1、第第 9 讲讲 解析几何解析几何 第第 1 课时课时 圆与椭圆小题圆与椭圆小题 专题训练专题训练 作业作业(二十二十) 一、选择题 1(2020 山东日照模拟)已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x2y30 垂直，则 sin2 的值为( ) A.3 5 B.4 5 C.1 5 D1 5 2过坐标原点 O 作圆(x3)2(y4)21 的两条切线，切点分别为 A，B，直 线 AB 被圆截得的弦的长度为( ) A.2 6 5 B.4 6 5 C. 6 D.3 6 5 3在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A：(x1)2y21，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的切线，切点为 T.若 PT 2P
2、B，则动点 P 的轨迹方程为( ) Ax2y214x180 Bx2y214x180 Cx2y210 x180 Dx2y210 x180 4(2020 山东四县市联考)已知直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A， B 两点(O 为坐标原点)，则“a 5”是“OA OB 0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5(2020 山东省高考统一模拟试卷)设曲线 x 2yy2上的点到直线 xy2 0 的距离的最大值为 a，最小值为 b，则 ab 的值为( ) A. 2 2 B. 2 C. 2 2 1 D2 6点 P(x，y)是圆 x2(y1)21
3、上任意一点，若点 P 的坐标满足不等式 xy m0，则实数 m 的取值范围是( ) A(8， 2 B 21，) C( 2，) D1 2，) 7(2020 广州市高三阶段训练)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点 的椭圆，其轨道的离心率为 e，设地球半径为 R，该卫星近地点离地面的距离为 r，则该卫星远地点离地面的距离为( ) A.1e 1er 2e 1eR B.1e 1er e 1eR C.1e 1er 2e 1eR D.1e 1er e 1eR 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(c， 0)，若 F 到直线 2bxay0 的
4、距离为 2 2 c，则 E 的离心率为( ) A. 3 2 B.1 2 C. 2 2 D. 2 3 9(2020 课标全国，文)已知圆的方程为 x2y26x0，过点(1，2)的直线被 该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A1 B2 C3 D4 10(2020 马鞍山市高中毕业班质检)已知 F 为椭圆 C：x 2 25 y2 161 的左焦点，O 为坐标原点，点 P 在椭圆 C 上且位于 x 轴上方，点 A(3，4)，若直线 OA 平分 线段 PF，则PAF 的大小为( ) A60 B90 C120 D无法确定 11.2019 年 1 月 3 日 10 点 26 分(北京时间)， “嫦娥四号”
5、探测器成功着陆在月球 背面东经 177.6 度、南纬 45.5 度附近的预选着陆区， 并通过“鹊桥”中继星传回 了月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱如图所示，假设“嫦娥四号”卫星 沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个 焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦 点的椭圆轨道绕月飞行，若用 e1和 e2分别表示椭圆轨道和的离心率，则 ( ) Ae1e2 Be10)上任意一点，M，N 是椭圆上关于坐标原 点对称的两点，且直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|的最 小值为 1，则下列结论不正
