1、高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页） 合肥市2021 年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 3 5 2 14.25和15 15. 31 sin 234 n 或 31 sin 234 n （二者填其一） 16. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分1
2、2分) 解：(1)当2n 时， 1 123 23122 n n aaanan ， 123-1 231222 n n aaanan， 1 12222 nnn n nannn ，2n n a (2n ). 1 12na，当1n 时，2n n a 也成立， 2n n a ( * nN). 6分 (2) 1 1 1 211 1121212121 n n n nn nn nn a b aa ， 123nn Sbbbb 122311 11111111 321212121212121 nnn . * nN， 1 1 0 21 n ， 1 3 n S . 12分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分
3、12分) 解：(1)随机变量X可以取到的值为0，1，2，3，所以 03 53 3 8 1 0 56 C C C P X， 12 53 3 8 15 1 56 C C C P X， 21 53 3 8 15 2 28 C C C P X， 30 53 3 8 5 3 28 C C P X C ， 用户数量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 X的期望为 11515510515 0123 56562828568 EX .6分 (2)用随机变量Y表示n名用户中年龄为30岁以上的用户数量，则事件“至少一名用户年龄为30岁以上”的概 率为 1 110 2 P
4、YP Y ， 1 0 2 P Y，即 91 102 n ， lg2 12lg3 n . lg2 6 7 12lg3 ，nN，n的最小值为7. 12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C A C B D A C A D C 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页） A 19.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分) (1)证明:如图，取AB的中点H，连接CH，DE，PE. 3BDAD，D为AH的中点，DECH. ACBC，CHAB，EDAB. 又点E在平面PAB上的射影F在线段PD上， EF 平面PAB，EFAB. EFEDE，EFDE
5、，平面PDE， AB 平面PDE，ABPE. 点E为棱AC的中点，PAPC，PEAC. 又ACABA，ACAB ，平面ABC， PE 平面ABC.PE 平面PAC， 平面PAC 平面ABC. 6分 (2)ACBC，以C为原点，以 CA CB ，所在方向为xy，轴正方向建立空间直角坐标系，如图. 3PAPC，2 2ACBC，4AB，2CH ，1PEDE，F为PD的中点， 0 0C0， ， 0 2 2 0B， 2 0 0E， ， 2 0 1P， ， 3 22 22 D ，0, 5 221 442 F ，. 设平面ECF的法向量为 1111 xyz， ，n， 1 EF n， 1 EC n， 1 0E
6、F n， 1 0EC n. 221 442 EF ， 2 0 0CE ， 20 221 0. 442 x xyz ， 取 1 0 2 1， ，n. 设平面BCF的法向量为 2222 xyz， ，n， 2 CB n， 2 FB n， 2 0CB n， 2 0FB n. 2 2 0CB 0， 5 27 21 442 BF ，-， 2 222 2 20 5 27 21 0. 442 y xyz ， 取 2 0 5 22，n， 12 12 12 5 25 cos 9354 , n n n n n n . 二面角ECFB的正弦值为 2 12 2 14 1 cos, 9 n n. 12分 20.(本小题满
7、分12分) 20.(本小题满分12分) 解:(1)设椭圆的半焦距为c，由题意得 1 2 3 c a ac ， ， 解得 2 1. a c ， ，3b ， 椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy .5分 (2)由题意知，直线l的斜率不为0，设其方程为xmyn，A( 11 xy，)，B( 22 xy，). 由 22 1 43 xy xmyn 得 222 3463120mymnyn， 12 2 6 34 mn yy m ， 2 12 2 312 34 n y y m ， 2 2222 64 3431248 340mnmnmn . 1 1 1 2 y k x ， 2 2 2 2 y k x ， 12
8、1212 12 2 2 1212 1212 2222 22 y yy yy y k k xxmynmyn m y ym nyyn 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页） 2 2 2 22 2 2 22 312 323129 34 3126424 42 22 3434 n nn m nmnn n mm nn mm ，解得1n . 直线l的方程为 1xmy ，直线l过定点(1，0)，此时， 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 2 222 121212 2 22 636 344 4 3 111ABmyymyyy y mm m m 22 2 2 2 2
9、22 2 1441121 133 3434 1 34 3 13 4 44 mm m m m mm m (当且仅当0m 时取等号)， AB的最小值为3. 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 解：(1)因为 32332 xx fxa xexxae 若0a ，20 x ae . 当 3x ， 时， 0fx ；当 3x ， 时， 0fx . 当0a 时，函数 f x在3， 上单调递减，在 3 ， 上单调递增. 若0a ，由 0fx 解得 1 3x ， 2 2 lnx a . 若 3 02ae， 2 ln3 a . 当 2 3lnx a ， 时， 0fx ；当 2 3 lnx
10、 a ， 时， 0fx . 当 3 02ae时，函数 f x在3 ， ， 2 ln a ， 上单调递增，在 2 3 ln a ， 上单调递减. 若 3 2ae， 2 ln=3 a . 当Rx时， 0fx ，函数 f x在R上单调递增. 若 3 2ae， 2 ln x xx ax xe (0）. 令 2 ln2 x xx g x xe (0 x )，则 22 1 3ln x xxx gx x e . 设 3lnxxx ， x 在 0 ， 上单调递减， 10 ， 30 ， 0 1 3x，使得 000 3ln0 xxx (*). 当 0 0 xx， 时， 0gx ；当 0 xx， 时， 0gx .
11、00 00 0 22 00 ln21 xx xx g xg x x ex e . 由(*)知 00 3ln0 xx ，即 00 ln3xx ， 0 3 0 x ex ， 00 0 32 11 xx g x eee ， 1 g xa e ， 当 1 a e 时， 2 2ln3f xxxx.12分 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 4 页） 22.(本小题满分10分) 22.(本小题满分10分) 解：(1)由 11 44 11 44 2 2 2 xtt ytt ， 得 11 44 11 44 2 1 . 2 xtt ytt ， ， 两式平方相减得 22 1 24 2 yx，即 22 1 8
12、2 yx . 又 11 44 22 2 (t0)ytt ，曲线 1 C的直角坐标方程为 22 12 2 82 yx y. 曲线 2 C：sin2 20 4 ，sincos40，即40yx， 曲线 2 C的直角坐标方程为40 xy.5分 (2)设曲线 2 C的参数方程为 2 2 2 2 2. 2 xt yt ， (t为参数). 代入曲线 1 C方程得 22 22 2428 22 tt ，即 2 320 2400tt. =3200.设方程的两个实数根为 12 tt，则 12 20 2 3 tt， 1 2 40 3 t t ， 2 21121 2 12 12121212 8 5 4 11115 3
13、40 5 3 ttttt ttt MAMBtttttttt ， 115 5MAMB 或 5 5 . 10分 23.(本小题满分10分) 23.(本小题满分10分) 证明：(1)由abc， ，都是正数得， 3 33abcabc， 3 1abc ，即1abc， 1113 =3 abc abbcacabcabc ， 即 111 3 abbcac (当且仅当abc等号成立). 5分 (2) 222444444 222333abcbaccababcabcbaccab ， 又3abc， 33312abc， 4444111 333 33312333 abc abcabc 1333333 3 3333333 bcacab aabbcc 1333333 33 3333333 bacacb abacbc ， 222 3 abcbaccab (当且仅当abc等号成立).10分
