1、高三数学试题 第页 （共4页） 试卷类型:A 高 三 一 轮 检 测 数学试题 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合A=x|x2- x - 6 0， B=x|x2 4， 则AB= A.（2，
2、3）B. 2， 3C.（2， 3D. 2， 3-2 2. 已知i是虚数单位， 若复数z = 5 4 + 3i， 则z的共轭复数 - z= A. 4 5 + 3 5 iB. 4 5 - 3 5 iC.- 4 5 + 3 5 iD.- 4 5 - 3 5 i 3. 已知命题p:x R，ax2+ ax + 1 0， 命题q： 函数y = -(a + 1) x 是减函数， 则命题p成立 是q成立的 A. 充分不必要条件B. 充要条件 C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件 4. 2020年11月， 中国国际进口博览会在上海举行， 本次进博会设置了 “云采访” 区域， 通 过视频连线， 帮助中外
3、记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海 外负责人.某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访， 其中2名记 者和1名摄影师负责 “云采访” 区域的采访， 另外2名记者和2名摄影师分两组 （每组记 者和摄影师各1人） ， 分别负责 “汽车展区” 和 “技术装备展区” 的现场采访.如果所有记 者、 摄影师都能承担三个采访区域的相应工作， 则所有不同的安排方案有 A. 36种B. 48种C. 72种D. 144种 2021.03 1 高三数学试题 第页 （共4页） 5. 已知直线x+y+2=0与圆x 2 + y2+ 2x - 2y + a = 0有公共点， 则实数a的取
4、值范围为 A.（-， 0B. 0， +）C. 0， 2）D.（-， 2） 6. 已知定义在R上的偶函数f (x)在 （-， 0） 上单调递增， 则 A.f (2 -3 4) f (log 1 4 6 ) f (log4 1 5 ) B.f (log1 4 6 ) f (log4 1 5 ) f (2 -3 4) C.f (log1 4 6 ) f (2 -3 4) f (log 4 1 5 ) D.f (2 -3 4) f (log 4 1 5 ) 0， a1= 1 2 ， Sn 1 2 10. 如图， 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC， E， F 分别是 AB1， BC1
5、的中点， 则下列结论成立的是 A. EFBB1 B. EF平面BDD1B1 C. EF与C1D所成角为45 D. EF平面A1B1C1D1 11. 已知函数f (x)是定义在R上的奇函数， 当x 0时，f (x) = x - 1 ex ， 则下列结论正确的 是 A.当x 0时,f (x) = -ex(x + 1) B. 函数f (x)在R上有且仅有三个零点 C. 若关于x的方程f (x) = m有解， 则实数m的取值范围是m|f (-2 ) m f (2 ) D.x1,x2 R,|f (x2) - f (x1) 0，| 0 )的焦点F的直线l，交抛物线C的准线于点A， 与抛物线 C的一个交点为
6、B， 且 AB = k BF (k2 ).若l与双曲线 x2 a2 - y2 b2 = 1(a 0,b 0 )的一条 渐近线垂直， 则该双曲线离心率的取值范围是. 四、 解答题： 本题共6小题， 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17.（10分） 在a8= 2a4+ 1,4是a1,a3的等比中项,S5= 4a1a2这三个条件中任选一个， 补充在 下面问题中， 并作答. 问题： 已知各项均为正数的等差数列an的前n项和为Sn， S3=a6-a1， 且. （1） 求an； （2） 设数列 1 Sn+ n的前n项和为Tn， 试比较Tn与 an an + 1 的大小， 并说明理
7、由. 注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分. 18. (12分) 已知函数f (x) = sinxcos(x + 6 ) + cos2x. （1） 求f (x)在0, 4 上的最值； （2） 在ABC中,角A， B， C所对的边分别为a， b， c，f ( A 2 ) = 1， a=23，ABC的面积为 3， 求sinB+sinC的值. 3 高三数学试题 第页 （共4页） 19. (12分) 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 是矩形， AB=2AD=2， PA 平面ABCD， E为PD中点. （1） 若PA=1， 求证：AE 平面PCD； （2） 当直线PC与
8、平面ACE所成角最大时，求三棱锥E-ABC的 体积. 20.（12分） 某市为了了解本市初中生周末运动时间， 随机调查了3000名学 生， 统计了他们的周末运动时间， 制成如图所示的频率分布直方图. （1） 按照分层抽样， 从40， 50） 和80， 90） 中随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学 生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自40， 50） 的人数为X， 求X的 分布列和数学期望； （2） 由频率分布直方图可认为： 周末运动时间t服从正态分布N （, 2） ， 其中， 为周末 运动时间的平均数t，近似为样本的标准差s， 并已求得s 14.6.可以用该样本的频率估 计