6、确的是( ) A椭圆 E 的方程为x 2 4 y21 B椭圆 E 的离心率为1 2 C曲线 ylog3x1 2经过 E 的一个焦点 D直线 2xy20 与 E 有两个公 共点 14已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，实轴长为 6，渐近线方程为 y 1 3x，动点 M 在双曲线左支上，点 N 为圆 E：x 2(y 6)2 1 上一点，现有下列命题： 双曲线的虚轴长为 1； 双曲线 C 方程为x 2 9 y21； |MN|MF2|的最小值为 9； |MN|的最小值为6 10 5 1. 其中正确的是( ) A B C D 二、填空题 15(2020
7、 浙江)已知直线 ykxb(k0)与圆 x2y21 和圆(x4)2y21 均相 切，则 k_，b_ 16(2020 广东四校期末联考)已知直线 axy10 与圆 C：(x1)2(ya)2 1 相交于 A， B 两点， 且ABC 为等腰直角三角形， 则实数 a 的值为_ 17已知椭圆x 2 a2y 21 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 F1 关于直线 yx 的 对称点 P 仍在椭圆上，则PF1F2的周长为_ 18已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，点 A 是椭圆的右顶点，点 B 为椭圆的上顶 点， 点 F(c， 0)是椭圆的左焦点， 椭圆的长轴长为 4， 且 BFAB， 则
8、c_ 19定义曲线a 2 x2 b2 y21 为椭圆 x2 a2 y2 b21 的“倒椭圆”已知椭圆 C1： x2 4 y2 1，它的“倒椭圆”C2：4 x2 1 y21 的一个对称中心为_；过“倒椭圆”C2 上的点 P 作直线 PA 垂直 x 轴于点 A，作直线 PB 垂直 y 轴于点 B，则直线 AB 与椭圆 C1的公共点个数为_ 20(2020 浙大附中高考全真模拟)已知点 F1是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点， 过原点作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，M，N 分别是 AF1，BF1的中点，若存在 以 MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的取值范围是_ 1(2020
9、 青岛市高三自主检测)若直线 l1：a2x3y20，l2：2ax5ya0.p： a0，q：l1与 l2平行，则下列选项中正确的( ) Ap 是 q 的必要不充分条件 Bq 是 p 的充分不必要条件 Cp 是 q 的充分不必要条件 Dq 是 p 的既不充分也不必要条件 2(2020 山东省高考统一模拟试卷三)已知点 P 在圆 x2y24 上，A(2，0)， B(2，0)，M 为 BP 中点，则 sinBAM 的最大值为( ) A.1 4 B. 10 10 C.1 3 D.1 2 3 (2019 安徽江南十校第二次联考)已知在直角坐标系 xOy 中， A(4， 0)， B 0，3 2 ， 若点 P
10、 满足 OP1，PA 的中点为 M，则 BM 的最大值为_ 4 (2019 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中， P 是曲线 yx4 x(x0)上的一个动点， 则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是_ 5(2019 浙江)已知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2xy30 与圆 C 相切于点 A(2，1)，则 m_，r_ 6(2020 四川乐山一中高三模拟)已知 A，B 两点分别为椭圆x 2 8 y 2 4 1 的左焦点 与上顶点，C 为椭圆上的动点，则ABC 面积的最大值为_ 7 (2020 山东济南市高三模拟)已知 F1， F2分别是椭圆 C： x2 a2 y2 b2
11、1(ab0)的左、 右焦点，A，B 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，AF2的中点 P 恰好落在 y 轴上， 若BP AF 2 0，则椭圆 C 的离心率的值为_ 参考解析答案参考解析答案 1 答案 B 解析 设直线 l 的斜率为 k，直线 l 与直线 x2y30 垂直，k1 1 2 2， 即 tan2，sin22sincos 2sincos sin2cos2 2tan tan21 4 5.故选 B. 2 答案 B 解析 设圆的圆心为 P，则 P(3，4)，由切线长定理可知|OA|OB|，且 OAPA， OBPB，因为|OP|32425，圆的半径 r1，所以|OA|OB|2 6，易知 ABOP，所
