0,
33、20上有13个交点,即g(x)在0,20上有13个零点, 又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在-20,20上共有26个零点.故选B. 3 0, 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 令h(x)=log20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出 f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出0,20上的 图象即可判断出总零点个数. 典例典例7 已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x0,1时,函数f(x)=2x- 1,函数g(x)=f(x)-logax(a1)恰有3个零点,则a的取值范围是
34、( ) A.(1,3) B.(3,5) C.(1,5) D.(5,9) D 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),所以函数关于x=1对称, f(x)= -f(x-2),所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,当x0,1时,函数f(x)=2x-1,所以 函数f(x)的图象如图所示,当a1时,函数g(x)=f(x)-logax恰有3个零点,就是方程 f(x)=logax解的个数为3, 即y=f(x)的图象与y=logax的图象有3个交点, 结合图象得解得a(5,9). 故选D. log 51, log 91,
35、a a 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求 解即可. 1.(2020贵州毕节模拟)函数f(x)满足3f(x) f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR),且f(1)=, 则f(2 020)=( ) A. B.- C.- D. 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 C 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 令x=n,y=1,得3f(n) f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1), f(n+1)=f(n+2)+f(n), f(n+2)=-f(n-1),
36、f(n)=-f(n-3)=f(n-6) 函数f(x)是周期函数,周期T=6, 故f(2 020)=f(6336+4)=f(4). 又3f(x) f(y)=f(x+y)+f(x-y), 令x=1,y=0,得3f(1) f(0)=f(1)+f(1)=,f(0)=,令x=y=1,得3f(1)2=f(2)+f(0), 2 3 2 3 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 则f(2)=-, 令x=2,y=1,得3f(2) f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-, 令x=3,y=1,得3f(3) f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=-, f(2 020)=-.故选C. 1 3 2
37、 3 1 3 1 3 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.(2020安徽黄山期末)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意 的实数x, f(x)-f(-x)=0恒成立,当x-1,0时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-loga(|x|+1)在R上 有且仅有五个零点,则a的取值范围为( ) A.3,5 B.2,4 C.(3,5) D.(2,4) D 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 f(x)-f(-x)=0,f(x)=f(-x), 又函数定义域为R,f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图 象如图所示, g(x)=f(x)-loga(|x|+1)在R上有且仅有五个零点, 且y=loga(|x|+1)是过(0,0)的偶函数, y=f(x)和y=loga(|x|+1)的图象在(0,+)上只有2个交点, 解得2a4.故选D. log (1 1)1, log (3 1)1, 1, a a a