9、总体的概率， 现从本市所有初中生中随机抽取 12名学生， 记周末运动时间在 （43.9， 87.7之外的人数为Y， 求P （Y=3） （精确到0.001） . 参考数据1： 当tN （ （, 2） 时， P （ - t + ） =0.6826， P （ - 2 t + 2） =0.9544， P （ - 3 b 0） 的离心率为 6 3 ， 短轴长为22 . （1） 求椭圆C的方程； （2） 已知A， B是椭圆C上的两个不同的动点， 以线段AB为直径的圆经过坐标原点O.是否 存在以O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在， 求出定圆方程;若不存在， 请说明理由. 22. (12分) 已知函数f
10、(x) = xlnx - 1 2 x2+ (2a - 1)x（a R） . （1） 讨论函数f (x)的极值点的个数； （2） 已知函数g(x) = ex x - f(x)有两个不同的零点x1， x2， 且x1 x2. 证明：x2- x1 0 )， 则 3a1+ 3 2 2 d = 5d 3a1= 2d2分 方案一： 选条件 （1） 由 3a1= 2d a8= 2a4+ 1 解得 a1= 2, d = 3 an= 2 + 3(n - 1) = 3n - 1，n N*4分 （2）Sn= 2n + n(n - 1) 2 3 = 3 2 n2+ n 2 Sn+ n = 3 2 (n2+ n ) =
11、3n(n + 1) 2 1 Sn+ n = 2 3 1 n(n + 1) = 2 3 ( 1 n - 1 n + 1 )6分 Tn= 2 3 (1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + + 1 n - 1 n + 1 ) = 2 3 (1 - 1 n + 1 ) = 2n 3n + 3 8分 又 an an + 1 = 3n - 1 3n + 2 2021.03 1 高三数学试题参考答案 第页 （共8页） an an + 1 - Tn= 3n - 1 3n + 2 - 2n 3n + 3 = 3n2+ 2n - 3 (3n + 2 )(3n + 3) n N* 3n2+ 2n - 3 3 +
12、 2 - 3 = 2 0 an an + 1 - Tn 0 an an + 1 Tn10分 方案二： 选条件 由 3a1= 2d a1a3= 16 解得 a1= 2, d = 3 an= 2 + 3(n - 1) = 3n - 1,n N*4分 （2） 同方案一 （2） 方案三： 选条件 由 3a1= 2d S5= 4a1a2 解得 a1= 2, d = 3 an= 2 + 3(n - 1) = 3n - 1,n N*4分 （2） 同方案一 （2） 18.（12分） 解：（1）f (x) = sinx( 3 2 cosx - 1 2 sinx) + cos2x = 3 2 sinxcosx -
13、 1 2 sin2x + cos2x = 3 4 sin2x - 1 - cos2x 4 + 1 + cos2x 2 2分 = 3 4 sin2x + 3 4 cos2x + 1 4 = 3 2 sin(2x + 3 ) + 1 4 4分 x 0, 4 3 2x + 3 5 6 1 2 sin (2x + 3 ) 1 当x 0, 4 时，f (x)min= 3 + 1 4 ,f (x)max= 23 + 1 4 .6分 2 高三数学试题参考答案 第页 （共8页） （2）f ( A 2 ) = 3 2 sin (A + 3 ) + 1 4 = 1 sin (A + 3 ) = 3 2 A (0,
14、 ) A + 3 ( 3 , 4 3 ) A = 3 8分 S ABC= 1 2 bcsinA = 3 4 bc =3 bc = 4 又a = 23 cosA = b2+ c2- a2 2bc = b2+ c2- 12 8 = (b + c)2- 20 8 = 1 2 10分 (b + c)2= 24 b + c = 26 又 a sinA = b sinB = c sinC = 4 sinB + sinC = 1 4 (b + c) = 6 2 .12分 19. (12分) （1） 证明： PA 平面ABCD,CD 平面ABCD PA CD 四边形ABCD为矩形 AD CD 又AD PA =
15、 A,AD,PA 平面PAD CD 平面PAD3分 AE 平面PAD CD AE 在PAD中,PA = AD = 1,E为PD中点 AE PD 3 高三数学试题参考答案 第页 （共8页） 又PD CD = D ,PD,CD 平面PCD AE 平面PCD6分 （2） 以A为原点， AB， AD， AP所在直线分别为x轴, y轴, z轴， 建立如图所示的空间直 角坐标系. 设AP=a（a 0） ， 则C （2,1,0） ， P （0,0,a） ， E （0,1 2 ,a 2） AC = (2,1,0 ), AE = (0, 1 2 , a 2 ), PC = (2,1, - a )8分 设平面AC
16、E的一个法向量为n = (x,y,z ),则 ACn = 0 AEn = 0 2x + y = 0 1 2 y + a 2 z = 0 令y = -a,解得 x = a 2 z = 1 n = ( a 2 , - a,1)10分 设直线PC与平面ACE所成角为， 则 sin=|cos = |n PC |n| PC = a 5 4 a2+ 15 + a2 = 2 29 + 20 a2 + 5a2 2 7 当且仅当a=2 时， 等号成立 三棱锥E-ABC 的体积VE - ABC= 1 3 1 2 2 1 2 2 = 2 6 12分 20. （12分） 解：（1） 运动时间在40， 50)的人数为3
