1、- 1 - 小题必练小题必练 1 19 9：平面：平面向量向量 1平面向量的实际背景及基本概念：了解向量的实际背景；理解平面向量的概念，理解 两个向量相等的含义；理解向量的几何表示 2向量的线性运算：掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的 运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义 3平面向量的基本定理及坐标表示：了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量 的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐 标表示的平面向量共线的条件 4平面向量的数量积：理解平面向量数量积的含义及物理意义；了解平面向量的数量积
2、与两项投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用 数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5向量的应用：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；会用向量方法解决简单的 力学问题与其他一些实际问题 1 【2020 全国卷理科】设, a b为单位向量，且| 1ab，则|ab_ 2 【2020 全国卷理科】已知向量ab，a，b满足| | 5a ，| | 6b ， 6 a b ，则 cos, a ab （） A 31 35 B 19 35 C 17 35 D 19 35 一、选择题 1已知, a b为非零向量， “ 22 a bb a”为“ a ab
3、 b”的（） A充分不必要条件 B充分必要条件 - 2 - C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 2已知向量a，b满足3a，2b，且 3 4 , 5 5 a ab b ，则ab（） A 7 B2 C2 2 D3 3已知向量(1,0)a，(1, 3)b，则与2 ab共线的单位向量为（） A 13 , 22 B 13 , 22 C 3 , 22 1 或 3 , 22 1 D 13 , 22 或 13 , 22 4 已知 0AC BC ，3BCAC， 点 M 满足1CMtCAt CB， 若60ACM， 则t （） A 1 2 B 3 2 C1 D2 5已知向量a，b，有下列命题： 若/a b，则
4、ab；若ab，则ab；若ab，则/a b； 若ab，则ab；若1ab，且abab，则1 其中错误命题的个数是（） A1 B2 C3 D4 6一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于 点M，若 2ABAE ， 3ADAF ，( ,)AMABAC R，则 5 2 （） A 1 2 B1 C 3 2 D3 7 在 ABC 中， 点P满足 2BPPC ， 过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M， N，若AMmAB ， (0,0)ANnAC mn ，则 2mn 的最小值为（） A3 B4 C 8 3 D10 3 8已知向量a，b是两个夹角为 3 的单位向量
5、，且 35OAab，47OBab， - 3 - OCmab，若A，B，C三点共线，则OA OC（） A12 B14 C16 D18 9已知平面非零向量a，b满足：(4 )(2 )abab，a在b方向上的投影为 1 | 2 b，则a 与b夹角的余弦值为（） A 2 2 3 B 2 3 C 1 3 D 1 6 10 已知AB是圆 22 :1O xy的任意一条直径， 点P在直线20(0)xyaa上运动， 若PA PB 的最小值为4，则实数a的值为（） A2 B4 C5 D6 11 梯形ABCD中，/AB CD，2CD ， 3 BAD， 若 2A BA CA BA D ， 则A CA D （） A12
6、 B16 C20 D24 12如图，在平行四边形ABCD中， 3 BAD，2AB ，1AD ，若M、N分别是边 BC、CD上的点，且满足 BMNC BCDC ，其中0,1，则AM AN 的取值范围是（） A0,3 B1,4 C2,5 D1,7 二、填空题 13已知(1, ) ta，( 2,2) b且ab，则| |ab_ 14已知正方形ABCD的边长为 2，若3BPPD ，则PA PB 的值为_ 15 若向量a，b的夹角为 3 ， 且2a，1b， 则向量2ab与向量a的夹角为_ 16如图，在平行四边形ABCD中，2,ABAD E F分别为,AD DC的中点，AF与BE交 于点O若12 5AD A
7、BOF OB ，则DAB的余弦值为_ - 4 - 小题必练小题必练 1 19 9：平面：平面向量向量 1 【 【答案】 3 【解析】因为, a b为单位向量，所以1ab， 所以 222 2221 ababaa bba b ， 解得21 a b， 所以 222 23 ababaa bb ， 故答案为 3 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题 2 【答案】D 【解析】5a，6b，6 a b， 2 2 5619 aabaa b， 2 22 2252 6367 ababaa bb ， 因此， 1919 cos, 5 735 aab a ab aab ，故选 D 【点睛】本题考查