12、以 S 四 边 形OAPB 1 2|OP|AB|2S OAP，所以|AB| 4SOAP |OP| 41 22 61 5 4 6 5 . 3 答案 C 解析 设 P(x，y)，由圆的切线的性质知，PT2AT2PA2.因为 PT 2PB，所 以 2PB2AT2PA2，即 2(x3)2y21(x1)2y2，整理，得 x2y210 x 180，故选 C. 4 答案 A 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 x2ya0， x2y22， 化为 5y24aya220， 直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)， 16a220(a22)0，解得 a20，
13、则“a 5”是“OA OB 0”的充分不必要条件，故选 A. 5 答案 C 解析 将 x 2yy2化为：x2(y1)21，x0，圆心(0，1)，半径 r1， 圆心到直线 xy20 的距离 d3 2 2 ， 圆上的点到直线的最小距离 b3 2 2 1， 最大值为(0，2)到直线的距离，即 a 4 22 2， 则 ab 2 2 1.故选 C. 6 答案 B 解析 方法一： 由题意可设 xcos， y1sin， 0， 2) 由 xym0， 得 m(xy)而(xy)cos(1sin)(cossin)1 2sin 4 1，则(xy)max 21.故 m 21.故选 B. 方法二：画图易知若 xym0，则
14、圆在直线的右侧所以圆心(0，1)到直线 x ym0 的距离不小于半径 1，即1m 2 1，m 21.故选 B. 7 答案 A 解析 设该卫星远地点离地面的距离为 r，则由题意分析可知 acrR， acrR，所 以 arr2R 2 ， crr 2 ， 所以离心率 ec a rr rr2R，解得 r 1e 1er 2e 1eR，故选 A. 8 答案 A 解析 由F到直线2bxay0的距离为 2 2 c， 得直线2bxay0的倾斜角为45 ， 所以2b a 1，即 4(a2c2)a2，解得 e 3 2 .故选 A. 9 答案 B 解析 将圆的方程 x2y26x0 化为标准方程(x3)2y29，设圆心
15、为 C，则 C(3，0)，半径 r3.设点(1，2)为点 A，过点 A(1，2)的直线为 l，因为(13)2 22a20，c1c20，且 a1c1a2c2.令 a1c1a2c2t，t0， a1tc1，a2tc2. 1 e1 a1 c1 c1t c1 1 t c1， 1 e2 a2 c2 c2t c2 1 t c2. c1c20，t0， t c1 t c2， 1 e1e2.故选 A. 12 答案 A 解析 由题意，圆(x1)2(y1)24 的圆心 C(1，1)，半径 r2， 直线 xmym20 变形得 x2m(y1)0，得直线过定点 A(2，1)， |CA| （21）2（11）210)与圆 x2
16、y21，圆(x4)2y21 都相 切，所以 |b| 1k2 |4kb| 1k21，得 k 3 3 ，b2 3 3 . 方法二：因为直线 ykxb(k0)与圆 x2y21，圆(x4)2y21 都相切，所 以直线 ykxb 必过两圆心连线的中点(2，0)，所以 2kb0.设直线 ykxb 的倾斜角为 ，则 sin1 2，又 k0，所以 6，所以 ktan 6 3 3 ，b2k 2 3 3 . 16 答案 1 或1 解析 本题考查直线与圆的位置关系ABC 是等腰直角三角形，则圆心 C 到 直线 AB 的距离等于 2 2 r(r 为圆 C 的半径)，即 |1| a21 2 2 ，则 a 1. 17 答
17、案 2 22 解析 设 F1(c，0)，F2(c，0)(c0)，则点 F1关于直线 yx 的对称点 P 的坐 标为(0，c)点 P 在椭圆上， 0 a2c 21，则 cb1，a2b2c22，a 2.故PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c2 22. 18 答案 51 解析 由题意得 A(a，0)，B(0，b)，a2b2c2，由 BFAB 及 OBAF(O 为坐 标原点)，可得|BO|2|OF|OA|，即 b2ac，又 a2b2c2，所以 aca2c2， 又 a2，所以 c 51(负值已舍去) 19 答案 (0，0) 1 解析 易知“倒椭圆”C2的一个对称中心为(0，0) 因为