17、0000.0210 = 600人. 运动时间在80， 90)的人数为30000.01 10 = 300人. 按照分层抽样共抽取9人， 则在40， 50） 上抽取的人数为6人， 在80,90)上抽取的人数为3人. 4 高三数学试题参考答案 第页 （共8页） 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.2分 P （X=0） = C0 6C 3 3 C3 9 = 1 84 P （X=1） = C1 6C 2 3 C3 9 = 3 14 P （X=2） = C2 6C 1 3 C3 9 = 15 28 P （X=3） = C3 6C 0 3 C3 9 = 5 21 4分 所以随机变量X的分布列为 X P
18、 0 1 84 1 3 14 2 15 28 3 5 21 E(X ) = 0 1 84 + 1 3 14 + 2 15 28 + 3 5 21 = 26分 （2） = - t = 35 0.1 + 45 0.2 + 55 0.3 + 65 0.15 + 75 0.15 + 85 0.1 =58.5 = 14.68分 43.9=58.5-14.6= - ,87.7=58.5+14.62 = + 2 P（43.9 t 87.7） =P （ - + 2） =1-0.8185=0.1815 YB （12,0.1815） P（Y=3） =C 3 120.1815 3 0.81859 = 220 0.0
19、060 0.1649 0.21812分 21.( 12分) 解：（1） 由题意知， b=2 又e = c a = a2- 2 a = 6 3 2分 a2= 6 椭圆C的方程为 x2 6 + y2 2 = 14分 （2） 设A （x1，y1） ， B （x2，y2） 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y=kx+m, 5 高三数学试题参考答案 第页 （共8页） 由 y = kx + m x2 6 + y2 2 = 1 得 （3k2+1） x2+6kmx+3m2-6=06分 x1+ x2= -6km 3k2+ 1 ,x1x2= 3m2- 6 3k2+ 1 y1y2= (kx1+ m )(k
20、x2+ m ) = k2x1x2+ km(x1+ x2) + m28分 以线段AB为直径的圆过坐标原点O OA OB = x1x2+ y1y2 = (1 + k2)x1x2+ km(x1+ x2) + m2 = (1 + k2) 3m2- 6 3k2+ 1 - 6k2m2 3k2+ 1 + m2 = 4m2- 6 - 6k2 3k2+ 1 = 0 2m2= 3(1 + k2)， 且 = 6(12k2- 2m2+ 4 ) = 6(9k2+ 1) 0 坐标原点O到直线AB的距离 d = |m k2+ 1 = |m 2 3 m2 = 6 2 10分 当直线AB的斜率不存在时， 由题知，|x1=|y1
21、 x2 1 6 + x2 1 2 = 1 x2 1= 3 2 坐标原点O到直线AB的距离d =|x1= 6 2 综上所述， 存在以O为圆心的定圆恒与直线AB相切， 定圆的方程为x2+y2= 3 2 12分 22.( 12分) 解： 函数f (x)的定义域为(0, + ). （1）f(x) = lnx - x + 2a 令h(x) = lnx - x + 2a， 则 h(x) = 1 x - 1 = 1 - x x 当x (0,1)时,h(x) 0,h(x)单调递增; 当x (1, + )时,h(x) 1 2 时,h(1) = 2a - 1 0 0 e-2a 1,h(e-2a) = -2a -
22、e-2a+ 2a = -e-2a e2 1,h(e5a) = 5a - e5a+ 2a 7a - e4aa = a(7 - e4a) a(7 - e2) 1 2 时,f (x)有2个极值点.6分 （2）g(x) = ex x - lnx + x - 2a， 则 g(x) = ex(x - 1) x2 - 1 x + 1 = (x - 1)(ex+ x) x2 当x (0,1)时,g(x) 0,g(x)单调递增. g(x)min= g(1) = e + 1 - 2a 函数g(x)有两个不同零点x1,x2,且x1 x2 g(1) 0即e + 1 - 2a e + 18分 又g(2a ) = e2a
23、 2a - ln2a + 2a - 2a = e2a 2a - ln2a 令(x) = ex x - lnx(x e)， 则(x) = ex(x - 1) - x x2 令m(x) = ex(x - 1) - x(x e), 则m(x) = xex- 1 ee + 1- 1 0 m(x)单调递增 m(x) m(e) = ee(e - 1) - e 0 (x) 0 (x)单调递增. (2a ) (e + 1) (e) = ee - 1- 1 0 g(2a ) 0, x2 0 ),则n(x) = 1 x - 1 = 1 - x x 当x (0,1)时,n(x) 0,n(x)单调递增, 7 高三数学试题参考答案 第页 （共8页） 当x (1, + )时,n(x) ep p - 1 p 0, x1 1 2a - 1 x2- x1 2a - 1 2a - 1 = 4a2- 2a - 1 2a - 1 .12分 8