8、平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向 量模的计算， 考查计算能力，属于中档题 - 5 - 一、选择题 1 【答案】B 【解析】若 22 a bb a成立，则 22 a bb a， 则向量a与b的方向相同，且 22 abba，从而ab，所以ab； 若a ab b，则向量a与b的方向相同，且 22 ab，从而ab，所以ab， 所以“ 22 a bb a”为“ a ab b”的充分必要条件，故选 B 2 【答案】A 【解析】因为3a，2b， 3 4 , 5 5 a ab b ， 两边平方得 2 21 6 a b ，所以3a b， 所以 22 29647 abaa bb ，
9、故选 A 3 【答案】D 【解析】因为(1,0)a，(1, 3)b，则22,0a， 所以21,3ab， 设与2 ab共线的单位向量为, x y，则 22 30 1 xy xy ， 解得 1 2 3 2 x y 或 1 2 3 2 x y ， - 6 - 所以与2 ab共线的单位向量为 13 , 22 或 13 , 22 ，故选 D 4 【答案】A 【解析】由 0AC BC ，3BCAC，可知ABC为直角三角形， 设ACa，则3BCa，而60ACM，几何关系如下图所示： 因为,ACa，则3BCa，90ACB，所以2ABa， 则60CAB，所以ACAMCMBMa， 即M为AB中点， 又因为点 M
10、满足1CMtCAt CB， 则CM tCA CB tCB ，所以CMCBt CACB， 由向量减法运算可知BM tBA ， 因为M为AB中点，所以 1 2 t ，故选 A 5 【答案】D 【解析】对于，若/a b，向量a、b的方向或模不一定相同，则ab不成立，故错误； 对于，若ab，向量a、b的方向不一定相同，则ab不成立，故错误； 对于，若ab，向量a、b的方向既不一定相同也不相反，则/a b不成立，故错误； 对于，若ab，则向量a、b的模相同，所以ab，故正确； 对于，若1ab， - 7 - 则 2222 11 ababaa bba b， 若ab，则0 a b， 2 10ababa b，
11、此时abab，可取任意值，故错误， 故选 D 6 【答案】A 【解析】()()AMABACABABADABAD 2()3AEAF， 因为E MF， 三点共线，所以2( )( 3 )1 ， 即2 51 ， 51 22 ，故选 A 7 【答案】A 【解析】 21212 33333 APABBPABACABABACAMAN mn ， , ,M P N三点共线， 12 1 33mn ， 32 n m n ， 则 2 252 3232 63 333 22 323232 nn nnn mnn nnn 21525 3223 332333 n n ， 当且仅当 1 32 32 n n ，即 1mn 时等号成立
12、故选 A - 8 - 8 【答案】A 【解析】由A，B，C三点共线，得(1)(4)(72 )OCxOAx OBxxab， 故 41 72 x xm ，解得1m， 则 22 (35 ) ()38512OA OC ababaa bb，故选 A 9 【答案】D 【解析】设两向量夹角为，则有 2 11 |cos| 22 aba bb， 22 22 (4 ) (2 ) |28|9| 30 ababaa bbabab， 所以 2 1 | 1 2 cos | |6 b ab a b ab ，故选 D 10 【答案】C 【解析】() ()PA PBPOOAPOOB 2 |POOA OB 2 |1PO， 由题得
13、|OP的最小值为 5，即点 O 到直线的距离为5， | 55 5 a a ，故选 C 11 【答案】C 【解析】因为 2AB ACAB AD ，所以AB AC AB ADAB DCAB AD ， 所以2c 3 osABABAD，可得4AD ， 2 164 2 cos20 3 AC ADADDCADADAD DC ， 故选 C - 9 - 12 【答案】C 【解析】因为 BMNC BCDC ，所以BM BC ，NC DC ， 所以 AM ANABBCADDNABBCADABDC 14 11ABADADABAB ADAB AD 2 1 4 1125 当0时，AM AN 取得最大值5；当1时，AM
14、AN 取得最小值2， AM AN 的取值范围是2,5，本题选 C 二、填空题 13 【答案】 10 【解析】ab，220t a b，即1t ， 2 2 |1,31310 ab ，故答案为 10 14 【答案】 3 4 【解析】如图所示建立平面直角坐标系： 则 0,2A，0, 0B， 2, 0C， 2,2D， 设,P x y，,BPx y，2, 2PDxy， - 10 - 因为 3BPPD ， 32 32 xx yy ，解得 3 2 4 3 2 4 x y ， 所以 3 23 2 , 44 P ， 所以 3 22 , 44 PA ， 3 23 2 , 44 PB ， 所以 3 23 223 23
15、 44444 PA PB，故答案为 3 4 15 【答案】 6 【解析】设向量2ab与向量a的夹角为， 向量a，b的夹角为 3 ，且2a，1b， 则 2 1 cos1 3 a b， 222 |2 |4412 abaa bb，|2 | 2 3ab， 又 2 (2 )26abaaa b， (2 )63 cos |2 |22 32 aba a ab ， 0， 6 ， 故答案为 6 16 【答案】 3 17 【解析】设ADa，AB b，DAB，AO AF ，BOBE， - 11 - 则 1 2 AF ab， 1 2 BE ab，得 2 AO ab， 2 BO ab， 又AB AO OB ，得()() 22 bab，则 0 2 1 2 ， 得 2 5 ， 4 5 ，得 333 5510 OFAFab， 24 55 BO ab， 设| ma，则| 2mb，由12 5AD ABOF OB ， 有 3324 125() () 51055 a babab， 得 2222 61824 245(cos) 252525 mmmm，得 3 cos 17 ， 故答案为 3 17