18、4 x21 1 y2(0，1)，所以 x(，2)(2，) 设 P(x0，y0)(x0y00)，则 4 x02 1 y021. A(x0，0)，B(0，y0)， 于是直线 AB 的方程为 x x0 y y01，代入 x2 4 y21，得关于 x 的方程(x024y02)x2 8x0y02x 4x02(y021)0 ，64x02y0416x02(x02 4y02)(y021) 16x02(x02y02x024y02)， 由可得 4y02x02x02y02，从而 0，所以直线 AB 与椭圆 C1的公共点个数 为 1. 20 答案 2 2 ，1 解析 如图所示，当点 M，N 分别是 AF1，BF1的中
19、点时，OM， ON 是ABF1的两条中位线，若以 MN 为直径的圆过原点，则 有 OMON，AF1BF1， 设点 A(x0，y0)，则点 B(x0，y0)，又点 F1(c，0)， 所以，AF1 (cx0，y0)，BF1 (cx0，y0)， 则AF1 BF1 c2x02y020，又x0 2 a2 y0 2 b2 1， 所以，c 2 a2x0 2b2c20，得 x02a 2（c2b2） c2 ， 即只需 0a 2（c2b2） c2 a2， 解得 2 2 e，又 e1，所以 2 2 e0， 则tanBAM y x6 4x2 （x6）2 （x6）212x40 （x6）2 1 12 x6 32 （x6）
20、2， 令 t 1 x6 1 8， 1 4 ，则 tanBAM112t32t232 t 3 16 2 1 8， 所以当且仅当 t 3 16时，tanBAM 取最大值 2 4 ，此时(sinBAM)max1 3.故选 C. 3 答案 3 解析 本题考查圆外定点与圆上点的距离的最值由 OP1 得点 P 在圆 x2y2 1 上，设 M(x，y)，P(x0，y0)，则 x 042x， y02y， 将 x 02x4， y02y 代入 x2y21 整理得(x2)2y21 4，即为点 M 的轨迹方程，点 B 到圆心(2，0)的距离为 5 2，则 BM 的最大值为5 2 1 23. 4 答案 4 解析 方法一：
21、 设 P x，x4 x ， x0， 则点 P 到直线 xy0 的距离 d xx4 x 2 2x4 x 2 22x 4 x 2 4，当且仅当 2x4 x，即 x 2时取等号，故点 P 到直线 x y0 的距离的最小值是 4. 方法二：由 yx4 x(x0)，得 y1 4 x2，令 1 4 x21，得 x 2，则当点 P 的坐标为( 2，3 2)时，点 P 到直线 xy0 的距离最小，最小值为| 23 2| 2 4. 5 答案 2 5 解析 方法一：易得过点 A(2，1)且与直线 2xy30 垂直的直线方程为 l：x2y40.令 x0，得 m2，则 r （20）2（12）2 5. 方法二： 因为直
22、线 2xy30 与以点(0， m)为圆心的圆相切， 且切点为 A(2， 1)，所以 m1 0（2）21，所以 m2，r （20） 2（12）2 5. 6 答案 2( 31) 解析 由椭圆方程可得 A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2 2， 所以直线 AB 的方程为：xy20， 由题意可得当过 C 的直线与直线 AB 平行且与椭圆相切时， 两条平行线间的距离 最大，则三角形 ABC 的面积最大 设过 C 点与 AB 平行的切线 l 方程为：xym0， 直线 l 与直线 AB 的距离为 d|2m| 2 ， 联立直线 l 与椭圆的方程可得 x 22y280， xym， 整理可得： 3y22my
23、m280， 4m212(m28)0，可得 m212，解得 m 2 3， 所以当 m2 3时 d|22 3| 2 2 6最大， 这时 SABC的最大值为1 2|AB|dmax 1 22 2( 2 6)2( 31) 7 答案 3 3 解析 由于 AF2的中点 P 恰好落在 y 轴上，又 A，B 是椭圆上关于 x 轴对称的两 点，所以 AB 过左焦点 F1且 ABF1F2， 则 A c，b 2 a ，B c，b 2 a .因为 P 是 AF2的中点，则 P 0，b 2 2a .又 F2(c，0)， 则BP c，3b 2 2a ， AF2 2c，b 2 a .因为BP AF 2 0， 则 2c23b 4 2a20， 即 2c 3b2 a . 又 b2a2c2， 则 2ac 3(a2c2)，即 3e22e 30，解得 e 3 3 或 e 3(舍去)
